一元函數(shù)微分學(xué)15067

1、ss0s第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些實(shí)際問題的變化率。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，用導(dǎo)數(shù)描述一些實(shí)際問題的變化率。教學(xué)形式：教學(xué)形式：多媒體教室里的講授教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、引入新課一、引入新課微分學(xué)是微積分的重要組成部分,它的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分。在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域中， 當(dāng)研究運(yùn)動(dòng)的各種形式時(shí)， 都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢程度，如物體運(yùn)動(dòng)的速度、電流、線密度、化學(xué)反應(yīng)速度以及生物繁殖率

2、等，而當(dāng)物體沿曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問題。所有這些在數(shù)量關(guān)系上都?xì)w結(jié)為函數(shù)的變化率。二、新授課二、新授課1導(dǎo)數(shù)概念實(shí)例導(dǎo)數(shù)概念實(shí)例（ 1）、變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題設(shè)動(dòng)點(diǎn)M作變速直線運(yùn)動(dòng)， 其經(jīng)過的路程s是時(shí)間t的函數(shù)， 即( )ss t， 求它在時(shí)刻0t的瞬時(shí)速度。如右圖所示，假定在某一瞬時(shí)0t,動(dòng)點(diǎn)的M位置是00( )ss t，而經(jīng)過極短的時(shí)間間隔t后,即在瞬時(shí)0tt,動(dòng)點(diǎn)的位置到達(dá)0()ss tt，于是動(dòng)點(diǎn)M在時(shí)間間隔t內(nèi)所走過的路程是：000()( )ssss tts t ，動(dòng)點(diǎn)M在t這段時(shí)間內(nèi)的平均速度v為00()( )s tts tsvtt由于時(shí)間間隔t較

3、短，它可以大致說明動(dòng)點(diǎn)M在0t時(shí)刻的速度，且時(shí)間間隔t取得越小，這段時(shí)間內(nèi)的平均速度愈接近0t時(shí)刻瞬時(shí)速度。若令t趨于零，則極限值000()( )limts tts tt 精確地反映了動(dòng)點(diǎn)在0t時(shí)刻的瞬時(shí)速度 。0( )v t0limtst 000()( )limts tts tt （2）、切線問題割線的極限位置切線位置（附：Flash 說明說明）如圖，如果割線 MN 繞點(diǎn) M 旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置 MT，直線 MT 就稱為曲線 C 在點(diǎn) M處的切線。極限位置即設(shè)。割線 MN 的斜率為，切線 MT 的斜率為。2導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義上面討論的兩個(gè)實(shí)例，雖然是不同的具體問題，但是它們?cè)谟?jì)算時(shí)都?xì)w結(jié)為

4、如下的極限：000()()limxf xxf xx 其中00()()f xxf xyxx是函數(shù)的增量與自變量的增量之比， 表示函數(shù)的平均變化率。定義定義：設(shè)函數(shù)( )yf x在點(diǎn)0 x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在0 x取得增量x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得的增量00()()yf xxf x 。若極限0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在，則函數(shù)( )f x在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)( )yf x在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)，記為：0000( )( ) | | |x xx xx xdydf xf xydxdx或即其他形式；。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：點(diǎn)導(dǎo)數(shù)是因變量在點(diǎn)處的變化率，它反映了因變量

5、隨自變量的變化而變化的快慢程度。 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。 對(duì)于任意都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值。 這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記作，或。 即或。注意：1）.。2）.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù)。3由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù)步驟：(1)求增量；(2)算比值；(3)求極值。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)具有固定的步驟，可以利用Mathematica的Limit 語句計(jì)算，步驟如下:1 定義函數(shù) _f x函數(shù)表達(dá)式2 根據(jù)定義求導(dǎo)Limit( )/ ,0 f xhf xh h例 1設(shè)圓的面積為A,半徑為r,求面積A關(guān)于半徑r的變化率。解（1）:1 面積關(guān)于半徑函數(shù)

6、關(guān)系為2( )A rr；2 圓半徑r的增量r，則圓面積的增量為22()Arrr；3 圓面積的平均變化率為Ar；4 面積A對(duì)半徑r的變化率為2200200()( )limlim2()()limlim(2)2rrrrArrrA rrrrrrrrrr 解（2）:用Mathematica求解例 2求函數(shù)(C 為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。解（1）：。即。解（2）用Mathematica求解課堂練習(xí) P45 第 5 題例 3根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求nyx的導(dǎo)數(shù)，其中n為正整數(shù) 。解（1） ：由二項(xiàng)式定理，得1122211221()()() ,().nnnnnnnnnnnnnnnnyxxxC xxC xxCxyC xC xxC

7、xx 于是10lim,nxyynxx 即1()nnxnx,解（2） ：利用Mathematica的Limit 語句計(jì)算,nyx的導(dǎo)數(shù)。因此1()nnxnx.一般地，對(duì)冪函數(shù)()yx為實(shí)數(shù)，有1()xx利用這一公式，可以求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例如，當(dāng)12時(shí)，12(0)yxx x的導(dǎo)數(shù)為111122211()22xxx,即1()2xx.當(dāng)1 時(shí) ，11(0)yxxx的導(dǎo)數(shù)為11 12()( 1)xxx ,即211( )xx 課堂練習(xí) P45 第 6（1） 、 （3） 、 （5）題利用導(dǎo)數(shù)的定義還能夠比較容易地求出 ：11(log); (ln );ln()ln ; ();(sin )cos ; (cos

8、 )sin .axxxxxxxaxaaaeexxxx 三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：導(dǎo)數(shù)定義，和幾個(gè)常見的導(dǎo)數(shù)公式四、課外作業(yè)：四、課外作業(yè)：P45 習(xí)題 31第 3 題3將一個(gè)物體鉛直上拋，經(jīng)過時(shí)間t（單位：s）后，物體上升高度為21102stgt（單位：m） ，求下列各值：（1）物體在1 s到(1 ) ts這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）物體在1 s時(shí)的瞬時(shí)速度；（3）物體在0t到0tt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（4）物體在0t時(shí)的瞬時(shí)速度；第 4 題4設(shè)210yx，試按導(dǎo)數(shù)定義求1|xy。第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第二節(jié)第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)

9、系，求導(dǎo)舉例教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)關(guān)系教學(xué)形式：課堂教學(xué)形式：課堂講授教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、回顧上次課內(nèi)容一、回顧上次課內(nèi)容1各種增量比值（變化率）模型：2導(dǎo)數(shù)的定義：3傳統(tǒng)方式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：4用Mathematica的Limit 語句求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：5一些已經(jīng)求出來的基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。二、新授課二、新授課1左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)定義 2：由于導(dǎo)數(shù)為000()()limxf xxf xx ，則000()()limxf xxf xx 和000()()limxf xxf xx 分別稱為函數(shù)( )f x在點(diǎn)0 x處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)，分別

10、記為0+0() ()fxfx和。2可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理一函數(shù)在( )yf x點(diǎn)0 x處可導(dǎo)的充分必要條件是( )f x在點(diǎn)0 x處的左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。證明略。1、 函數(shù)連續(xù)，若則稱點(diǎn)為函數(shù)的角點(diǎn)，函數(shù)在角點(diǎn)不可導(dǎo)。 .例題 1判斷函數(shù), 0|, 0 xxyxxx, 在點(diǎn)0 x 處是否可導(dǎo) ( 如右圖 ) 。解由于|0|0| |yxx ，所以000000|limlimlim1|limlimlim1xxxxxxyxxxxxyxxxxx 因?yàn)樽?、右極限不等，故極限0limxyx 不存在，即函數(shù)在點(diǎn)0 x 處不可導(dǎo)。從幾何直觀上看，它的圖像在點(diǎn)0 x 處沒有切線。再例如，在處

11、不可導(dǎo)，為的角點(diǎn)。定理二凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)。Oxyy=|x|證設(shè)函數(shù)在的點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。注意：該定理的逆定理不成立，即若函數(shù)( )f x在點(diǎn)0 x處連續(xù)，在點(diǎn)0 x處未必可導(dǎo)，即連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件。連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例2、設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，但，稱函數(shù)在點(diǎn)有無窮導(dǎo)數(shù)。(不可導(dǎo))例如，在處不可導(dǎo)。3、 設(shè)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的左右導(dǎo)數(shù)都不存在(指擺動(dòng)不定)，則點(diǎn)不可導(dǎo)。例如，在處不可導(dǎo)。4、若，且在點(diǎn)的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，則稱點(diǎn)為函數(shù)的尖點(diǎn)(不可導(dǎo)點(diǎn))。例 2討論函數(shù)，在處的連續(xù)性和可導(dǎo)性。解是有界函數(shù)，。在處連續(xù)。但在處有，當(dāng)時(shí)，在-1 和 1 之間振蕩而極限不存在，

12、在處不可導(dǎo)。證明略。3導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、幾何意義表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率， 即， (為傾角)切線方程為；法線方程為.例 3求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程。解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為所求切線方程為，即。法線方程為，即。三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：連續(xù)是函數(shù)可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件1、導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)：增量比的極限；2、；3、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率；4、函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)；5、求導(dǎo)數(shù)最基本的方法：由定義求導(dǎo)數(shù)。6、判斷可導(dǎo)性外獨(dú)立完成的作業(yè)：外獨(dú)立完成的作業(yè)：推導(dǎo)一遍基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一

13、元函數(shù)微分學(xué)第三節(jié)第三節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和基本公式。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則。教學(xué)形式：教學(xué)形式：多媒體演示、講授法教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、一、引入新課引入新課復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，熟悉已經(jīng)求過的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1()xx( )0c11(log); (ln );ln( )ln ; ( );(sin ) cos ; (cos )sin .axxxxxxxaxaaaeexxxx基本初等函數(shù)與初等函數(shù)的關(guān)系。二、新授課二、新授課1、可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理三設(shè)函數(shù)( ), ( )u x

14、 v x在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)(0)uuvuvvv、在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有：（1）若( )( )( )f xu xv x，則( )( )( )fxu xv x，, 為常數(shù)；（2）若( )( )( )f xu xv x，則( )( )( )( )( )fxu xv xu xv x，推廣：() u vwuvwu v wu vw；（3）若( )( )( )u xf xv x，( )0v x ，則2( )( )( )( )( ) ( )u xv xu xv xfxv x。證明（1） ： 對(duì)于自變量x，取得其改變量x，從而函數(shù)( )yf x取得改變量0000()() ( )( ) ()( ) ()( )()(

15、 )()( )limlim() limlim ( )xxxxyu xxv xxu xv xu xxu xv xxv xyu xxu xv xxv xuvxxxxxyuvyxxxuvxxu x ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )v xu xv xu xv xu xv xu xv x即同理可證：證(3)設(shè)，在處可導(dǎo)。推論(1)；(2)；(3).例 1求432378yxxx的導(dǎo)數(shù)。434332(2378) (2) (3) (7 ) (8) 897yxxxxxxxx解：課堂練習(xí)一：（1）設(shè)曲線22yxx在點(diǎn)M處的切線斜率為3，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為；例 2求2( )sinf xxx的導(dǎo)

16、數(shù)。2222( )(sin ) ()sin(sin ) 2 sincosfxxxxxxxxxxx解：課堂練習(xí)二：（2）設(shè)函數(shù)(1)(2)(3)yx xxx，則(0)y；例 3求的導(dǎo)數(shù)。解即同理可得例 4求的導(dǎo)數(shù)。解同理可得課堂練習(xí)三：（3）設(shè)11xyx，則 y ；三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：1、可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理三設(shè)函數(shù)( ), ( )u x v x在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)(0)uuvuvvv、在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且有：（1）若( )( )( )f xu xv x，則( )( )( )fxu xv x，, 為常數(shù)；（2）若( )( )( )f xu xv x，則( )( )( )(

17、)( )fxu xv xu xv x，推廣：() u vwuvwu v wu vw；（3）若( )( )( )u xf xv x，( )0v x ，則2( )( )( )( )( ) ( )u xv xu xv xfxv x2、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22 (tan )sec; (2) (sec )sec tan(3) (cot )csc; (4) (csc )csc cot .xxxxxxxxxx(1)；四、課外作業(yè)：四、課外作業(yè)：P50 第 2 題（1） 、 （2） 、 （3）第三章第三章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第四節(jié)第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式，用 M

18、athematica 軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：會(huì)用 Mathematica 軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)形式：教學(xué)形式：多媒體演示、講授法教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程二、二、引入新課引入新課復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念，熟悉已經(jīng)求過的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1()xx( )0c11(log); (ln );ln( )ln ; ( );(sin ) cos ; (cos )sin .axxxxxxxaxaaaeexxxx經(jīng)過求導(dǎo)法則所得到的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：22 (tan )sec; (2) (sec )sec tan(3) (cot

19、)csc; (4) (csc )csc cot .xxxxxxxxxx (1)；二、新授課二、新授課1、利用利用Mathematica求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的過程中，會(huì)遇到大量的運(yùn)算，需要特別仔細(xì)。但是，求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟卻是有規(guī)律的，特別符合計(jì)算機(jī)運(yùn)算的要求。利用Mathematica求導(dǎo)數(shù)的格式為D 函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)變量 例1利用Mathematica求解前面的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。注：Loga=lna.2、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且，那么它的反函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)也可的導(dǎo)，且有即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。證任取，給以增量由的單調(diào)性可知，于是有，連續(xù)，又知即例 1求

20、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，在內(nèi)有同理可得；我們也可以更快地用 Mathematica 軟件求得此二函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解在內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)，且，在內(nèi)有特別地我們也可以更快地用 Mathematica 軟件求得此二函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：1、用 Mathematica 軟件求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)D 函數(shù)表達(dá)式，求導(dǎo)變量 2、反函數(shù)求導(dǎo)方法四、課外作業(yè)：四、課外作業(yè)：用傳統(tǒng)方式求 arctanx、及 arccotx 的導(dǎo)數(shù)。第三章第三章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第五節(jié)第五節(jié)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算教學(xué)目的：教學(xué)目的：掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的

21、概念。熟練復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)教學(xué)形式：教學(xué)形式：多媒體講授、演示教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、一、引入新課引入新課默寫公式1( )0 ()()lna () 1 (log) (sin )cosln(cos )sixxxxaCxxaaeexxxxax ，2222n (tan )sec(cot )csc (sec )sec tan1(c )csc cot (arcsin)11(arccos ), 1xxxxxxxxcs xxxxxxx ，221 (arctan ), 11 (arccot )1xxxx 。二、新授課二、新授課1、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理如果函數(shù)( )ux在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)(

22、 )yf u在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處可導(dǎo)，則復(fù)合函 數(shù) ( )yfx在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且( ) ( )dyfuxdx，或記為xuxyyu證由在點(diǎn)可導(dǎo)，故則。推廣設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例 1 求211(7)yx的導(dǎo)數(shù)。解函數(shù)211(7)yx可以看作由函數(shù)11yu和27ux復(fù)合而成。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得1110210210() 11(7)11(2 )22 (7)yuuuxuxx x我們用 Mathematica 軟件求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)課堂練習(xí)：P502求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù): （, , , ,Aa b n 為常數(shù)）（2）2(2)yxx（4）2(21)yx（5）sin()sAt例 2求lnlnyx的導(dǎo)數(shù)。解lnlnyx由

23、ln ,lnyu ux復(fù)合而成，所以1 1111(ln ) ( )lnlnyuuu xx xxx。用 Mathematica 軟件求此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程熟悉后， 可不必寫出中間變量， 直接按照復(fù)合的次序， 由外到里，層層求導(dǎo)。例 3求10(1 2 )yx的導(dǎo)數(shù)。解9 10(1 2 ) (1 2 )yxx9910(12 ) ( 2)20(12 )xx 例 4求2lnsinyx的導(dǎo)數(shù)。2221 cos2sin 2 cotyxxxxx解:用 Mathematica 求得上面兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例 6用 Mathematica 求函數(shù)( )cossinf xxx在6x處的導(dǎo)數(shù)值。解：求導(dǎo)函數(shù)1:I

24、nDCosx-Sinx,x 1Out-Cosx-SinxIn2:=%/.xPi/62321Out2課堂練習(xí)7利用Mathematica求下列各函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:（1）cos sinyxx，求64| , |.xxyy（2）1tancos2，求4|.三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：初等函數(shù)的求導(dǎo)問題初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)，而則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為或利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決。注意：初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)。例 1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解例 2求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解四、課外作業(yè)：四、課外作業(yè)：P502、 （11）22ln()yxxa（12）2cosyx（13）ln(ln(ln

25、 )yx7、利用Mathematica求下列各函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:（1）cos sinyxx，求64| , |.xxyy（2）1tancos2，求4|.第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第六節(jié)第六節(jié)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：教學(xué)目的：會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)形式：課堂教學(xué)形式：課堂講授法教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、引入新課一、引入新課變量y與x之間對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系有不同的表達(dá)方式。例如：sin ,ln1yx yx，直接給出自變量x和因變量y的

26、對(duì)應(yīng)關(guān)系，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為顯函數(shù)。還有另一種表達(dá)方式，如210,0 xxyexy ，其中因變量y不一定能用自變量x直接表達(dá)出來。這種函數(shù)被稱為由方程( , )0F x y 所確定的隱函數(shù)。在實(shí)際問題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。二、新授課二、新授課1隱函數(shù)求導(dǎo)法則若( , )0F x y 中y是x的函數(shù)，從方程( , )0F x y 出發(fā)求 y。（1）將( , )F x y兩端對(duì)x求導(dǎo)。求導(dǎo)過程中視y為x的函數(shù)；（2）求導(dǎo)后得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解此方程則得 y的表達(dá)式，在此表達(dá)式中允許含有y。例 1求由方程1yyxe 確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx。解將1yyxe 兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)：(1)

27、yyxe,0()yyxe,yyyexe y故1yyeyxe。例 2求曲線332yxxy上點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得223 322y yxyxy解出 y，得22223 (320)32yxyyxyx(1,1)|1y 則所求切線方程為1( 1)(1)yx 即20 xy2.利用Mathematica求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是由求導(dǎo)和解方程兩個(gè)步驟組成， 因而， 在Mathematica中可使用D和Solve語句，求由方程( , )0F x y 所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例 3求由方程2244xy所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx。解方程兩邊求導(dǎo)，得從求導(dǎo)結(jié)果中解出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或者將兩

28、個(gè)步驟合并為注意在中意義是一樣的，都表示函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。例 4求方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解即課堂練習(xí)：P543利用Mathematica求由下列方程所確定的各隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)dydx：（1）;x yxye（2）arctan ;xyy3、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)與自變量不是直接由表示，而是通過一個(gè)變量 t 來表示，即其中 t 為參數(shù)，上式稱為函數(shù)的參數(shù)方程。下面求由參數(shù)方程確定的對(duì)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)有連續(xù)的反函數(shù)，又與存在，且，則，則為復(fù)合函數(shù)利用反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，得1( )( )( )( )dydy dtttdxdt dxtt例 1已知圓的參數(shù)方程為求。解( sin )cos

29、/cos( cos )sindydy dxatattdxdtdtatat 4利用參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)步驟是：先求和的導(dǎo)數(shù)，再求它們的商。因而，利用求參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以用Dy , t/ Dx , t例 2求參數(shù)方程，所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解9Out14t例 3求參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)。解例 4求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)。解可以用命令繪制參數(shù)方程所確定函數(shù)的圖形。例 7不計(jì)空氣的阻力。以初速度，發(fā)射角發(fā)射炮彈，其運(yùn)動(dòng)方程為求(1)炮彈在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向；(2)炮彈在時(shí)刻的速度大小。解(1)在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即軌跡在時(shí)刻的切線方向，可由切線的斜率來反映。(2)炮彈在時(shí)刻沿 x，y

30、軸方向的分速度為在時(shí)刻炮彈的速度為課堂練習(xí)：5求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)dydx：（1）212xatbyat（2）111xttyt三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：隱函數(shù)求導(dǎo)法則：直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)；參數(shù)方程求導(dǎo)：實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；四、課外作業(yè)：四、課外作業(yè)：P543利用Mathematica求由下列方程所確定的各隱函數(shù)( )yy x的導(dǎo)數(shù)dydx：（3）;yxxy（4）2222 .xxyyx6曲線2223131atxtatyt上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)2t 處的切線方程和法線方程。第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué)第七節(jié)第七節(jié)高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：教學(xué)目的：了解高階導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)求

31、二階導(dǎo)數(shù)及簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：能熟練地求各種形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)；教學(xué)形式：教學(xué)形式：多媒體教室的講授教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：90 分鐘教學(xué)過程教學(xué)過程一、引入新課一、引入新課問題：變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。設(shè)，則瞬時(shí)速度為加速度是速度對(duì)時(shí)間 的變化率二、新授課二、新授課1定義如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即存在，則稱為函數(shù)在點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)。記作或.二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)，。三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)，。一般的，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，記作或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)。相應(yīng)地，稱為零階導(dǎo)數(shù)；稱為一階導(dǎo)數(shù)。2高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例（1）

32、、由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)。例 1求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。解例 2設(shè)，求。解若為自然數(shù)，則，.注意：求 n 階導(dǎo)數(shù)時(shí)，求出 1-3 或 4 階后，不要急于合并，分析結(jié)果的規(guī)律性，寫出 n 階導(dǎo)數(shù)。(數(shù)學(xué)歸納法證明)例 3設(shè)，求。解例 4設(shè)，求。解同理可得例 5設(shè)(a，b 為常數(shù))，求。解（ 2.）高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)和具有階導(dǎo)數(shù)，則1)2)例 3求112yx的六階導(dǎo)數(shù)。解1In3:=D, ,612xx746080Out3(12 ) x例 4求的三階導(dǎo)數(shù)。解32Out4=x三、本節(jié)小結(jié)：三、本節(jié)小結(jié)：1、 高階導(dǎo)數(shù)的定義；2、 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則3、 n 階導(dǎo)數(shù)的求法；4、利用Mathemat