高等數(shù)學函數(shù)

1、1函數(shù)研究對象本章內(nèi)容極限研究方法分析基礎連續(xù)研究橋梁 §1 函數(shù)本節(jié)內(nèi)容: 一、鄰域 二、函數(shù)的概念 三、基本初等函數(shù) 四、復合函數(shù) 五、初等函數(shù)2 一、鄰域1. 定義1: 設, a R R +, 則 點a 的鄰域a (, U a 的中心,(, U a 的半徑. 2. 定義2: 點a 的去心鄰域 3二、函數(shù)的概念f 定義在D 上的函數(shù); D 定義域; x 自變量; y 因變量; ( f x 0x 0處的函數(shù)值; (, W y y f x x D =值域.注意: 函數(shù)的兩個要素定義域和對應法則. 補例1 求下列函數(shù)的定義域.(1 y =1(2 ln y x =+12.4三、基本初等函

2、數(shù)基本初等函數(shù)指下列5類:冪函數(shù) 是常數(shù)( y x =指數(shù)函數(shù) 是常數(shù)(, , x y a a a a =>01 對數(shù)函數(shù) 是常數(shù)log (, , a y x a a a =>01三角函數(shù) sin , cos , tan , cot ,sec , csc y x y x y x y x y x y x =反三角函數(shù) arcsin , arccos , arctan , arccot y x y x y x y x =5 (一 冪函數(shù)1. 冪函數(shù)的定義:( y x R =2. 冪函數(shù)的圖形與性質(zhì): (a 取不同值, 冪函數(shù)的定義域與值域均可能不同;圖1-22x-1圖 1-1 2(b

3、對任意, 函數(shù)圖形都過點(1,1; 當0>時, 圖形過點(0,0和(1,1;(c 當0>時, 冪函數(shù)在(0, +為單調(diào)遞增函數(shù); 而0<時, 冪函數(shù)在(0, +為單調(diào)遞減函數(shù); (d 冪函數(shù)為無界函數(shù). 3. 冪函數(shù)的運算性質(zhì): (a a a a+=;(ba aa -=;(c ( a a =;(d ( a b a b =.(二 指數(shù)函數(shù)(0, 1; x y a a a x R =>且2. 指數(shù)函數(shù)的圖形與性質(zhì): (a 定義域為R , 值域為R +; (b a 不論取何值, 函數(shù)圖形都過點(0,1; (c 當1a >時, 指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù), 而01a <

4、<時, 指數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù); (d 指數(shù)函數(shù)為無界函數(shù); (e 指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù). 3. 指數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì): 與冪函數(shù)的運算性質(zhì)相似, 略. (三 對數(shù)函數(shù)圖 1-3(log 0, 1; (0, a y x a a x =>+且其中a 底數(shù). 一種特殊對數(shù): ln y x =. 2. 對數(shù)函數(shù)的圖形與性質(zhì): (a 定義域為R +, 值域為R ; (b a 不論取何值, 函數(shù)圖形都過點(1,0; (c 當1a >時, 對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù); 而01a <<時, 對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù); (d 對數(shù)函數(shù)為無界函數(shù); (e 對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù).x3.

5、對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì): (a log ( log log a a a uv u v =+;(b log log log a a a uu v v =-;(c log log va a u v u =; (d ln log ln a x x a=.(四 三角函數(shù) 1. sin , cos y x y x =:sin y x =正弦函數(shù);cos y x =余弦函數(shù).sin , cos y x y x =的圖形與性質(zhì): (a 定義域均為R , 值域均為1,1-; (b sin , cos y x y x =均為非單調(diào)函數(shù); (c sin , cos y x y x =均為有界函數(shù);(d sin y x

6、 =為奇函數(shù), cos y x =為偶函數(shù); (e sin , cos y x y x =均為周期函數(shù). 2. tan , cot y x y x =:tan y x =正切函數(shù); cot y x =余切函數(shù). tan , cot y x y x =的圖形與性質(zhì): 圖 1-6(a tan y x =定義域為( 2R k +, cot y x =定義域為R k ,值域均為R ;(b tan , cot y x y x =均為非單調(diào)函數(shù); (c tan , cot y x y x =均為無界函數(shù); (d tan , cot y x y x =均為奇函數(shù); (e tan , cot y x y x

7、=均為周期函數(shù). 3. sec , csc y x y x =:1sec cos y x x =正割函數(shù);1csc sin y x x =余割函數(shù).(五 反三角函數(shù)arcsin , arccos y x y x =arcsin y x =反正弦函數(shù); arccos y x =反余弦函數(shù). arcsin , arccos y x y x =的圖形與性質(zhì): (a arcsin , arccos y x y x =定義域均為1,1-,圖1-7arcsin y x =的值域為2, 2-, arccos y x =的值域為0,; (b arcsin , arccos y x y x =均為單調(diào)函數(shù); (

8、c arcsin , arccos y x y x =均為有界函數(shù); (d arcsin y x =為奇函數(shù), arccos y x =為非奇非偶函數(shù). 2. arctan , arccot y x y x =:arctan y x =反正切函數(shù); arccot y x =反余切函數(shù). arctan , arccot y x y x =的圖形與性質(zhì): (a arctan , arccot y x y x =的定義域均為R ,arctan y x =的值域為(2, 2 -, arccot y x =的值域為(0, ; (b arctan , arccot y x y x =均為單調(diào)函數(shù); (c

9、arctan , arccot y x y x =均為有界函數(shù); (d arctan y x =為奇函數(shù), arccot y x =為非奇非偶函數(shù).第一章 函數(shù)與極限 §1 函數(shù) 四、復合函數(shù) 設 y = ln u, u = tan x , 則 y = ln(tan x . 1. 定義: 設有函數(shù)鏈 ì y = f ( u, u Î D1 ï í u = j ( x , x Î D2 , 則 ï且 j ( D Ç D ¹ F 2 1 î 函數(shù) y = f j ( x 稱為由 y = f (u 及 u = j ( x 復合而成的復合函數(shù), 其中 u 稱為中間變量. 2. 寫出下列復合函數(shù)的復合過程, 并求其定義域. (1 y = arctan( x2 ; (2 y = sin( x2 ; (3 y = (sin x 2 . 16 第一章 函數(shù)與極限 §1 函數(shù) 五、初等函數(shù) 1.定義: 由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次的復合 步驟所構成并且可以用一個式子表示