導數(shù)典型例題講解

1、資料一：導數(shù).知識點x+( x)2 =4 x + ( x)21.導數(shù)的概念例1.已知曲線y=3/X上的一點P(0,0),求過點P的切線方程解析：如圖，按切線的定義，當x0時，割線PQ的極限位置是y軸(此時斜率不存在)，因此過P點的切線方程是x=0.例2.求曲線y=xy1lim =lim - x 0 x x 0 1x(1 1 x)在點(2,4)處的切線方程解析：:y=x2,y=(xo+x)2_xo2=2xox) 4.二k=limylim(4x0xx0曲線y=x2在點(2,4)處切線方程為y4=4(x2)即4xy4=0.例3.物體的運動方程是S=1+t+t2,其中S的單位是米，t的單位是秒，求物體

2、在t=5秒時的瞬時速度及物體在一段時間5,5+t內相應的平均速度.解析：S=l+t+t2,;S=1+(t+t)+(t+t)2-,St即在5(1+t+t2)=2tt+t+(t)2,2t1t,即V(t)2t1t,v(5)t11,5+t的一段時間內平均速度為(t+11)米/秒Sv(t)=S'=lim0lim(2t1t)2t1即v(5)=2X5+1=11.物體在t=5秒時的瞬時速度是11米/秒.例4.利用導數(shù)的定義求函數(shù)y=+在x=1處的導數(shù)。y = 1 x 1x(1 v1 x)解析：y=/111,10,1x.1x2.1xsin例5.已知函數(shù)f(x)=x0,求函數(shù)f(x)在點x=0處的導數(shù)0解

3、析：由已知f(x)=0,即f(x)在x=0處有定義，y=f(0+x)-1f(0)=(x)sin一,y1y1=xsin,lim=limxsin=0,即f(0)=0.xx0xx0x函數(shù)f(x)在x=0處導數(shù)為0.122(x例6.已知函數(shù)f(x)=21,2(x1)1)x<1,判斷f(x)在x=1處是否可導?x1解析：f(1)=1,lim-yx0xlimx01221(ix)211limx01(1-x)1,2y lim x 0 xlimx 0limylimx0xx01-(1x1)1函數(shù)y=f(x)在x=1處不可導.x) 3+3y' =lim y =6x2.x 0 x例7.已知函數(shù)y=2x3

4、+3,求v；解析：:y=2x3+3,y=2(x+(2x3+3)=6x2x+6x(x)2+2(x)3,=6x2+6xx+2(x)2,x例8.已知曲線y=2x3+3上一點P,P點橫坐標為x=1,求點P處的切線方程和法線方程.解析：:x=1,.y=5,P點的坐標為(1,5),利用例7的結論知函數(shù)的導數(shù)為V,=6x2,.y'|x1=6,曲線在P點處的切線方程為y5=6(x1)即6xy1=0,又曲線在P點處法線的斜率為一1,6曲線在P點處法線方程為y5=1(x1),即6y+x31=0.6例9.拋物線y=x2在哪一點處切線平行于直線y=4x5?解析：:V'=limy=lim(xx2x,x0

5、xx0xxf(x0-) f(x0)lim t.X 0x'(x0)定義中的極限形式令2x=4.x=2,y=4,即在點P(2,4)處切線平行于直線y=4x5.例10.設mtw。，f(x)在x0處可導，求下列極限值f(x0mx)f(x0)(1) lim;(2)x0x解析：要將所求極限值轉化為導數(shù)ff(x0mx)f(x0)f(x0mx)f(x0)(1) lim-=lim-(m)mf'(x0),x0xx0mx(其中一mx0)1 ,-f'(xo).'(1).f(Xo-x)f(%)f(Xo-)f(Xo)1(2) limt=limt-x0xx0xtT1(其中1x0)例11.設函

6、數(shù)“乂)在乂=1處連續(xù)，且limf-(x)2,求fx1x1解析：:f(x)在x=1處連續(xù)，.limf(x)f(1).f(x)f(x)一一而又limf(x)lim(x1)lim(x1)lim0X2=0.x1x1x1x1x1x1f(1)=0.f'(1)=limf(1x)f(1)limf(x)f(1)2(將x換成x1)x0x-lim cos(xx 01x1即f'(1)=2.例12.已知拋物線y=ax2+bx+c(aw0),通過點(1,1),且在點(2,1)處與直線y=x3相切，求a,b,c的值.解析：由y'=ya(xx)2b(xx)c(ax2bxc)lim=limL222ax

7、b,x0xx0x由函數(shù)在點(2,1)處與直線y=x3相切，2aX2+b=1,又函數(shù)過點(1,1),(2,-1),.a+b+c=1,4a+2b+c=1,由三式解得a=3,b=11,c=9.例13.設曲線y=sinx在點A(-,)處切線傾斜角為9,求tan(8)的624值.解析：:y=sinx,y=sin(x+x)sinx=2cos(x+x)sinx,22y' = lim y = lim x 0 x x 02cos(xx、_.x)sin一22_xsinx2)lim-cosx.2x0x23e=, 0” 冗),2即y'=(sinx)'=cosx,令在A點處切線斜率為k=cos-

8、=3,tantan(8)=2-74MH,41tan.31一2例14.設f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任何xi、XzCR,都有f(xi+X2)=f(Xi)f(X2),若f(0)w0,f'(0)=1,證明：對任何xCR,都有f(x)=f'(X)解析：由f(Xi+xo)=f(Xi)f(X2),令Xi=X2=0得f(0)=f(0)f(0),又f(0)W0f(0)=1f(x)f(0)f(x)1彳由f(0)=1即hm-lim-1,xoxxox,f'(x)=.f(xx)f(x).f(x)f(x)f(x)f(x)1lim-4-lim-f(x)lim4f(x).xoxxoxxox即f&

9、#39;(x)=f(x)成立.2.幾種常見函數(shù)的導數(shù)例1.已知f(x)=X3,求f'(X),f'(1),(f(1)',f'(解析：f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(1)=3,f'(=3X2=,(f(1)'=(1)'=o.說明：導函數(shù)與函數(shù)在某點處導數(shù)要弄清區(qū)別與聯(lián)系.后者是導函數(shù)的某一函數(shù)值，因此在求函數(shù)某一點處導數(shù)時可先求導函數(shù)，再直接求導函數(shù)值.例2.已知曲線y=x2上有兩點A(1,1),B(2,4),求割線AB的斜率；在1,1+X內的平均變化率；過點A處的切線斜率kAT；點A處的切線方程.解析：kAB=-=3

10、;21平均變化率y-f-(1)f-(1-(1)12XXXXy'=2x,y'|x=1=2.即點A處的切線斜率為Kat=2.點A處的切線方程為y1=2(x1)即2xy1=0.說明：通過本例搞清割線斜率，區(qū)間上平均變化率，某點處切線斜率與某點處的導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，再次驗證了導數(shù)與平均變化率之間的關系例3.利用導數(shù)定義和導數(shù)公式兩種方法求曲線y=1在點P(1,1)處的切線傾斜x角及該點處的法線方程.解析：解法一：f(X)=-,y=f(1+X)-f(1)=-11x1x1xy' |x=1=limx 0y = lim -x x 011.135° ,X=1 1.即在點P處

11、斜率為k=1,傾斜角為法線方程y1=x1即xy=0.1解法(二)：y=f(x)=,y=f(x)X即在點P處切線斜率為k=-1,以下同法(一)說明：求導致方法有兩種，一種是利用導致定義法求導數(shù)，第二種用導數(shù)公式，要注意題目要求，若無聲明，用最簡單的方法即可.例4.已知曲線y=VX上的一點P(0,0),求過點P的切線方程.解析：由y=Vx,y'=(我',在x=0處導數(shù)不存在，由圖形知33x2 .(x 1) (x 1)過P點的切線方程是x=0.0 ,求 cot( 0 )4例5.設曲線y=cosx在A(9,乎)點處的切線傾斜角為的值解析：y=cosx, y' = sin x,x

12、=-時,6k=- sin =tan 0 =-,2,、1cot( 0 )=1 tan1 tan1121 12例6.求曲線y=x3在點(3,27)處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積.解析：y=x3,.v'=3x2,y'|x=3=27,曲線y=x3在點(3,27)處的切線方程為y27=27(x3),即y=27x-54.其與x軸，y軸交點分別為(2,0),(0,54)切線與坐標軸圍成的三角形面積為S=1X2X54=54.2例7.在拋物線y=x2上取橫坐標為x1=1及x2=3的兩點，作過這兩點的割線,問該拋物線上哪一點的切線平行于這一割線？解析：已知兩點A(1,1)B(3,9),割線斜率

13、為kAB=4,. y' =2x,令 y' =2x=4 得 x = 2, 線.3.函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)例1.求下列函數(shù)的導數(shù)： y=3x2+ xcosx； y=lan_x . x即在點(2, 4)處切線平行于這一割,2y=xtan xcosx y=v1工 x解析：y'=6x+cosxxsinx；2,(tanx)'xtanx(x)'xsecxtanxxsin x 2y=cosx_(xcosxsinx)cosx(xsinx2)(sinx)2cosxsinx(cosx2)x2cosx例2.已知函數(shù)f(x)=x37x+1,求f'(x),f'(1

14、),解析：f(x)=x37x+1,y'=f'(x)=3x27,f'(1)=4,f'=-.4注意：導函數(shù)與導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，函數(shù)在某一點的導數(shù)是導函數(shù)在這一點處的函數(shù)值.例3.已知函數(shù)y=x3+ax2fa的導數(shù)為0的x值也都使y值為0,求常數(shù)a3的化解析：V=3x2+2ax,令y'=0,則3x2+2ax=0,xi=0,x2=-a,3當x=0時，y=0=-a,a=0,即a=0滿足條件，3當x=2a時.y=0=a3-a2-a得2=0或2=±332793檢驗知a=±3不滿足條件，常數(shù)的值為0.例4.曲線y=x2+4x上有兩點A(4,0),B(

15、2,4),求割線AB的斜率kAB；過點A處的切線斜率kA；點A處的切線方程。解析：割線AB的斜率kAB=40=-2;24y'=2x+4,'''y'|x=4=4,即kA=-4"過A點的切線方程為y0=4(x4),即y=4x+16.例5.已知F(x)=f(x)+g(x),就下列兩種情形判斷F(x)在x=x。處是否可導？f(x)在x=x°處可導，g(x)在x=x0處不可導.f(x),g(x)在x=x0處均不可導.解析：F(k)在x=x0處不可導.假設F(x)在x=x。處可導，由F(x)=f(x)+g(x),.g(x)=F(x)f(x).f(

16、x)在x=x。處可導，g(x)在x=x。處可導，與條件g(x)在x=x。處不可導矛盾，F(xiàn)(x)在x=x0處不可導.F(x)在x=x0處不一定可導.如設f(x)=sinx+-,g(x)=cosx-,則f(x),g(x)在x=0處均不可導,但F(x)=f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0處可導.1 ,另：若.g(x)=tanx+上，在x=0處不可導，x2 ,F(x)=f(x)+g(x)=sinx+tanx+在x=0處也不可導.x例6.曲線y=x3+x1上求一點P,使過P點切線與直線y=4x7平行.解析：V'=(x3+x1)'=3x2+1,由過P點切線與直線y=4x7平行，

17、令3x2+1=4得x=±1,當x=1時，y=1,此時切線為y1=4(x1),即y=4x3與直線y=4x7平行，P點坐標為(1,1)。當x=1時，y=3,此時切線為y+3=3(x+1),即y=4x+1也滿足條件，P點坐標為(1,-3).綜上得P點坐標為(1,1)或(一1,3).例7.證明：過拋物線y=a(xxi)(xX2),(aw0,xyx?)上兩點A(xi,0),B(X2,0)的切線傾斜角互補.解析：v'=2axa(xi+x2).y'lxx1a(xix2),即k尸a(xiX2),y'|xxia(x2x1),即k2=a(X2Xi),ki=k2,兩切線傾斜角互補.

18、例8.已知曲線y=f(x)及y=f(x)sinax,(aw0),其中f(x)>0,且為可導函數(shù)，求證：兩曲線在公共點處彼此相切.解析：由f(x)=f(x)sinax,f(x)>0,/.sinax=1,ax=2k(kZ),22k2kx=2,設曲線交點(xo,yo),即xo=2.aa又兩曲線yi=f(x),y/二f'(x),yi=f(x)sinax,y2'二f'(x)sinax+acosx-f(x)yi'lxxof'(xo),y2'|xX0f'(xo)sin(2k-)af(x0)cos(2k-)f'(xo),.ki=k2,

19、即兩曲線在公共點處相切.例9.已知直線y=kx與曲線y=x33x2=-(ax2 bx x) 3 - (2 ax+b).+2x相切，求k的值.解析：由V'=3x26x+2=k,又由kx=x3-3x2+2x,.3x36x2+2x=x323x+2x,即2x33x2=o得xi=o或X2=3.k=2或一1.244.復合函數(shù)的導數(shù)、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)2例1.函數(shù)y=(sinx2)3是由函數(shù)y=,u=,v=三個函數(shù)復合而成.2解析：答案分別為：y=u3,u=sinv.v=x2.例2.求下列函數(shù)的導數(shù)：1y=(x2+2x)3；y=e54x；y=3/ax2""bxc;y=(si

20、nx2)3;y=ln(x+41X2);y=x3lig3X；y=cos5x；y=xn,(xeR+,nsin2xR).解析：y=(x2+2x)3,y'=3(x2+2x)2(2x+2)=6(x+1)(x2+2x)2.y=e54x2,y'54x2e54x(8x)=8x-e54xy=vax2bxc,y2-cosxc2xcosx2 2x=33 (sin x2)2112y=(sinx2)3,y'二一(sinx2)33y=ln(x+712x),y(12工)二»-3. y = xhg 3X, y. 2.3=3x lig 3x+x 1lig3e=3x2lig3x+x2iig3e=

21、x2iig3(ex3).xcos5xy=sin2xy'二(cos5x)'(sin 2x) cos5x (sin 2x)'5sin5xsin2x 2cos5xcos2x_2(sin 2x)_2(sin 2x) y=xn=(elnx)nenlnxn In二 e1n 二n 1 n n 1一 x = nx x說明：本例集中訓練常見函數(shù)求導公式，導數(shù)的四則運算法則，復合函數(shù)的求導法則等，這些要反復熟記a w x & ba x b的導數(shù)。a或x b例-函數(shù)f(x)=(xa)20(xb)2x解析：f ' (x)=2(x a)(x 喈b)b)2(xa)(xb)(2xa一

22、f一八0例4.若f(x)=x+ln(x5),g(x)=ln(x1)，解不等式f'(x)>g，(x).解析：f'(x)=1+,g'(x)=,由f'(x)>g(x),有x5x11+>,即(x3)20,；x>5或x<1.x5x1(x5)(x1)又兩函數(shù)定義域為x>5,所以，不等式f'(x)>g'(x)的解集為(5,+oo).說明：求導數(shù)有關問題時還要注意原函數(shù)定義域.例5.證明：可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)。解析：法一：定義法：設f(x)為可導奇函數(shù)，則f(x)=f(x),f(xx)f(x).f(xx)f(x)f(

23、-x)=limlimx0xx0xf(xx)f(x)=lim-=f(x).x0x即f'(x)=f'(x).導函數(shù)為偶函數(shù).法二：復合函數(shù)求導法：設f(x)為可導奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),兩邊對x求導得：f(_x)，=一f，(x)即-f，(x)=f，(x),.f'(x)=f'(x).f'(x)為偶函數(shù)，即命題成立.同理可證：可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù).例6.石頭落在平靜水面上，產生同心波紋，若最外一圈波半徑增大速度總是am/s,問在b秒末波擾動水面積的增大速度是多少？解析：設b秒末最外一圈波紋的半徑為R,則R=ab,2S=兀R,又R=a,S'|

24、R=ab=2TtR-R'(t)|R=ab=2冗bb.即b秒末波擾動水面積的增大率為2冗a2bm2/s.例7.將水注入錐形容器中，其速度為4米3/分，設錐形容器的高為8米，頂口直徑為6米，求當水深為5米時，水面上升的速度.(如圖)解析：設注入水t分鐘后，水深為h米，由相似三角形對應過之比可得水面直徑為3h米，4這時水的體積溫V=17T(3h)2-h=h3,由于水3864面高度h隨時間t而變化，因此h是t的函數(shù)h=h(t),時間t的導數(shù)為V't=V'hh't,.Vt=(h3)'h't64由假設，注水的速度為4米3/分.9/464Vt二hh't

25、=4,即ht=,649h2當h=5米時，水面上升的速度為h，»5=空(米/分).2255.函數(shù)的單調性和極值1.求函數(shù)y=exx+1的單調區(qū)問解析：V'=(exx+11二ex1,由ex1>0得x>0,即函數(shù)在(0,+)上為增函數(shù)；由ex1<0得x<0,即函數(shù)在(一8,0)上為減函數(shù).函數(shù)的單增區(qū)間為(0,+8),單減區(qū)間為(一OO,0).例2.證明：函數(shù)y=2xx2在區(qū)間(0,1)上單調遞增，在區(qū)間(1,2)上單調遞減.解析：:V':，,2xx2當xC(0,1)時，V'>0,f(x)在(0,1)上遞增；當xC(1,2)時，V

26、9;<0,刈在(1,2)上遞減.例3.討論函數(shù)y=x2sinx在(0,2冗)內的單調性.:y'=12cosx,x(0,2兀)，由y'>0,得<x<5-,即y=f(x)在(5")內是單調遞增；同理，由y'v0彳0。<或5<x<2冗，y=f(x)在(0, -)ft( y, 2冗)內都是單調遞減。例 4.設 f(x)= Jx2 1 ax ( a>0),求 a 的范圍，使函數(shù) “乂)在(0, +)± 是單調函數(shù).解析：f ' (乂)=一= a,當 xC(0, + oo)時，0<_=<1, x

27、2 1, x2 1 a>0,且f(x)在(0, +8)上是單調函數(shù)，則必有 f " (x)<0, a>1.即a>1時，函數(shù)“乂)在(0, +8)上是單調函數(shù).例5.已知函數(shù)f(x) = alg(2 ax)(a>0且aw 1)在定義域(0, 1)上是減函數(shù)，求a的取值范圍.解析：:定義域要求2 ax>0, x<-, a2,八 - >1,. a<2,alg(2 ax) .1 y = a In a 10gl0e ( a)2 ax又函數(shù)在(0,1)上都有意義,g2 ax) 1a 1g a 2，x a1g a 0由y' <0,

28、得 2 或x - 0a1g a 00,若 0< a<1,則 1ga<0, x->0,則 x>- >2 與定義域 x C (0, 1) aa矛盾,22只有 a>1,止匕時 1ga >0, x 2<0, x<-<2, . 1<a<2.例6.當x>0時，證明不等式1n(1 x) x1 x解析：設 f(x)= x- 1n(1 x)=1 - 1n(1 x),1 x1 x則 f ' (x)= (1 x)2x(1 x)2當 x>0 時，f ' (x)=(1 x)2<0,即f(x)在(0, +8)上

29、是遞減函數(shù),又當x=0時，f(0)=0.f(x)<f(0),即工1n(1x)<0,1n(1x).1x1x/.1令g(x)=1n(1+x)x,g(x)=當x>0時，g'(x)<O,g(x)也為減函數(shù)，+ x)x<0 即 ln(1 +x)<x.又當x=0時，g(x)=0,g(x)<g(0).ln(1ln(1x)x1 x例7.右圖是函數(shù)y=x3+x25x5的圖象，試結合圖形說明函數(shù)的極值情況：解析：f'(x)=3x2+2x5=(3x+5)(x1),令f'(x)=0,得x1二5,x2=1,3 .x=5和x=1是f(x)可能的極值點，3又

30、由圖象可以看出，f(5)比它臨近點的函數(shù)值大，f(1)比它臨近點的函3數(shù)值要小,f(5),f(1)分別是函數(shù)的極大值和極小值，除此之外，沒有其它極3值點.例8.設函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,在x=1與x=1處有極值，且f(1)=1,求f(x)表達式.解析：=f(x)=ax3+bx2+cx,/.f'(x)=3ax2+2bx+c,x(-oo,+oo),由已加f(x)在x=-1與x=1時有極值. f'(1)=f'(1)=0,又f(1)=-1,3a2bc03a2bc0,解得a=Lb=0,c=-.八.22abc1 .f(x)=2x3-3x.例9.已知f(x)=x2+c,且

31、g(x)=ff(x)=f(x2+1),設小(x)=g(x)入f(x),問：是否存在實數(shù)入，使(|)(x)在(一8,1)上是減函數(shù)，并且在(一1,0)上是增函數(shù).解析：由ff(x)=f(x2+1)得(x2+c)2+c=(x2+1)2+1,得c=1, 小(x)=g(x)入f(x)=x4+(2-X)x2+(2入)是連續(xù)函數(shù)，2小'(x)=2x(2x+2一入)由4(x)在(一8,1)上是減函數(shù)，且在(一1,0)上是增函數(shù)， 小'(x)|x=1=4'(-1)=0,入=4,即存在實數(shù)入=4,使(|)(x)滿足條件.說明：本題若用函數(shù)單調性定義太繁！6.函數(shù)的最大值和最小值例1.求函

32、數(shù)f(x)=5x+2vX3v4x的值域.x3>0.解析：由4x“得f(x)的定義域為一Mx*4,原問題轉化為求f在區(qū)間3,4上的最值問題。.11.y'=f'(x)=5.,Jx32.4x在3,4上f'(x)>0恒成立,.f(x)在3,4上單調遞增.當x=3時ymin15-77,當x=4時yma尸20+2",.函數(shù)的值域為15<7,20+2".例2.設2<a<1,函數(shù)f(x)=x33ax2+b(1&x&1)的最大值為1,最小值32為一Y6,求a,b的值。2解析：f'(x)=3x23ax=3x(x-a)

33、,當x變化時，f'(x),f(x)的變化情況列表如下：11(-1,0)0(0.Ga(u.l)1/'(上)0一0+小.3,-1-a+bb-至+4】一£a+b當x=0時，f(x)取極大值b,而f(0)>f(a),f(1)<f(1),需要比較f(0)與f(1)的大小，f(0)f(1)=3a1>0,；f(x)的最大值為f(0)=b1,2又f(1)f(a尸l(a3-3a-2)=l(a+1)2(a-)<0,22f(x)|min=f(-1),-a-1+b=a=,a=b=1.2223例3.若函數(shù)”沖在0,a上單調遞增且可導，f(x)<0,f(x)是嚴格單

34、調遞增的，求上兇在(0,a上的最大值。x解析：3'f'(x)x2f(x),Vf(x)是嚴格單調遞增的，xx f'(x)>0,f(x)<0,x>0,f'(x)xf(x)>0, f(x)'f'(x)xf(x)>0f(x)在(0,a上是增函數(shù)。xxx .f區(qū)在(0,a上最大值為f.例4.設g(y)=1xx= (a)5是唯一的極值點，是極小值點且是最小值點要使 f(x)>20恒成立，f(x)| mm>20, 122+4xya 7a 7a57yf(-)5)3(-)53a5 >20,在yC1,0上最大值為f(x

35、),xCR,求f(x)表達式；求f(x)最大值。解析：g'(y)=4y2(y3x),yC1,0,當x0時，g"(y)>0,g(y)在1,0上遞增，.f(x)=g(0)=1-x2.一1當<x<0時，g，(y)>0,在1,3x上包成立，在(3x,0)上包成立，3f(x)=g(3x)=1-x2+27x4.當xw1時，g'(y),g(y)在1,0上遞減，.f(x)=g(1)=x234x,1 x2x>0f(x)=1x227x41x0.32 /v1x4xx0-3當x>0時，f(x)<f(0)=1,當xC(1,0)時，f(x)=27(x工)2，+1vf()=U,3545439當x01時，f(x)=(x+2)2+4