經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D4-2[1] 第一類換元積分

1、11.不定積分定義不定積分定義復(fù)習(xí)復(fù)習(xí))()(xfxF 或或若在若在I內(nèi)，內(nèi)，( )d( )f xxF xC 2.不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì)0, 021 kk1212( )( ) d( ) d( ) d k f xk g xxkf xx kg xx 3.微分與積分的關(guān)系微分與積分的關(guān)系 d( )d( )df xxf xx ( )d)CF xF x d ( )( )d( )d( )F xf xxf xxF xC 4.直接積分法：直接積分法： 通過通過恒等變形恒等變形,利用利用線性性線性性把所給積分把所給積分變成變成公式中有的形式，公式中有的形式， 求出積分的方法求出積分的方法.25.基本積分公

2、式基本積分公式;arctanCx ;arcsinCx Kx+CCx 11 );1( 12345dK x dxx xxd112 xxd112 xxdln;xC du?u 3;cosCx ;sinCx ;tanCx ;cotCx ;secCx ;cscCx ;Cex ;lnCaax 6 xxdsin7 xxdcos82secdx x 92cscdx x xxxdtansec xxxdcotcsc xexd xaxd10121113sin d?t t sin2 d?x x costC cos2?x C 4二、第二類換元法二、第二類換元法第二節(jié)一、第一類換元法一、第一類換元法換元積分法 第四四章 5第

3、一類換元法第一類換元法 ( )( )dfxxx 基本思路基本思路 ：( )( ),( )Fuf uux 設(shè)設(shè)可可導(dǎo)導(dǎo), ,則則有有 ( )( )dfxxx ( )FxC ( )( )duxf uu ( )( )uxF uC ( )Fx ( )( )fxx ( )( )duxf uu ( )d( )f uuF uC ( )d ( )fxx 即即( )( )duxf uu 6一、第一類換元法一、第一類換元法定理定理1.( ),( ),f uux 設(shè)設(shè)有有原原函函數(shù)數(shù)可可導(dǎo)導(dǎo) 則則有有換換元元公公式式 ( )( )dfxxx ( )df uu ( )ux ( ( )d ( )fxx (也稱也稱湊微分

4、法湊微分法)即即 ( )( )dfxxx 說明：說明：1. ( )fx ( )dxx ( ( )fx d ( )x 說明被積表達(dá)式說明被積表達(dá)式可看成可看成 的微分的微分,x2.公式說明了公式說明了積分形式的不變性，積分形式的不變性，即即( )d( )f uuF uC 若若 ( )d ( )fxx ( ( )FxC ( )df uu ( )ux 這是積分符號的優(yōu)點(diǎn)這是積分符號的優(yōu)點(diǎn).sin xC cos dx x 如如：sinxC cosd()xx 則則7 ( )FxC 令令( )xu ( )F uC 回代回代( )ux 關(guān)鍵：關(guān)鍵： 將將化為：化為：( )dg x x ( )df uu )(

5、xgdx ( ) fx d)(x ( )d ( )fxx 若若能能若好求若好求例例1.求求 x2cos2dx.解解: x2cos2dx x2cosd(2x)ux 2令令.2sinCx C usin xu 2 回代回代 ucosducos dsinu uuC 3.如何用公式？如何用公式？8注意換回原變量注意換回原變量C 解解:令令uax uln axu 回代回代.lnCax 例例2. 求求1dxxa ax1dx ax1d(x-a) u1du例例3. 求求1d32xx dln;uuCu 令令3 2x u 1ln2u C 回代回代3 2ux 1ln3 2.2x C 解解:121 12 u du 3

6、2x 1d3 2xx d(3 2 )x 9說明：說明： )(baxf.)d1(f axbx d)(bax a12.對變量代換較熟練后，對變量代換較熟練后，就可以不寫出中間變就可以不寫出中間變量量 ，可直接湊微分，可直接湊微分 ，所以第一類換元，所以第一類換元法又叫法又叫“湊微分法湊微分法”.ud ( )x 2xe .C 解解:例例4.22dxxex 求求22dxxex 2xed)(2x解解: 原式原式=例例5.211cosdxxx 求求.1sinCx x1cosd1( )x duueueC cos dsinu uuC 211d()dxxx 101.一般地：一般地：11 d()mmxf x 1d

7、 ()mmf xxx 11 m說明：說明：2. 這一部分的題型變化多端這一部分的題型變化多端,最好能把用過的方法記下最好能把用過的方法記下來來,起碼有起碼有“似曾相識似曾相識”的感覺的感覺.這一部分需要靈活的、這一部分需要靈活的、有經(jīng)驗(yàn)的頭腦有經(jīng)驗(yàn)的頭腦.經(jīng)驗(yàn)來自于不斷地積累經(jīng)驗(yàn)來自于不斷地積累;經(jīng)驗(yàn)來自于實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來自于實(shí)踐.故需要多做題多積累故需要多做題多積累.3.記住幾個重要微分公式：記住幾個重要微分公式：1dd()xaxba21dd()2x xx 211dd()xxx1dd(2)xxx 1dd(ln )xxx 4.記住微分法則記住微分法則:d ( )( )df xfxx d()dduvu

8、vd()d ,CuC u 11解解: 原式原式=.323Cex 例例6.xex31 求求dx.3 d(2)xex )3(3123 xex d例例7.求求 21xxdx.解解: 原式原式=.)1 (31232Cx 21 d x21-( ) 212)1 (x1d (1)1uuxC 1dd(2)xxx 21dd()2x xx 12例例8. 求求d.(12ln )xxx 12ln x dln x解解: 原式原式 =1212ln x d(12ln )x 1ln 12ln2xC例例9. 求求tan d .x x 解解:sindcosxxx dcoscosxx ln cosxC cot d?x x cosd

9、sinx xx ln sin xCdsinsinxx tan dx x 類似類似tan dln cos,x xxC Cxxx sinlndcotdln;uuCu 13原式原式=Caxa arctan1即即解：解：例例10.221d .(0)x aax 求求221d1 ( )xaxa 2 d( )11 ( )xaxaa 2211darctanxxCaxaa 例如例如. 求求2d23xxx 22d(1)( 2)(1)xx 2d2(1)xx .21arctan22Cx 2darctan1uuCu 14原式原式=arcsinxCa 即即解：解：例例11.221dxax 求求(0)a 21d1 ( )x

10、axa 2 d( )1( )xaxa 221darcsin.xxCaax 2darcsin1uuCu 21d?4xxx 如如：21d4 (2)xx 2arcsin.2xC 152211dln2xaxCxaaxa 解：解：.ln21Caxaxa Caxaxa lnln21例例12. 求求22d (0).xaxa 原原式式1d()()xxaxa 1121axaxadx111d d 2xxaxaxa 即即例如例如. 2d=23xxx ？22d(1)2xx .31ln41Cxx 1 d()d()2axaxaxaxa 16解：解：24sinsin)d(sin )xxx ( (例例13. 求求23sinc

11、osd .xx x 原原式式3511sinsin35xxC 22sincosd(sin )xxx 解：解：1 1dcos2 d 2xx x 例例14. 求求.dcos2xx 11cos2 d(2 )22xxx 11(sin2 )22xxC xx d)2cos1(21 原原式式經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)驗(yàn)：對于對于sincosdmnxx x 拆開奇次冪湊微分，拆開奇次冪湊微分，若若m,n均為偶數(shù)均為偶數(shù),則用降冪公式則用降冪公式,降為一次降為一次.22(1 sinsind(si)n )xxx 21 cos22cosxx 21cos22sinxx 17解解:),cos()cos(21coscosBABABA ),5

12、cos(cos212cos3cosxxxx .5sin101sin21Cxx 例例15. 求求.d2cos3cosxxx cos3 cos2 d xx x 1(coscos5 )d2xxx 變形方法：變形方法：積化和差積化和差11cosdcos5 d22x xx x18解法解法1:Cx 2tanln.cotcsclnCxx 例例16. 求求cscdx x csc dx x 1dsinxx 1d2sincos22xxx )2()2(cos2tan12 xxx d1 d(tan)2tan2xx cscdln csccot.x xxxC 所以所以2secdd(tan )u uu 19sin2o2ta

13、ns2cxxx1cossinxx xxcotcsc sin1cosxx 2cos22cos2sin22xxx2cos2sin2xx sin (1cos )(1cos )(1cos )xxxx 2sin1c1costan21osc1cosossinxxxxxxx 20解法解法2:xucos Cuu 11ln21 Cxxcos1cos1ln21類似地類似地1dsinxx 2sindsinxxx 2d(cos ) 1 cosxx 21 d1uu secdln sectan.x xxxC ln csccot.xxCcscdx x sec dcsc()d2x xxx d()2x lncsc() cot(

14、)22xxC ln sectan.xxC 2211dln2xaxCxaaxa cscdln csccot.x xxxC 21例例17. 求求sec d .x x 解解: sec dx x secdxx sectanxx (sectan )xx 2secsectandsectanxxxxxx sectanxx d(sectan )xx ln sectanxxC csc dln csccotx xxxC secdln sectanx xxxC 公式：公式：6secd?x x 222(sec) sdecxxx 22(1 tan)(tadn )xx 24(1 2tantadn) (tan )xxx 3

15、521tantantan35xxxC 2secdd(tan )x xx sectan dd(sec )xx xx 22解法解法1：4611tantan46xxC 解法解法2：6411secsec.64xxC 原式原式原式原式=例例18. 求求32 tansencd(ta)xxx 231tatan() (ta)nnxxx d )(tand)tan(tan53xxx )(secdsectan32xxx )(secdsec) 1(sec32xxx )(secd)sec(sec35xxx43sectand .xx x 經(jīng)驗(yàn)：經(jīng)驗(yàn)：對于對于tansecd :mnxx x m為為奇奇數(shù)時數(shù)時,化為化為(s

16、ec );fxn為為偶偶數(shù)時數(shù)時,化為化為(tan ).fx注意：積分方法不同注意：積分方法不同,結(jié)果的形式不同結(jié)果的形式不同.2secdd(tan )x xx 23例例19. 求求d.1xxe 解法解法1:d1xxe (1)d1xxxeexe dx d1xxexe ln(1)xxeCd?1sinxx 解法解法2: d1xxe d(1)xxxexee d()(1)xxxeee d(1)ttt 11d1ttt lnln(1)ttCln(1)xxeC解法解法3: d1xxe d1xxexe d(1)1xxee ln(1)xeC dd()xxexe 24基基本本積積分分表表(2)14. tandln

17、 cos;x xxC 15. cotdln sin;x xxC 16. secdln sectan;x xxxC 17. cscdln csccot;x xxxC 221118.darctan;(0)xxCaaxaa 22119.darcsin;xxCaax (0)a 221120.dln;(0)2xaxCaxaaxa 小結(jié)小結(jié):第一類換元法第一類換元法(湊微分法湊微分法)P205() ( )( )d( )d uxfxxxf uu 25常用的湊微分公式：常用的湊微分公式：1dd(),0 xaxb aa 21dd()2x xx dd()xxexe 1dd(ln)xxx sin dd( cos )

18、x xx cos dd(sin )x xx 2secdd(tan )x xx 21dd(arctan )1+xxx 211dd()xxx 1dd(2)xxx 26常用簡化技巧常用簡化技巧:(1) 分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分:(2) 降低冪次降低冪次:221sincosxx 等等212sin(1cos2 );xx 212cos(1cos2 );xx 萬能湊冪法萬能湊冪法11()d()d()nnnnnf xxxf xx 111()d()d()nnnnnxf xxf xxx 利用積化和差利用積化和差; 分式分項(xiàng)分式分項(xiàng)(通分的逆運(yùn)算通分的逆運(yùn)算);利用倍角公式利用倍角公式 , 如如(3) 統(tǒng)一函數(shù)統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式利用三角公式 ; 配方等方法配方等方法.(4) 巧妙換元或配元巧妙換元或配元,化分母為單項(xiàng)式等化分母為單項(xiàng)式等.27101d(1)xx x 如：如： 求求10d.(1)xx x 提示提示: 法法1.法法2.法法3.10d(1)xx x 10)x 10d(1)xx x 1010(1)xx 10d(1)xx x 1110d(1)xxx 101x 10d()x11010(x 10d()x 110 上面所舉的例子上面所舉的例子,可以使我們認(rèn)識到第一類換元積分可以使我們認(rèn)識到第