第4章_功率譜分析

1、第四章第四章 功率譜分析功率譜分析隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 隨機(jī)信號(hào)是時(shí)域無(wú)限信號(hào)，不具備可積分條件，隨機(jī)信號(hào)是時(shí)域無(wú)限信號(hào)，不具備可積分條件，因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換。又因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)因此不能直接進(jìn)行傅里葉變換。又因?yàn)殡S機(jī)信號(hào)的頻率、幅值、相位都是隨機(jī)的，因此從理論上的頻率、幅值、相位都是隨機(jī)的，因此從理論上講，一般不作幅值譜和相位譜分析，而是用具有講，一般不作幅值譜和相位譜分析，而是用具有統(tǒng)計(jì)特性的統(tǒng)計(jì)特性的功率譜密度功率譜密度(power spectral density)來(lái)作譜分析。來(lái)作譜分析。自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)(Auto-power spectral d

2、ensity function)互功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)(cross-power spectral density function)相干函數(shù)相干函數(shù)(coherence function)與頻率響應(yīng)函與頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)(frequency response function)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 設(shè)設(shè)x(t)是零均值的隨機(jī)信號(hào)，且是零均值的隨機(jī)信號(hào)，且x(t)中無(wú)周期性分中無(wú)周期性分量，其自相關(guān)函數(shù)量，其自相關(guān)函數(shù) ，自相關(guān)函數(shù)滿足，自相關(guān)函數(shù)滿足富立葉變換條件富立葉變換條件0 xR 0 xRd 工程中對(duì)信號(hào)進(jìn)行隔直工程中對(duì)信號(hào)進(jìn)行隔直處理，使處理，使 。 對(duì)于含有

3、周期成分的信對(duì)于含有周期成分的信號(hào)，用窗函數(shù)號(hào)，用窗函數(shù)(window function)截?cái)?，使截?cái)啵沟玫?。0 x 隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)(Auto-power spectral density function)定義定義根據(jù)維納根據(jù)維納辛欽公式，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜辛欽公式，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一傅里葉變換偶對(duì)密度與自相關(guān)函數(shù)是一傅里葉變換偶對(duì)(fourier transform dual pair) jxxjxxSRedRSed隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)(Auto-p

4、ower spectral density function)的性質(zhì)的性質(zhì)自功率譜密度函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)。自功率譜密度函數(shù)是實(shí)偶函數(shù)。自功率譜密度函數(shù)是雙邊譜。自功率譜密度函數(shù)是雙邊譜。 單邊功率譜單邊功率譜(one-sided power spectrum)（非負(fù)（非負(fù)頻率上的譜）頻率上的譜） 2 2 0 xxjxGSRed隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 物理意義物理意義信號(hào)的能量在不同頻率成分上的分布。信號(hào)的能量在不同頻率成分上的分布。 2010lim0TxxxTRx t x tdtT 200jfxxxxxxRSf edfSf df 20 xxxxxRSf df隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨

5、機(jī)信號(hào)的功率譜密度 Parseral定理定理信號(hào)的能量在時(shí)域與頻域是相等的。信號(hào)的能量在時(shí)域與頻域是相等的。 自功率譜密度函數(shù)自功率譜密度函數(shù)(Auto-power spectral density function)與幅值譜與幅值譜(amplitude spectrum)的關(guān)系的關(guān)系 22xt dtXfdf 22210lim2110limlim22TxxxTTTxxTTTRxt dtSf dfTRxt dtXfdfTT 21lim2xTSfXfT隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 功率譜估計(jì)功率譜估計(jì) 12 , 1 , 01122 NkkXNkSfXTfSxx其中單邊譜單邊譜 rRkS

6、kXNkXkXnxtxkXNfGxIFFTxFFTx22212平均模平方計(jì)算方法計(jì)算方法隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 工程應(yīng)用工程應(yīng)用1）功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用）功率譜在設(shè)備診斷中的應(yīng)用 汽車變速箱上加速度汽車變速箱上加速度信號(hào)的功率譜圖信號(hào)的功率譜圖 正常正常異常異常隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 可分析系統(tǒng)的可分析系統(tǒng)的 測(cè)量中經(jīng)常用這個(gè)公式計(jì)算頻率響應(yīng)函數(shù)測(cè)量中經(jīng)常用這個(gè)公式計(jì)算頻率響應(yīng)函數(shù)(frequency response function)的幅值，但無(wú)法的幅值，但無(wú)法計(jì)算它的相位、實(shí)部和虛部。計(jì)算它的相位、實(shí)部和虛部。 fH 222 yxHfHfHfYfS

7、fYfYfXfXfSfXf fXfYfH隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 互功率譜密度函數(shù)互功率譜密度函數(shù)(cross-power spectral density function)定義定義如果互相關(guān)函數(shù)滿足福氏變換條件如果互相關(guān)函數(shù)滿足福氏變換條件 單邊互譜密度函數(shù)單邊互譜密度函數(shù)(One-sided cross-power spectrum ) 12jxyxyjxyxySRedRSed xyRd 2 0jxyxyGRed 隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 單邊互譜密度函數(shù)單邊互譜密度函數(shù)(One-sided cross-power spectrum) 其中其中實(shí)部實(shí)部虛部

8、虛部 xyxyxyGCjQ 2cosxyxyCRd 2sinxyxyQRd 22arctanxyjxyxyxyxyxyxyxyxyGGeGCQQC隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 互譜分析的估計(jì)互譜分析的估計(jì) 離散點(diǎn)離散點(diǎn) 對(duì)應(yīng)于數(shù)字信號(hào)對(duì)應(yīng)于數(shù)字信號(hào) iixyiixykYkXNkSkYkXNkS11 iiixyiiixyfYfXTfSfYfXTfS11隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 工程應(yīng)用工程應(yīng)用 可利用互譜求系統(tǒng)的可利用互譜求系統(tǒng)的 可在強(qiáng)噪聲背景下分析系統(tǒng)的傳輸特性可在強(qiáng)噪聲背景下分析系統(tǒng)的傳輸特性 fH fH f fSfSfXfXfXfYfXfYfHxxyX(t)y

9、(t) tn3系統(tǒng)2 tn1系統(tǒng)1 tn2隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度正弦加隨機(jī)正弦加隨機(jī)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 tntntntxty321輸入輸入x(t)與輸出與輸出y(t)的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)(cross-correlation function )為：為： 321nxnxnxxxxyRRRRR由于噪音與輸入無(wú)關(guān)，所以后由于噪音與輸入無(wú)關(guān)，所以后3項(xiàng)為零，于是有項(xiàng)為零，于是有 fSfSfSfSfHxxxxxy xxxyRR隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 譜相干函數(shù)譜相干函數(shù)(spectral coherence function)的定的定義義評(píng)測(cè)輸入、輸出信號(hào)間的因果性，即輸出信號(hào)評(píng)測(cè)輸入、輸出信號(hào)間的因果性，即輸出信號(hào)的功率譜中有多少是所測(cè)試輸入量引起的響應(yīng)。的功率譜中有多少是所測(cè)試輸入量引起的響應(yīng)。 22xyxyxyGGG隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度 頻率響應(yīng)函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)(frequency response function)的的定義定義 譜相干函數(shù)的性質(zhì)譜相干函數(shù)的性質(zhì) y(t)和和x(t)完全相關(guān)完全相關(guān) y(t)和和x(t)完全無(wú)關(guān)完全無(wú)關(guān) y(t)和和x(t)部分相關(guān)部分相關(guān)測(cè)試中有外界干擾測(cè)試中有外界干擾輸出輸出y(t)是輸入是輸入x(t)和其它輸入的綜合輸出和其它輸入的綜合輸出聯(lián)系聯(lián)