高中數學《等差數列的前n項和》教學設計和簡要實錄

1、高中數學等差數列的前n項和教學設計和簡要實錄【課程分析】本節(jié)是高考中的重點內容之一，是在學生學習了等差數列的定義和通項公式的基礎上，進一步解決有關的計算和實際問題.重點為等差數列的前n項和公式及其推導過程.難點為靈活運用等差數列的求和公式解決相關問題.【學情分析】學生已經學習了等差數列的定義及通項公式，有了一定的準備知識，但對等差數列的求和的方法和公式還是一無所知。針對學生的認知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過分析、討論、歸納、探索而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的使用范圍.【學習目標】1、掌握等差數列的前n項和

2、公式及推導公式的思想方法和過程.2、能用等差數列求和公式進行有關的計算，會運用公式解決有關的實際問題.3、在解決實際問題的過程中，體會如何去分析問題，解決問題，激發(fā)學習數學的興趣，提高綜合能力.4、體會數學的文化價值，增強自己的數學素養(yǎng).【設計理念】從實例引出求等差數列前n項和的問題，通過這個實例的解答，使學生了解“等差數列的前n項和公式”的意義，并給出倒序相加求和的方法，增強學生將實際問題抽象成數學模型的構建能力.例2及 “思考與討論”討論的是同一個問題，設計的意圖是先借助實例，從具體到抽象，研究下面一組問題：已知數列an的前n項和Sn公式，這個數列是確定的，并且這個數列的通項公式可以表示成

3、an=，當n=1時，如果SnSn-1的值等于S1，那么an= SnSn-1（nN+）即為所求通項公式.學生比較容易接受，另外，通過組織學生的討論，能增強學生的合作意識.【教學流程】一、復習舊知每個學生發(fā)一張白紙，同時讓兩個學生在黑板上板演，教師說檢測內容：等差數列的定義及定義式；等差數列的通項公式；等差數列通項公式的推導方法.（設計意圖：檢查學生掌握上節(jié)知識的情況，為本節(jié)新課的學習做好準備.）（簡要實錄：學生認真做答，教師巡視，2分鐘后，看到學生做答完畢，讓學生將檢測紙收起來.之后，教師和學生一起對黑板上的做答評價，訂正.）二、引入新課1、創(chuàng)設情境：出示投影：如圖1堆放著一堆鋼管，最上層放了4

4、根，下面每一層比上一層多放一根，共8層，這堆鋼管共有多少根？ 圖1 圖2（設計意圖：從實例引出求等差數列前n項和的問題，通過這個實例的解答，使學生了解“等差數列的前n項和公式”的意義.）（簡要實錄：教師引導學生，這堆鋼管從上至下每層的數量組成首項a1=4，公差的等差數列.求這堆鋼管有多少根，就是求這個等差數列前8項的和，怎樣求這8項的和？學生開始小組討論，3分鐘后，小組代表紛紛發(fā)言，說出自己的思路.有的學生提出，可以聯系三角形面積的得出辦法，補成平行四邊形，利用平行四邊形面積的一半得出.）教師小結：很好，借助此思路，在這堆鋼管旁，再堆放同樣數量的鋼管，如圖2這時每層都有鋼管（411）根，因此這

5、堆鋼管的總數是（411）×8÷2=×8=60（根）.教師提出問題：對于等差數列an的前n項和Sn怎樣求解？教師提示：a1an= a2an1= a3an2=，學生小組討論，由小組代表發(fā)言，說出推導思路：Sn=a1a2a3an， 再把項的順序反過來，Sn又可寫成Sn=anan1an2a1， 把兩邊分別相加，得2 Sn=n（a1an），由此得到，求等差數列前n項和Sn公式Sn=.若將an= na1（n1）d代入得等差數列前n項和的又一公式Sn=na1d .教師讓學生記憶公式并在筆記本上默寫.出示投影：例1：等差數列an的公差為2，第20項a20=29，求前20項的和S2

6、0 .（設計意圖：此題屬于在等差數列中的五個量a1，an，n，d，Sn“知三求二”的題目，目的在于訓練學生對等差數列的通項公式以及前n項和公式的綜合應用能力.）（簡要實錄：教師引導，讓學生得出解題的關鍵是通過通項公式解出a1，之后2個學生板演，其他同學在習題本上做，最后讓學生看課本上的解答過程并進行訂正.）出示投影：例2：已知數列an的前n項和Sn=2n230n.（1）這個數列是等差數列嗎？求出它的通項公式；（2）求使得Sn最小的序號n的值.（設計意圖：讓學生認識到：如果數列an的前n項和Sn已定，那么這個數列就確定了，利用二次函數來解決等差數列的前n項和的最值問題.）（簡要實錄：教師引導，讓

7、學生得出解題的關鍵是通過通項公式解出a1，之后2個學生板演，其他同學在習題本上做，最后看課本解答過程訂正.教師引導學生考慮其他解決辦法，有一個小組的學生代表得出解決等差數列的前n項和存在最值問題.方法一：類似于二次函數，利用配方法求頂點坐標，但數列中nN+.方法二：先求通項公式，若，則數列的前項和最大；若，則數列的前n項和最小.全體同學都表示贊同，并給予熱烈的掌聲.教師也給予肯定，指出方法一抓住了前n項和公式的結構特點，轉化到學生最熟悉的一元二次函數，通過配方法來解決；方法二是找項值的正、負分界點，計算簡單.）出示投影：思考與討論：1、如果已知數列an的前n項和Sn公式，那么這個數列確定了嗎？

8、如果確定了，那么如何求它的通項公式？應注意一些什么問題？2、如果一個數列的前n項和Sn=an2bnc（a、b、C為常數），那么這個數列一定是等差數列嗎？（設計意圖：從例2到 “思考與討論”，是讓學生從具體到抽象，借助實例研究問題.）（簡要實錄：學生分成小組討論，氣氛非?；钴S，各小組的成員紛紛發(fā)表自己的想法.結合例2，最終得出正確結論：已知數列an的前n項和Sn公式，這個數列是確定的，并且這個數列的通項公式可以表示成an=，當n=1時，如果SnSn-1的值等于S1，那么通項公式才能寫成an= SnSn-1（nN+）.）教師強調：等式an= SnSn-1中的限制條件為n2，同學們易忽視而導致有些題

9、目得出錯誤的通項公式.出示投影：例3：李先生為今年上高中的兒子辦理了“教育儲蓄”.從8月1號開始，每個月的1號都存入100元，存期三年.（1）已知當年“教育儲蓄”存款的月利率是2.7，問到期時，李先生一次可支取本息共多少元？（2）已知當年同檔次的“零存整取”儲蓄的月利率是1.725，問李先生辦理“教育儲蓄”比“零存整取”多收益多少元？（設計意圖：存款問題是數列中非常典型的應用問題，通過此題讓學生認識到“等差數列的前n項和公式”在解決實際問題中的作用，會選擇最佳方案.體會知識是由實踐到理論，再作用于實踐不斷循環(huán)提煉而成的辨證唯物主義觀點.）（簡要實錄：教師引導學生，讓學生思考并積極發(fā)言.教師點出

10、解決的關鍵是將實際問題化成數學問題，最后投影完整的解答過程.）3.鞏固反饋：（課后練習A、B中部分題目）1、根據下列各題中的條件，求相應等差數列an的前n項和Sn：（1）a1=6，d=3，n=10；（2）a1=2，an=6，n=8；（3）a4=10，a10=2，n=12；2、計算135（2n3）.3、求等差數列63，60，12的各項的和.4、在2位正整數中，有多少個除以3余1的數？求它們的和.5、等差數列4，3，2，1，前多少項的和是18？6、求集合m|m=7n，nN，且m100的元素個數，并求這些元素的和.7、等差數列14，11，8，前多少項的和最大？為什么？8、數列an中，已知Sn= ，求

11、an的通項公式.（設計意圖：講練結合，提高學生動手解題的能力，并把當堂知識鞏固好，加強知識的落實.）（簡要實錄：點名讓8名同學到黑板板演，其他同學在習題本上做.學生都在迅速做答，10分鐘后，教師讓板演的學生講解自己的解題思路，師生共同訂正，點評出現的錯誤和解決的關鍵.）投影答案：1、（1）195；（2）72；（3）60. 2、項數為n2，很多學生錯認為n項 .3、項數為26，和為663.4、項數為18，和為945.5、12.6、14，和為735.7、an=173n，a50，a60，前5項的和最大.8、an=.有些學生錯解為an= .4.反思小結：（設計意圖：提高學生對本節(jié)課的整體印象，鞏固知識

12、要點，學會歸納系統知識.）（簡要實錄：教師讓學生思考1分鐘，讓學生自己來總結本節(jié)課的知識要點.學生主動站起來口述，其他學生補充.得出本節(jié)課的知識要點為（出示投影）：等差數列的前n項和公式的推導公式倒序相加求法；等差數列的前n項和公式：Sn= =na1d ，a1，an，n，d，Sn中“知三求二”.掌握求等差數列的前n項和最值問題的方法：方法一：類似于二次函數，利用配方法求頂點坐標，但注意數列中nN+.方法二：先求通項公式，若，則數列的前項和最大；若，則數列的前n項和最小.）5.探究性作業(yè)（出示投影）1、已知兩個等差數列和的前n項和之比為（nN*），則等于（ ）A. B. C. D. 2、設f（x

13、）=，利用課本中推導等差數列前n項和公式的方法，可求得f（5）f（4）f（0）f（5）f（6）的值為 .3、已知數列an的前n項和Sn=2n230n.（1）這個數列是等差數列嗎？求出它的通項公式；（2）求使得Sn最大的序號n的值.（設計意圖：這三個小題留做課下作業(yè)，目的是為了加深學生對等差數列求和公式推導方法的理解以及對公式Sn=和公式Sn=na1d結構特點的掌握.）【課后反思】我校開展的“積極學習策略”的研究，為師生搭建了一個展示的舞臺.學校為各班添加了多塊黑板，為了讓更多的學生展示自己的解題思路和過程，使思維中出現的問題更清楚地展現在師生面前.另外，變老師的講解為學生的講解，能鍛煉學生的文字語言組織能力和邏輯能力.學生互相幫教，小組討論，簡單問題小組內解決，問題集中的問題再