復(fù)合函數(shù)微分法1ppt課件

1、3. 4 高階偏導(dǎo)數(shù)和高階全微分高階偏導(dǎo)數(shù)和高階全微分 3. 5 多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分 xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz zuvxyxy1212,1,2,mjjjmjuuuyyyyjnxuxuxux其中1212 ddddnnyyyyxxxxxx1212( ,),( ,),1,2,miinyf u uuuu x xxim及zuvxxzuvxwxxdddd.ddddzzuzvzwxuxv xwx全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)可可形形象象地地表表示示為為zuvttt211)sin(ttuvet .11)sin(cos2tttet .11)sin(cosdd2tttetzt

2、 zxyxyuvtxy,xttzxvvzxuuzxz .yttzyvvzyuuzyz 有有則則而而類類似似地地 ),(, ),(, ),( ),(),(),( ), ,( yxtyxvyxufzyxttyxvvyxuutvufz zuvxyx,dd xvvzxuuzxz yuuzyz 有有則則設(shè)設(shè)例如例如 ),(),( ),( ),( ),( :xyxfzxvyxuvufz zuxyxy,xfxuufxz .yfyuufyz 有有則則若若,),( ),( ), ,(yxyxfzyxuyxufz 例例 2 2設(shè)設(shè)vezusin ，而，而xyu 2 ，yxv 2， 求求xz ，yz . . xvv

3、zxuuzxz 解解:)cossin(22cos2sinvxvyexveyveuuu );cos()sin(2222yxxyxyexy yvvzyuuzyz )cossin2(cos2sinvvxevexveuuu ).cos()sin(2222yxyxxexy zuvxyxy例例 3.3.設(shè)設(shè))(uxFxyz ，而，而xyu ，)(uF為可導(dǎo)函數(shù)，為可導(dǎo)函數(shù)， 證明：證明：xyzyzyxzx . . 證證：)()()()(uFxyuFyxuuFxuFyxz ， ),()(uFxyuuFxxyz .xyz )()()(uFyxyuFyuxFxyyzyxzx 例例 4 4設(shè)設(shè)222),(zyxe

4、zyxfu ，yxzsin2 ， 解解：xzzfxfxu 求求xu 和和yu . . yxzexezyxzyxsin222222222 ).sin21(222sin2422yxxeyxyx yzzfyfyu yxzeyezyxzyxcos222222222 zuxyxy).cossin(24sin2422yyxyeyxyx 例例 5 5設(shè)設(shè)) ,(2xyyxfz ，f有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 求求xz ，22xz ，yxz 2. . 解解：設(shè)設(shè)yxu ，2xyv ， ),( vufz 則則xfyxffyfxxzvuvu 2222)( )(2xvfxufyxvfxufvvvuuvuu

5、 )(222vvvuuvuufyfyfyf uxyfvxyuxyufvxyuxyvfvxyxvfxufxzvu .242vvuvuufyfyf ,2vufyf 為為了了書書寫寫簡簡單單起起見見，可可不不設(shè)設(shè)yxu ，2xyv ，而而 把把2 , xyyx 分分別別簡簡記記為為 1 1，2 2，則則有有1ffu ，2ffv ， 11ffuu ， 12ffuv ，22ffvv . . vvuvuyfyfyyffyfyyxz2)(222 vvvvuuvuuyfyvfyufyyvfyuf22 vvvvuuvuuyfxyffyxyff22) 1(22 uxyufvxyuxyvfvxy.22)2(32vv

6、vuvuuyffxyfyxyf 例例 6 6設(shè)設(shè)) ,(xyzzyxfw ，f具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 求求xw 及及zxw 2. . 12xyfzxyz, 21fyzfxw ,)(221212zfyzyfzfyzffzzxw 12xyifzxyz)2 , 1( i,)(221212zfyzyfzfyzffzzxw ,12111xyffzf ,22212xyffzf 22221212112 zfxyyzfyfxyffzxw 故故.)(22221211yfzfxyfzxyf 例例 7 7設(shè)設(shè)),(3xyxyfxz ， f 具具有有連連續(xù)續(xù)的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 解解：22142

7、13)1(fxfxxfxfxyz ， ) (22222122xyfyfxxf .2422114213yfyfxxffx ,222123115xffxfx 12xyfxy12xyxyif)2 , 1( i),1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz 例例 8 8設(shè)設(shè))(),(xygyxxyfz ，其其中中 f 具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， g g具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，求求yxz 2. . 解解：gxyfyyfxz 221 1 ， ) ( 1221112fyxxfyfyxz )(1 ) (11 22222122gxygxfyxxfyfy . 1 1 3222311221gxygxfyxxyffyf 11112122221212121121121dd,ddd,dnnmnmmmnnjjjnjjjmnmjjjuuuxxxxuuuxyyyxxxuuuxuuuxxxuxxuxyyyxuuuuxx1212dd,dmmuuyyyuuuu121121ddddyyyyuuuuuu即例例 9 9 已已知知02 zxyeze，利利用用全全微微分分形形式式不不變變性性， ,2 zxyeyexz.2 zxyexeyz,d)2(d)2(dyexexeyezzxyzxy ),dd(d)2(x