一輪復(fù)習(xí)之導(dǎo)數(shù)

1、 第一講、變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算考點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【例1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（1）（2）變式1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（1）（2）（3） 變式2已知f(x)=_ 考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義命題角度一 、求切線方程【例2】已知函數(shù)（1）求曲線（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)。變式1設(shè)且命題角度二 求切點(diǎn)坐標(biāo)【例3】（1）設(shè)曲線上點(diǎn)P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)是_（2）若點(diǎn)P是曲線的最小距離為_(kāi)命題角度三 求參數(shù)的值【例4】（1）已知函數(shù)（2）已知曲線相切，則第二講、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)一：利用導(dǎo)數(shù)判斷（證明）函數(shù)的單調(diào)性【例1】已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；變式1 已知函數(shù)（1）確定（2）若考點(diǎn)二、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)

2、的單調(diào)區(qū)間【例2】已知函數(shù)處的切線垂直于直線（1）求（2）求函數(shù)考點(diǎn)三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題命題角度一、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍【例3】已知函數(shù)（1）若（2）若（2）若變式1 已知函數(shù)則該函數(shù)的圖像是（）命題角度二、比較大小或解不等式【例4】（1）若A. C .（2）已知函數(shù)則不等式變式1 已知的導(dǎo)函數(shù)，且總有，則不等式A. 第三講、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值考點(diǎn)一：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【例1】設(shè)（1）當(dāng)（2）求函數(shù)變式1 若函數(shù)A.C.變式2 已知的極小值點(diǎn)，那么函數(shù)的極大值為（）考點(diǎn)二：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【例2】已知函數(shù)（1）求（2）求變式1 函數(shù)變式2 已知（1）討

3、論（2）當(dāng)考點(diǎn)三：函數(shù)的極值與最值的綜合問(wèn)題【例3】已知函數(shù)當(dāng)（1）求（2）求變式1 已知函數(shù)（1）求（2）若函數(shù)與導(dǎo)數(shù)核心解答題核心考點(diǎn)一 含參函數(shù)的單調(diào)性（區(qū)間）、極值與最值解法突破：第一步：（定義域）求函數(shù)的定義域；第二步：（導(dǎo)函數(shù)）求導(dǎo)函數(shù)；第三步：（導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在性進(jìn)行討論；第四步：（零點(diǎn)大小）當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，討論它們的大小關(guān)系及與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系；第五步：（研究主“導(dǎo)”函數(shù)）畫(huà)出主“導(dǎo)”函數(shù)的草圖，判斷符號(hào)。第六步：（寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間）根據(jù)第五步的草圖，確定單調(diào)區(qū)間；第七步：（綜上所述）綜合上述討論的情形，完整地寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。方向一、導(dǎo)數(shù)的靈魂含參函數(shù)的

4、單調(diào)性【例6.1】設(shè)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。變式1.設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性?！纠?.2】設(shè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。變式1.已知函數(shù)，求函數(shù)【例6.3】設(shè)函數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并求最大值和最小值。變式1.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為。（1） 求a,b的值；（2） 求f(x)的單調(diào)區(qū)間。方向二、求含參函數(shù)的極值與最值類(lèi)型一 含參函數(shù)的極值問(wèn)題解法突破：含參函數(shù)的極值問(wèn)題，核心還是含參函數(shù)的單調(diào)性?！纠?.4】已知，求函數(shù)變式1.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為（1） 求（2） 若的極大值。變式2.已知函數(shù)。（1） 當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2） 設(shè)函數(shù),討論的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出極值

5、。類(lèi)型二 函數(shù)確定、區(qū)間含參的最值問(wèn)題解法突破：求最值的原理是不變的，這里要注意的是需按區(qū)間與函數(shù)定義域的關(guān)系分類(lèi)討論?！纠?.5】已知函數(shù)的定義域?yàn)椤＃?）求函數(shù)（2）求函數(shù)變式1.已知函數(shù)fx=3x2+1,g(x)=x3-9x若函數(shù)上的最大值為28，求k的取值范圍。類(lèi)型三 函數(shù)含參、區(qū)間確定的最值問(wèn)題解法突破：超越函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的最值一般都是利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性或極值得到的，函數(shù)在區(qū)間上的最大（小）值，若不是區(qū)間端點(diǎn)值就是極大（?。┲??！纠?.6】已知函數(shù)（1） 若上是增函數(shù)；（2） 求fx在1,+)上的最小值。變式1.已知函數(shù)（1） 若曲線在它們的交點(diǎn)處具有公共切線，

6、求a,b的值；（2） 當(dāng)求函數(shù)并求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值。類(lèi)型四 函數(shù)含參、區(qū)間含參的最值問(wèn)題【例6.7】已知函數(shù)（1） 若求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2） 若求類(lèi)型五 已知最值、求參數(shù)的值域或范圍問(wèn)題解法突破：已知函數(shù)最值，求其中參變量，扔按求最值的思路與步驟進(jìn)行，列出有關(guān)參數(shù)的方程或不等式求其參數(shù)值或范圍。【例6.8】已知函數(shù)（1） 當(dāng)（2） 若變式1.已知函數(shù)（1） 討論的單調(diào)性；（2） 當(dāng)有最大值，且最大值大于核心考點(diǎn)二 函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題思路提升：研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常常與研究相應(yīng)方程的實(shí)根問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化。1、 已知含參函數(shù)存在零點(diǎn)（即至少有一個(gè)零點(diǎn)），求參數(shù)范圍問(wèn)題，一般可化為代數(shù)問(wèn)題求解，

7、即對(duì)進(jìn)行參變分離，得到的形式，則所求a的范圍就是的值域。2、 當(dāng)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)問(wèn)題時(shí)，也常要進(jìn)行參變分離，得到的形式，然后借助數(shù)形幾何（幾何法）思想求解。方向一、方程解（函數(shù)零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)問(wèn)題類(lèi)型一 函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的處理理論解法突破：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題考查的核心是函數(shù)零點(diǎn)的存在唯一性定理：函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且滿足，則函數(shù)在區(qū)間上具有唯一的零點(diǎn)?！纠?.9】設(shè)函數(shù)且（1） 求（2） 求函數(shù)（3） 若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。變式1.已知.(1) 求實(shí)數(shù)b的值。(2) 求函數(shù)(3) 當(dāng)是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)與曲線都有公共點(diǎn)，若存在，求出最小的實(shí)數(shù)m和最大

8、的實(shí)數(shù)M；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。變式2.已知函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使得的圖像與有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。類(lèi)型二 驗(yàn)證零點(diǎn)存在性的賦值理論【例6.10】設(shè)函數(shù)（1） 當(dāng)點(diǎn)處的切線方程；（2） 求（3） 若函數(shù)變式1.討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。變式2.已知函數(shù)。（1） 討論了(2) 若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。類(lèi)型三 可轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題1、含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍【例6.11】設(shè)函數(shù)，其中若函數(shù)（0,3）上不單調(diào)，求k的取值范圍。變式1.已知函數(shù)（1） 設(shè)（2） 在（1）的條件下，若函數(shù)(其中)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，

9、求實(shí)數(shù)m的取值范圍。3、 函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)【例6.12】設(shè)常數(shù)（1） 當(dāng)（2） 求證：變式1.已知函數(shù)在區(qū)間（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。方向二、函數(shù)中的隱零點(diǎn)問(wèn)題解法突破：解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，常分顯零點(diǎn)（可以求出具體的零點(diǎn)）、隱零點(diǎn)（零點(diǎn)不可求，可通過(guò)圖像了解零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可通過(guò)方程了解零點(diǎn)范圍及對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)用）。【例6.13】已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)A（1，f(1)）處的切線與直線平行，求證：函數(shù)變式1.當(dāng)恒成立，求整數(shù)k的最大值。方向三、函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題中有關(guān)雙零點(diǎn)關(guān)系的研究類(lèi)型一 兩零點(diǎn)是二次函數(shù)零點(diǎn)解法突破：當(dāng)研究的兩零點(diǎn)是二次函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，此時(shí)可認(rèn)為兩零點(diǎn)的關(guān)系是

10、明確的，可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根滿足的要求，消元后進(jìn)一步求解。【例6.14】已知函數(shù)，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變式1.已知函數(shù)若函數(shù)，且所有極值之和小于求實(shí)數(shù)的取值范圍。變式2.已知函數(shù)處的切線(1) 求實(shí)數(shù)(2) 設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若類(lèi)型二 兩零點(diǎn)關(guān)系不明確解法突破：當(dāng)兩零點(diǎn)關(guān)系不明確時(shí)，要利用降元思想，將雙元不等式轉(zhuǎn)為單元不等式，即通過(guò)人為或者利用函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建關(guān)系解決，具體途徑有二： 設(shè)函數(shù)零點(diǎn)為主元，將建立關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)思想建立數(shù)量關(guān)系，借助導(dǎo)數(shù)這一工具證明不等式； 利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)為函數(shù)單調(diào)性求解，即將含的形式歸到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，由建立橋梁，轉(zhuǎn)

11、化為單元不等式證明。【例6.15】已知函數(shù)，求證：.變式1 已知函數(shù).求證：變式2 已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試判斷的正負(fù)，并說(shuō)明理由。變式3 已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)核心考點(diǎn)三 不等式恒成立與存在性問(wèn)題方向一、函數(shù)中的恒成立問(wèn)題解法突破：我們所研究的函數(shù)中的恒成立問(wèn)題即在不等式恒成立的條件下，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題。核心思想是轉(zhuǎn)化，即將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解。轉(zhuǎn)化途徑有：1.分離自變量與參變量；2.不分離自變量與參變量。對(duì)于是否分離自變量與參變量的標(biāo)準(zhǔn)在于區(qū)間端點(diǎn)值代入驗(yàn)證，看不等式是否取等號(hào)。若區(qū)間端點(diǎn)值代入，不等式取等號(hào)，則不分離自變量與參變量；若區(qū)間端點(diǎn)值代入，不等式不能取等號(hào)，則可以分離自

12、變量與參變量。分離自變量與參變量的作用在于有效地避免對(duì)參數(shù)的討論。若不分離自變量與參變量，接下來(lái)可有以下三種方法來(lái)求解。解法一：整體分析法，即構(gòu)造函數(shù)分析單調(diào)性，求最值。解法二：從充分條件入手，找到目標(biāo)成立的一個(gè)充分條件，得到參數(shù)范圍A，再驗(yàn)證對(duì)于不等式不恒成立，從而得到參數(shù)范圍。如對(duì)含參數(shù)恒成立，求a的取值范圍，可以大膽假設(shè)目標(biāo)成立的充分條件是單調(diào)遞增，即，得出參數(shù)a的范圍，再證明其范圍的補(bǔ)集不能使恒成立，即找到一個(gè)反例即可，這樣綜合求得參數(shù)范圍。解法三：從必要條件入手，即找到目標(biāo)成立的必要條件，其目的是縮小參數(shù)范圍，有效地避免復(fù)雜的討論，得出范圍A，再證明充分性（即在此范圍內(nèi)，目標(biāo)成立），

13、綜合求得參數(shù)范圍。如對(duì)于含參數(shù)a的函數(shù)恒成立，求a的范圍，則可先得出a所要滿足的必要條件，即,得出參數(shù)a的取值范圍，再證明在此范圍內(nèi)，不等式恒成立。類(lèi)型一 恒成立問(wèn)題處理理論【例6.16】（1）若對(duì)任意恒成立，求a的范圍；（2）若對(duì)任意恒成立，求a的范圍；變式1.若恒成立，求a的取值范圍。變式2.若恒成立，求a的范圍。變式3.設(shè)函數(shù)（1） 討論的單調(diào)性；（2） 當(dāng)，求a的取值范圍。類(lèi)型二 可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立類(lèi)型的問(wèn)題解法突破：很多的問(wèn)題可以通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決。【例6.17】已知函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍。變式1.已知函數(shù)（1） 當(dāng)（2） 若上是單調(diào)

14、函數(shù)，求a的取值范圍。變式2.已知函數(shù)。（1） 討論（2） 若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。方向二、函數(shù)中的存在性問(wèn)題解法突破：我們所研究的函數(shù)中的存在性問(wèn)題即在不等式有解的條件下，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題。（1） 若函數(shù)和最大值則對(duì)不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式不等式不等式不等式（2） 若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋╩,n）則不等式有解問(wèn)題有以下結(jié)論：不等式不等式類(lèi)型一 存在性問(wèn)題處理理論【例6.18】已知函數(shù)。若存在成立，求a的取值范圍。變式1.已知函數(shù)若在區(qū)間使得求實(shí)數(shù)a的取值范圍。變式2.已知函數(shù)曲線處的切線斜率為0.（1）求b；（2）若存在的取值范圍。類(lèi)型二 可轉(zhuǎn)化

15、為存在性類(lèi)型的問(wèn)題【例6.19】已知函數(shù)（1）若函數(shù)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；（2）當(dāng)，函數(shù)上的最小值為，求函數(shù)變式1.已知函數(shù)且函數(shù)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。方向三、函數(shù)中恒成立與存在性的綜合問(wèn)題解法突破：對(duì)于任意的，使對(duì)于任意的，使對(duì)于任意的，使存在，使【例6.20】已知函數(shù)（1）求函數(shù)（2）求證：當(dāng)成立。變式1.已知函數(shù)求證：對(duì)任意【例6.21】已知函數(shù)設(shè)若對(duì)任意的，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。變式1.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)求a的取值范圍。核心考點(diǎn)四 函數(shù)不等式的證明思路提示：構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，

16、而構(gòu)造輔助函數(shù)是導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵，構(gòu)造輔助函數(shù)的一般方法及解題程序如下：1、移項(xiàng)（有時(shí)需要作簡(jiǎn)單的恒等變形），使不等式的一端為0，另一端即為所作的輔助函數(shù)2、求在指定區(qū)間上的增減性；3、求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值（最值），作比較即得所證。 方向一 函數(shù)不等式的證明理論【例6.22】證明不等式：變式1.證明不等式：變式2.證明不等式：方向二 函數(shù)不等式證明中的變形原理解法突破：不等式證明過(guò)程中通常涉及兩類(lèi)問(wèn)題，即不含參函數(shù)與含參函數(shù)，常見(jiàn)的表達(dá)式主要是的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式的混合形式，下面梳理了幾種常見(jiàn)的形式進(jìn)行講解：類(lèi)型一 涉及“冪函數(shù)”與“l(fā)nx”的積商形式解法突破：對(duì)于這類(lèi)函數(shù)，一般來(lái)說(shuō)，每次求導(dǎo)

17、，多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次，但最終的導(dǎo)數(shù)形式需化成不含“l(fā)nx”的式子，如，需兩次求導(dǎo)，才能化成不含“l(fā)nx”的式子，如將“l(fā)nx”分離出來(lái)，只需一次求導(dǎo)，即可化成不含“l(fā)nx”的式子，所以我們?cè)诮鉀Q這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要盡可能把“alnx(a是非零常數(shù))”分離出來(lái)?！纠?.23】已知變式1.已知函數(shù) 變式2.已知函數(shù)（1）求a,b的值；（2）如果當(dāng)類(lèi)型二 涉及“” 與“l(fā)nx”的和差形式解法突破：對(duì)于原函數(shù)中含有的混合形式，可通過(guò)隱零點(diǎn)（導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不能具體算出時(shí)，設(shè)為它滿足方程）所在的方程，將轉(zhuǎn)化為冪的形式處理，簡(jiǎn)化不等式?！纠?.24】設(shè)函數(shù)（1）討論（2）求證：當(dāng)變式1.已知函數(shù) （1）設(shè)是（2）當(dāng)類(lèi)型三 涉及“冪函數(shù)”“” 與“l(fā)nx”的混合形式解法突破：對(duì)于同時(shí)含有冪函數(shù)、的形式，一般的處理方法或思路是將，以及將與冪函數(shù)形式的代數(shù)式進(jìn)行配對(duì)。【例6.25】設(shè)函數(shù)（1）求（2）設(shè)變式1.證明不等式：變式2.已知。求證：方向三 借助鋪設(shè)條件證明不等式【例6.26】已知函數(shù)（1）求（2）若【例6.27】已知函數(shù) （1）討論函數(shù)（2）設(shè)變式