（精選）數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)建模數(shù)模作業(yè)（第一章）P21第一章6、利用1.5節(jié)藥物中毒施救模型確定對于孩子(血液容量為2000ml)以及成人(血液容量為4000ml)服用氨茶堿能引起嚴(yán)重中毒和致命的最小劑量。解：設(shè)孩子服用氨茶堿能引起嚴(yán)重中毒的最小劑量為，則由1.5節(jié)中的藥物中毒施救模型可知:在胃腸道中藥物的量為，而在血液系統(tǒng)中藥物的量為，再令再做出由圖可知具有最大值，設(shè)在這個最大值在孩子血液中容量的比例為嚴(yán)重中毒的比例以及致命的比例即為孩子服用氨茶堿的最小劑量。于是可以去求這個最小劑量。由上圖可知最大值位于左右, 利用Mathematics去找出這個最大值。求得，而。于是孩子服用氨茶堿引起嚴(yán)重中毒的最小劑量有式子，

2、從而得此時同理可以求的孩子服用氨茶堿致命的最小劑量為。而成人服用氨茶堿嚴(yán)重中毒與致命的最小劑量分別為。7、對于1.5節(jié)的模型，如果采用的是體外血液透析的辦法，求解藥物中毒施救模型的血液中藥量的變化并作圖。解：由題可算得：t=0:2:20y=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.6930*t) plot(t,y,'b:')第二章3、根據(jù)2.5節(jié)中的流量數(shù)據(jù)(表2)和(2)式作插值的數(shù)值積分，按照連續(xù)模型考慮均流池的容量(用到微積分的極值條件)。解：可以將表2中的數(shù)據(jù)建立散點(diǎn)圖以及平均值，如下： h=0:1:23y=150.12,115.56,84.96,

3、66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.60,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,'-',x1,t)hold onplot(h,y,x1,'b.') 另一方面由，經(jīng)過轉(zhuǎn)化，從而即可轉(zhuǎn)為。又因為要求出均流池的最大容量，就要令即從中求出時間的值，再去求。從書中可知，又有散點(diǎn)圖中可知存在兩個時間點(diǎn)使得接下來我

4、們來求出這兩個時間，不妨在時間段做插值并求出即可求得于是在時刻或者時刻達(dá)到最大值，顯然不可能在時刻。事實上，在之前均小于所以不可能達(dá)到最大值，故只能在達(dá)到最大值。利用插值后的數(shù)值以及以直代曲的方法來求積分，從而可以利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求得最大值(代碼見附錄4)為若要考慮的裕量，可按照來設(shè)計均流池。數(shù)模作業(yè)（第二章插值法）P563、 題目：根據(jù)2.5節(jié)中的流量數(shù)據(jù)（表2）和（2）式作插值和數(shù)值積分，按照連續(xù)模型考慮考慮均流池的容量（用到微積分的極值條件）。時間/h01234567流量/(m3.h-1)150.12115.5684.9666.6068.0471.6482.08132.84時間/

5、h89101112131415流量/(m3.h-1)185.04226.80246.60250.92261.00271.44273.96279.00時間/h1617181920212223流量/(m3.h-1)291.60302.04320.68290.52281.16248.40210.24186.84分析：我們已知的只有數(shù)據(jù)的散點(diǎn)。通過已學(xué)知識，用matlab畫圖，畫出散點(diǎn)所形成的曲線。建立matlab文件e。m文件，輸入的代碼為：h=0:1:23y=150.12,115.56,84.96,66.60,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.6

6、0,250.92,261.00,271.44,273.96,279,291.60,302.04,310.68,290.52,281.16,248.40,210.24,186.84x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,'*-',x1,t)hold onplot(h,y,x1,'r+')在matlab工作區(qū)間運(yùn)行結(jié)果為：現(xiàn)用插值進(jìn)行運(yùn)算：在matlab中建立M文件x = 0:23;y = 150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 32.84 185.04 226.8 246.6 250.92

7、261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84;h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, 'spline') %一維插值利用插值后的數(shù)值來求積分，從而利用如下MATLAB代碼求得最大值為 若要考慮的裕量，可按照來設(shè)計均流池。在matlab中建立M文件clear; a = 876.15;x = 0:23;y = 150.12 115.56 84.96 66.6 68.04 71.64 82.08 132.84 185.04 226.8 246.6

8、250.92 261 271.44 273.96 279 291.6 302.04 310.68 290.52 281.16 248.4 210.24 186.84;h = 0:0.001:23;t = interp1(x, y, h, 'spline'); %一維插值t1 = t(2:22209);m = 0.001 * (sum(t1)') - 203.67 * 22.208;Max = m + a %容量數(shù)模作業(yè)（第四章）1、 （1）解：根據(jù)題意及表格信息，可列出下列關(guān)系試。設(shè)投資證券A，B,C,D,E的證券的金額分別為，則： （1）整理后得： （2）在LINGO

9、中輸入如下命令：model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=10;End運(yùn)行后所得結(jié)果：Global optimal solution found.Objective value: 0.2983636 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 2.181818 0.0

10、00000 X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.4545455 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2983636 1.000000 2 3.363636 0.000000 3 0.000000 0.6181818E-03 4 0.000000 0.2363636E-02 5 0.000000 0.2983636E-01 可得：A，C，E分別投資2.182百萬元、7.364百萬元、0.454百萬元，最大稅后收益為0.298

11、百萬元。（2） 由于（1）可知，增加1百萬元收益增加0.0298百萬元。以2.75%借到1百萬元資金需要稅收0.0275百萬元，故借錢合算，列出下列模型： （3）在lingo中輸入如下命令：model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=11;end運(yùn)行結(jié)果如下： Global optimal solution found. Objective

12、 value: 0.3282000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 2.400000 0.000000 X2 0.000000 0.3018182E-01 X3 8.100000 0.000000 X4 0.000000 0.6363636E-03 X5 0.5000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3282000 1.000000 2 4.100000 0.000000 3 0.000000 0.6181818E-03 4 0.000000 0.

13、2363636E-02 5 0.000000 0.2983636E-01 因此解得A，C，E分別投資2.40百萬元、8.10百萬元、0.50百萬元，最大稅后收益為0.3007百萬元。（3） 若A稅前增加到4.5%，則有：model:max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=10;end運(yùn)行得到： Global optimal solution fou

14、nd. Objective value: 0.3027273 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.3436364E-01 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.2727273E-03 X5 0.4545455 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.3027273 1.000000 2 3.363636 0.000000 3 0.000000 0.6363636E-03

15、4 0.000000 0.2727273E-02 5 0.000000 0.3027273E-01所以不用改變投資方案。若C稅前收益減少為4.8%，則有：model:max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=4;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;x1+x2+x3+x4+x5<=10;end運(yùn)行結(jié)果為： Global optimal solution found. Objective value: 0.2942400 T

16、otal solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 3.360000 0.000000 X2 0.000000 0.3064000E-01 X3 0.000000 0.4400000E-03 X4 6.480000 0.000000 X5 0.1600000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2942400 1.000000 2 2.480000 0.000000 3 0.000000 0.6360000E-03 4 0.000000 0.2440000E-02 5 0.000

17、000 0.2942400E-01所以要改變投資方案。3、假設(shè)儲蓄所每天雇傭的全時服務(wù)員中從12點(diǎn)到1點(diǎn)中，為午餐時間的有名，從1點(diǎn)到2點(diǎn)為午餐時間的有名。半時服務(wù)員中從9點(diǎn)、10點(diǎn)、11點(diǎn)、12點(diǎn)、1點(diǎn)開始工作的分別為：名。列出相應(yīng)的模型：model:min=100*x1+100*x2+40*y1+40*y2+40*y3+40*y4+40*y5;x1+x2+y1>=4;x1+x2+y1+y2>=3;x1+x2+y1+y2+y3>=4;x2+y1+y2+y3+y4>=6;x1+y2+y3+y4+y5>=5;x1+x2+y3+y4+y5>=6;x1+x2+y4

18、+y5>=8;x1+x2+y5>=8;y1+y2+y3+y4+y5<=3;gin(x1);gin(x2);gin(y1);gin(y2);gin(y3);gin(y4);gin(y5);end運(yùn)行結(jié)果為：Global optimal solution found. Objective value: 820.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 23 Variable Value Reduced Cost X1 2.000000 100.0000 X2 5.000000 100.0000 Y1 0.0000

19、00 40.00000 Y2 2.000000 40.00000 Y3 0.000000 40.00000 Y4 0.000000 40.00000 Y5 1.000000 40.00000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 820.0000 -1.000000 2 3.000000 0.000000 3 6.000000 0.000000 4 5.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 2.000000 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000

20、0.000000 10 0.000000 0.000000所以最優(yōu)解為x1=3,x2=4,y1=0,y2=0,y3=2,y4=0,y5=1，最小用費(fèi)為820元。4、（1）假設(shè)四個季度開始時，公司招聘的保姆數(shù)量分別為人，4個季度開始時保姆總數(shù)量分別為人，建立模型如下：model:min=s1+s2+s3+s4;65*s1>=6000+5*x1;65*s2>=7500+5*x2;65*s3>=5500+5*x3;65*s4>=9000+5*x4;s1=120+x1;s2=0.85*s1+x2;s3=0.85*s2+x3;s4=0.85*s3+x4;end運(yùn)行結(jié)果如下：Glo

21、bal optimal solution found. Objective value: 478.5107 Total solver iterations: 1 Variable Value Reduced Cost S1 120.0000 0.000000 S2 116.5000 0.000000 S3 99.02500 0.000000 S4 142.9857 0.000000 X1 0.000000 0.8732231 X2 14.50000 0.000000 X3 0.000000 0.9291667 X4 58.81448 0.000000 Row Slack or Surplus

22、Dual Price 1 478.5107 -1.000000 2 1800.000 0.000000 3 0.000000 -0.2982986E-01 4 936.6250 0.000000 5 0.000000 -0.1666667E-01 6 0.000000 -0.8732231 7 0.000000 0.1491493 8 0.000000 -0.9291667 9 0.000000 0.8333333E-01因此，4個季度開始時，公司新招聘的保姆數(shù)量分別為0,15,0,59人。（2） 允許解雇的條件下，設(shè)4個季度開始時的保姆數(shù)量分別為人，4個季度公司新招的保姆數(shù)分別為人，相對應(yīng)的

23、4個季度結(jié)束時解雇的保姆數(shù)分別為人，重新建立模型如下：model:min=s1+s2+s3+s4;65*s1>=6000+5*x1;65*s2>=7500+5*x2;65*s3>=5500+5*x3;65*s4>=9000+5*x4;s1=120+x1;s2=0.85*s1+x2-y1;s3=0.85*s2+x3-y2;s4=0.85*s3+x4-y3;end運(yùn)行結(jié)果如下：Global optimal solution found. Objective value: 465.1218 Total solver iterations: 0 Variable Value R

24、educed Cost S1 120.0000 0.000000 S2 116.5000 0.000000 S3 84.61538 0.000000 S4 144.0064 0.000000 X1 0.000000 0.9291667 X2 14.50000 0.000000 X3 0.000000 0.7147436E-01 X4 72.08333 0.000000 Y1 0.000000 0.8333333E-01 Y2 14.40962 0.000000 Y3 0.000000 0.8333333E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 465.121

25、8 -1.000000 2 1800.000 0.000000 3 0.000000 -0.1666667E-01 4 0.000000 -0.1429487E-01 5 0.000000 -0.1666667E-01 6 0.000000 -0.9291667 7 0.000000 0.8333333E-01 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.8333333E-01因此，四個季度新招聘保姆人數(shù)分別為：0、15、0、72人。四個季度結(jié)束后解雇保姆人數(shù)分別為：0、15、0.6、 假設(shè)混合池中甲、乙、丁所占的比例分別為，A類產(chǎn)品中來自混合池和原料丙的噸數(shù)分別為噸，B

26、類產(chǎn)品來自混合池和原料丙的噸數(shù)分別為噸。優(yōu)化目標(biāo)總利潤最大。建立模型如下：model:max=(9-6*x1-16*x2-15*x4)*y1+(15-16*x1-16*12-15*x4)*y2+(9-10)*z1+(15-10)*z2;x4*(y1+y2)<=50;y1+y2<=100;y2+z2<=200;(3*x1+x2+x4-2.5)*y1-0.5*z1<=0;(3*x1+x2+x4-1.5)*y2+0.5*z2<=0;x1+x2+x4=1;end運(yùn)行結(jié)果為：Local optimal solution found. Objective value: 0.0

27、00000 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 0.000000 X2 1.000000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 Y1 0.000000 4.000000 Y2 0.000000 172.0000 Z1 0.000000 0.000000 Z2 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.000000 1.000000 2 50.00000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 200.0000 0.000000 5 0.000000 2.000000 6 0.000000 10.00000 7 0.000000 0.000000數(shù)模作業(yè)（第六章）對于6.4節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問題：因為一個時段上市的商品不能立刻售完，其數(shù)量也會影響到下一時段的價格，所以第時段的價格由第時段和第時段的數(shù)量和決定。如果仍設(shè)仍只取決于，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與1.7節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較。若除了由和決定之外，也由前兩個時段的價格和確定。試分析穩(wěn)定平衡的條件是否還會放寬。解：（1）記第時段商品的數(shù)量為，這一時段的價格為由于第時段的價格由第時段和第時段的數(shù)量和決定，所以我們假設(shè)由和的平均值決