計算聲學第五章 插值法

1、第五章第五章 插值法插值法 在實際科學計算中常會出現(xiàn)這樣的情況，由于函數(shù)的解析表達式過于復雜不便計算，但是需要計算多個點處的函數(shù)值；或者函數(shù)的解析表達式 未知，僅知道它在區(qū)間 內n+1個互異點 處對應的函數(shù)值 ，需要構造一個簡單函數(shù) 作為函數(shù) 的近似表達式 ，使得這類問題稱為插值問題插值問題， 稱為插值函數(shù)插值函數(shù)。如果插值函數(shù)類 是代數(shù)多項式，則相應的插值問題稱為代數(shù)插值代數(shù)插值；如果 是三角多項式，則相應插值問題稱為三角插值三角插值。)(xf,banxxx,10nyyy,10)(xP)(xfy )()(xPxfy), 1 , 0( )()(niyxfxPiii)(xP)(xP)(xP1 拉

2、格朗日（Lagrange）插值l代數(shù)插值代數(shù)插值定義定義：設 在區(qū)間 上有定義，且在 上的n+1個不同點 的函數(shù)值為 ，如果存在一個代數(shù)多項式 ，其中 為實數(shù)，使得成立，則稱 為函數(shù) 的插值多項式插值多項式，點稱為插值節(jié)點插值節(jié)點，包含插值節(jié)點的區(qū)間 稱為插值區(qū)間插值區(qū)間，關系式 稱為插值條件插值條件。求插值多項式的問題稱為代數(shù)插值問題代數(shù)插值問題。)(xfy ,ba,babxxxan10nyyy,10nnnxaxaxaaxP2210)(ia), 2 , 1 , 0( )(niyxPiin)(xPn)(xfy nxxx,10,ba), 2 , 1 , 0( )(niyxPiin)(xPn1 拉

3、格朗日（Lagrange）插值l幾何意義幾何意義：1 拉格朗日（Lagrange）插值 幾何意義為通過n+1個點 做一條代數(shù)曲線 ，使其近似于曲線 ，利用 上的點近似代替 上的點。（用于對函數(shù)的離散數(shù)據(jù)建立簡單的數(shù)學模型）余項余項：在區(qū)間 上用 近似 ，除了在插值節(jié)點處 外，在區(qū)間其余點處一般都有誤差。令 ，則 稱為插值多項式的余項，它表示用 近似 時產生的截斷誤差截斷誤差。一般情況下，越小，近似程度越好。 ), 2 , 1 , 0( ),(niyxii)(xPyn)(xfy )(xPyn)(xfy ,ba)(xPn)(xfix)()(iinxfxP)()()(xPxfxRnn)(xRn)(x

4、Pn)(xf)(maxxRnbxa1 拉格朗日（Lagrange）插值定理定理：在n+1個互異節(jié)點 上滿足插值條件的次數(shù)不高于n次的插值多項式 存在且唯一。證明證明：如果插值多項式 的系數(shù) 可以被唯一確定，則該多項式存在并且唯一。由插值條件 ，插值多項式中的系數(shù) 滿足n+1階線性方程組 ix), 2 , 1 , 0( )(niyxPiin)(xPnnnnxaxaxaaxP2210)(naaa,10), 2 , 1 , 0( )(niyxPiinnaaa,10nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa221011212110002020101 拉格朗日（Lagrange

5、）插值方程組中未知量 的系數(shù)行列式為范德蒙行列式因為插值點互不相同，即 ，所以 ，方程組有唯一解 ，即插值多項式存在并且唯一。naaa,10nijjinnnnnnxxxxxxxxxxxV0212110200)(111)(jixxji0Vnaaa,101 拉格朗日（Lagrange）插值l線性插值線性插值1 拉格朗日（Lagrange）插值l定義定義：設函數(shù) 在區(qū)間 端點的值分別為 ，用線性函數(shù) 來近似代替 ，確定參數(shù) ，使則稱線性函數(shù) 為 的線性插值函數(shù)線性插值函數(shù)。l幾何意義幾何意義：如圖所示，利用通過兩點 和 的直線 去近似代替曲線 。)(xfy ,10 xx)(),(1100 xfyxf

6、ybaxxLy)(1)(xfba,)()( ),()(111001xfxLxfxL)(1xL)(xf)(,(00 xfxA)(,(11xfxB)(1xLy )(xfy 1 拉格朗日（Lagrange）插值由直線方程的兩點式方程可求得 的表達式為：記則 都為 的一次函數(shù)，并且具有下列性質我們把具有這種性質的函數(shù) 稱為線性插值基函數(shù)線性插值基函數(shù)。)(1xL101001011)(yxxxxyxxxxxL01011010)( ,)(xxxxxlxxxxxl)(),(10 xlxlx) 1 , 0,( , 0 , 1)(kikikixlik)(xlk1 拉格朗日（Lagrange）插值線性插值函數(shù) 用

7、基函數(shù)可以表示為上式說明，任何一個滿足插值條件的線性插值函數(shù)都可由線性插值基函數(shù) 的一個線性組合來表示。)(1xL)()()(11001xlyxlyxL)()( ),()(111001xfxLxfxL)(),(10 xlxl1 拉格朗日（Lagrange）插值定理定理：設 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內存在，是滿足插值條件 的插值多項式，則對任何 ，插值余項（截斷誤差）為其中 ，且依賴于 。如果 ，則截斷誤差限截斷誤差限是)(xf ,10 xx)(xf ),(10 xx)(1xL)()( ),()(111001xfxLxfxL,10 xxx)(! 2)()()()(1011xxxxfxLxfxR )

8、,(10 xxx1)(max10Mxfxxx )(! 2)(1011xxxxMxR1 拉格朗日（Lagrange）插值l拋物線插值拋物線插值1 拉格朗日（Lagrange）插值 設已知 在三個不同點 上的值分別為 ，做一個二次插值多項式 ，使其滿足插值條件由于通過不在同一直線上的三點可做一條拋物線，所以稱二次插值多項式 為 的拋拋物線插值函數(shù)物線插值函數(shù)。 設二次插值多項式為（插值基函數(shù)的線性組合）)(xfy 210,xxx210,yyy)(2xL)2 , 1 , 0( )(2iyxLii)(,(),(,(),(,(221100 xfxCxfxBxfxA)(2xL)(xf202211002 )

9、,()()()(xxxxlyxlyxlyxL1 拉格朗日（Lagrange）插值其中 都是二次多項式，且滿足已知 ，即 是 的兩個零點，所以設其中 為待定常數(shù)。由 得到所以)2 , 1 , 0( )(kxlk)2 , 1 , 0,( , 0 , 1)(kikikixlik0)()(2010 xlxl21,xx)(0 xl)()(210 xxxxkxlk1)(00 xl)(11)(20102010 xxxxkxxxxk)()()(2010210 xxxxxxxxxl1 拉格朗日（Lagrange）插值同樣求得所以上式又稱為 的二次拉格朗日插值多項式二次拉格朗日插值多項式。)()()(210120

10、1xxxxxxxxxl)()()(1202102xxxxxxxxxl)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL)(20 xxx)(xf1 拉格朗日（Lagrange）插值l截斷誤差截斷誤差與截斷誤差限截斷誤差限 如果 在區(qū)間 上連續(xù)， 在 內存在，則用 去近似 的截斷誤差截斷誤差為其中 ，并且依賴于 。如果 ，則截斷誤差限截斷誤差限為)(xf ,20 xx)(xf ),(20 xx)(2xL)(xf)()(! 3)()()()(21022xxxxxxfxLxfxR ),(20 xxx2)(max20Mxfx

11、xx )()(! 3)(21022xxxxxxMxR1 拉格朗日（Lagrange）插值例例：設 ，試分別應用線性插值和拋物線插值公式計算 的近似值（13.2287565553）。解解：取 ，則對應的以 為節(jié)點做線性插值以 為節(jié)點做拋物線插值xxf)()175(f196,169,144210 xxx14,13,12210yyy21,xx222222.131416919616917513196169196175)175(1L210,xxx229402.13 14)169196)(144196()169175)(144175( 13)196169)(144169()196175)(144175(1

12、2)196144)(169144()196175)(169175()175(2L1 拉格朗日（Lagrange）插值由 得到 ，所以 xxf)(2/52/383)(,41)( xxfxxf32/31101138. 016941M52/52101507. 014483M00717. 0)196175)(169175(! 2)175(11MR00098. 0)196175)(169175)(144175(! 3)175(22MR1 拉格朗日（Lagrange）插值l拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式 設函數(shù) 在節(jié)點 處的函數(shù)值為 ，做一個n次插值多項式 ，并使 在節(jié)點處滿足則n次插值基函數(shù) ，就

13、是在n+1個節(jié)點 上滿足條件的n次多項式。)(xfy nxxx10), 1 , 0( )(nkxfykk)(xLn)(xLn), 2 , 1 , 0( )(nkyxLkkn), 2 , 1 , 0( )(nkxlknxxx10), 2 , 1 , 0,( , 0 , 1)(nkikikixlik1 拉格朗日（Lagrange）插值經過推導得出n次插值基函數(shù)顯然 滿足插值條件，所以上面插值多項式就稱為n n次拉格朗日插值多項式次拉格朗日插值多項式。當 時， 分別為線性插值多項式線性插值多項式和二次插值二次插值多項式多項式。), 2 , 1 , 0( ,)()()()()()()(11101110

14、nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkkkkkkknkkk)(xlknkkknxlyxL0)()(2 , 1n)(),(21xLxL1 拉格朗日（Lagrange）插值羅爾定理羅爾定理：如果函數(shù) 在 上連續(xù)， 內可導，并且 ，則至少存在一點 ，使得 。截斷誤差截斷誤差：如果 在區(qū)間 上連續(xù)， 在內存在， 是n+1個節(jié)點，則用 去近似所產生的截斷誤差為其中 且依賴于 ， 。)(xf,ba),(ba)()(bfaf),(ba0)(f)()(xfn,0nxx)()1(xfn),(0nxxnxxx10)(xLn)(xf)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnnnn),(0

15、nxxx)()()(101nnxxxxxxx1 拉格朗日（Lagrange）插值證明證明：由插值條件 可以得到 ，即n+1個節(jié)點是 的零點，所以設其中 是與 有關的待定函數(shù)。 為了求得 ，對區(qū)間 上異于 的任意一點 ，作輔助函數(shù)), 2 , 1 , 0( )(nkyxLkkn), 2 , 1 , 0( 0)(nkxRknnxxx10)(xRn)()()(1xxKxRnn)(xKx)(xK,0nxxkx), 2 , 1 , 0( nkxxk)()()()()(1txKtLtftFnn1 拉格朗日（Lagrange）插值將 看作是異于節(jié)點的一個固定點，則上式 滿足（1） ，即 在上有n+2個零點，

16、分別為 ；（2）在 內具有n+1階導數(shù)，并且有由羅爾定理，在 的兩個零點之間至少存在一個 的零點，所以 在 內至少有n+1個互異的零點。x)(tF0)()()()(10nxFxFxFxF)(tF,0nxxnxxxx,10),(0nxx)!1()()()()1()1(nxKtftFnn)(tF)(tF)(tF),(0nxx1 拉格朗日（Lagrange）插值反復應用羅爾定理，最后可以得到 在 內至少有一個零點 ，即所以由此得到)()1(tFn),(0nxx),( , 0)!1)()()(0)1()1(nnnxxnxKfF)!1()()()1(nfxKn),( ),()!1()()(101)1(x

17、xxnfxRnnn1 拉格朗日（Lagrange）插值由于余項中含有因式如果插值點 偏離插值節(jié)點 比較遠，則插值誤差會比較大。如果插值點 位于插值區(qū)間內，插值過程稱為內插內插，否則稱為外推外推。根據(jù)余項定理，外推是不可靠的。 另外余項公式中有高階導數(shù)項 ，就要求 足夠光滑否則誤差可能會比較大。 代數(shù)多項式是任意光滑的，原則上只適用于逼近光滑性好的函數(shù)。)()()(101nnxxxxxxxxxkx)()1(nf)(xf1 拉格朗日（Lagrange）插值例：例：已知 在點 的值由下表給出。試分別用線性插值與二次插值計算 的近似值，并進行誤差估計。解：解：取 代入線性插值公式得xe3 , 2 ,

18、1x1 . 2exxe1230.3678794410.1353352830.0497870681 . 2, 3, 210 xxx126780462. 0 049787068. 02321 . 2135335283. 03231 . 2 ) 1 . 2(101001011yxxxxyxxxxL1 拉格朗日（Lagrange）插值取 代入二次插值公式得誤差估計： 1 . 2, 3, 2, 1210 xxxx120165644. 0 049787068. 0)23)(13()21 . 2)(11 . 2( 135335283. 0)32)(12()31 . 2)(11 . 2(367879441.

19、0)31)(21 ()31 . 2)(21 . 2( )()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL00609009. 0)31 . 2)(21 . 2(! 2) 1 . 2(21eR00607001. 0)31 . 2)(21 . 2)(11 . 2(! 3) 1 . 2(12eR課后題課后題：1、當時 ， ，求 的二次插值多項式。2、已知函數(shù) 的觀察值如下： 試求其拉格朗日插值多項式。1 拉格朗日（Lagrange）插值2 , 1, 1x 4 , 3, 0 xf xf xfy iixiy0123012323

20、0-12 分段低次插值l高次插值中的問題高次插值中的問題 一般來說，適當提高插值多項式的次數(shù)，會提高插值結果的準確程度。但是，提高插值多項式的次數(shù)，插值多項式會變得復雜，計算量加大。并且高次插值多項式往往具有數(shù)值不穩(wěn)定的缺點，會產生高次插值不準確的龍格現(xiàn)象龍格現(xiàn)象。 所以當插值節(jié)點數(shù)n+1較大，特別是插值區(qū)間也較大時，通常不采用高次插值，而采用分段低次插值。常用的有分分段線性插值段線性插值和分段拋物線插值分段拋物線插值。分段低次插值的優(yōu)點是公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩(wěn)定性，并且避免了計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢。2 分段低次插值l原因原因：(1)由拉格朗日插值多項式余項，

21、當差值節(jié)點增加時，的變化可能會很大，那么 可能很大；特別是當插值節(jié)點比較分散、插值區(qū)間較大時， 也比較大，這樣就造成了近似時的截斷誤差較大；(2)當n增大時，拉格朗日插值多項式次數(shù)增加，計算量急劇增大，這樣就加大了計算過程中的舍入誤差。 )()1(xfn)(max)1(xfMnbxan)(1xn2 分段低次插值l分段線性插值分段線性插值設在區(qū)間 上有節(jié)點 ，函數(shù)在上述節(jié)點處的函數(shù)值為 ，連接相鄰兩點 ，得到一條折線函數(shù)，如果滿足：（1） 在區(qū)間 上連續(xù)；（2） ；（3） 在每個子區(qū)間 上是線性函數(shù)，則稱折線函數(shù) 為分段線性插值函數(shù)分段線性插值函數(shù)。,babxxxxann110)(xf), 2

22、, 1 , 0( )(nixfyii) 1, 1 , 0( ),( ),(11niyxyxiiii)(x)(x)(x,ba), 2 , 1 , 0( )(niyxii,1iixx)(x2 分段低次插值 在每個子區(qū)間 上可以表示為從幾何上講，分段線性插值就是用一條過n+1個點 的折線來近似表示 。 在整個區(qū)間上用基函數(shù)來表示可以寫為)(x,1iixx) 1, 2 , 1 , 0( ,)(1111niyxxxxyxxxxxiiiiiiii),( ,),(),(1100nnyxyxyx)(xf)(xbxaxlyxniii , )()(02 分段低次插值l分段拋物線插值分段拋物線插值分段拋物線插值就是

23、把區(qū)間 分成若干個子區(qū)間，在每個子區(qū)間 上用拋物線去近似曲線，則用 表示分段拋物線插值函數(shù) 有下列性質：(1) 在區(qū)間 上是連續(xù)函數(shù)；(2) ；(3)在每個子區(qū)間上 ， 是次數(shù)不超過二次的多項式,ba) 1, 2 , 1(,11nixxii)(x11111111111111)()()()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxx)(x)(x)(x,ba), 2 , 1 , 0( )(niyxii,11iixx2 分段低次插值l插值點選擇插值點選擇：選擇插值點的原則是盡可能在插值點的鄰近。公式中i的取法歸結為111111 ,

24、11, 3 , 2, ,1, 3 , 2, , 1 , 1nkkkkkkkkxxnnkxxxxxxxknkxxxxxxxkxxi3 差商與牛頓（Newton）插值多項式 拉格朗日插值法有一個缺點缺點，當有了新的數(shù)據(jù)，插值節(jié)點增加時，插值多項式需要重新構造和計算，之前的計算結果無法繼續(xù)利用。從構造算法的一般原則一般原則來說，應設法充分充分利用已經獲得和計算的數(shù)據(jù)信息利用已經獲得和計算的數(shù)據(jù)信息。為了克服拉格朗日插值法的缺點，介紹牛頓插值多項式。它使用比較靈活，增加插值節(jié)點時，只是在原來的基礎上增加部分計算量，原來的計算結果仍可繼續(xù)利用，節(jié)約了計算時間。3 差商與牛頓（Newton）插值多項式l差

25、商差商的定義 已知函數(shù) 在n+1互異節(jié)點 處的函數(shù)值分別為 ，稱為 關于節(jié)點 的一階差商一階差商（平均變化率）。稱為 關于節(jié)點 的二階差商二階差商。 )(xfnxxxx210)(,),(),(10nxfxfxfiiiiiixxxfxfxxf111)()(,)(xf1,iixxiiiiiiiiixxxxfxxfxxxf212121,21,iiixxx)(xf3 差商與牛頓（Newton）插值多項式 一般地，稱為 關于節(jié)點 的 階差商階差商。當 時稱 為 關于節(jié)點 的零階差商零階差商，記為由于所以即差商是微商的離散形式。 ikikiiikiiikiiixxxxxfxxxfxxxf,11211)(x

26、fkiiixxx,1k0k)(ixf)(xfixixfiiiixxixxxfxfxfii11)()(lim)(1,lim)(11iixxixxfxfii3 差商與牛頓（Newton）插值多項式l差商性質：差商性質：（1）函數(shù) 關于節(jié)點 的k階差商可以表示為函數(shù)值 的線性組合，即式中，如果 ，則其在 的導數(shù)為)(xfkxxx,10,10kxxxf)(,),(),(10kxfxfxfkjjkjkxxfxxxf0110)()(,)()()()(11101kjjjjjjjjkxxxxxxxxxxx)()()(101nnxxxxxxxixx )()()( )(lim)()(lim)(11101111ni

27、iiiiiiinxxiinnxxinxxxxxxxxxxxxxxxxxxii3 差商與牛頓（Newton）插值多項式（2）差商與其所含節(jié)點的排列次序無關，即一般地，在k階差商 中，任意調換節(jié)點的次序，其值不變。（3）設 在包含互異節(jié)點 的閉區(qū)間 上有n階導數(shù)，則n階差商與n階導數(shù)之間有如下關系,11iiiixxfxxf,122121iiiiiiiiixxxfxxxfxxxf,10kxxxf)(xfnxxx,10,ba),( ,!)(,)(10banfxxxfnn3 差商與牛頓（Newton）插值多項式l差商計算差商計算：利用插商的遞推定義，差商的計算可列表計算，如下表所示三階差商二階差商一階差

28、商 )( iixfx , , , )( , , )( , )( )( 321032132332102122101100 xxxxfxxxfxxfxfxxxxfxxfxfxxxfxfxxfx3 差商與牛頓（Newton）插值多項式l牛頓插值多項式牛頓插值多項式由高等代數(shù)理論可知，任何一個不高于n次的多項式，都可以表示成函數(shù)的線性組合。所以滿足插值條件的拉格朗日插值多項式又可以表示為式中 為待定系數(shù)。稱這種n次插值多項式為牛頓（牛頓（NewtonNewton）插值多項式）插值多項式，記作 ，即 )()( ,),)( , 1110100nxxxxxxxxxxxx)(xLn)()()()(110102

29、010nnxxxxxxaxxxxaxxaa), 1 , 0(nkak)(xNn)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN3 差商與牛頓（Newton）插值多項式由于 滿足插值條件，即 ，所以由 ，得同樣可以求出其他系數(shù)。)(xNn), 2 , 1 , 0( )(niyxNiin000)(yaxNn101101)()(yxxayxNn01011xxyya3 差商與牛頓（Newton）插值多項式有 是n+1個節(jié)點，對于一般情況，設 ，則由差商定義nxxx,10,baxxxi00000)()()()(,xxxfxfxxxfxfxxf1100101010,xxxx

30、fxxfxxxxfxxfxxxf221010210210210,xxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxfnnnnxxxxxfxxxfxxxxf,1010103 差商與牛頓（Newton）插值多項式得到)(,)()(000 xxxxfxfxf)(,110100 xxxxxfxxfxxf)(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf)(,1010110nnnnxxxxxxfxxxfxxxxf3 差商與牛頓（Newton）插值多項式將上式中第二式代入第一式式，得到式中可知 是滿足插值條件的線性插值多項式線性插值多項式。而為線性插值的余項。)()( )(,)(,)()(111010

31、0100 xRxNxxxxxxxfxxxxfxfxf)(,)()(01001xxxxfxfxN)(1xN)(,)(10101xxxxxxxfxR3 差商與牛頓（Newton）插值多項式同樣，將第三式代入 得到式中是滿足插值條件的二次插值多項式二次插值多項式。而為二次插值的余項。)()()(11xRxNxf)()( )()(, )(,)(,)()(22210210102100100 xRxNxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxf)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN)()(,)(2102102xxxxxxxxxxfxR3 差商與牛頓（Newt

32、on）插值多項式類似地將各式依次代入前式，最后可以得到其中為滿足插值條件的n次插值多項式，通常稱其為n n次牛頓插值次牛頓插值多項式多項式。)()( )()(, )()(, )(,)(,)()(101011010102100100 xRxNxxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfnnnnnn)()(, )(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN3 差商與牛頓（Newton）插值多項式與 相比較，有而為牛頓型插值余項牛頓型插值余項。 )()()()()(110102010nnnxxxxxxaxx

33、xxaxxaaxN), 2 , 1 , 0( ,10nkxxxfakk)()(,)(1010nnnxxxxxxxxxxfxR3 差商與牛頓（Newton）插值多項式 由于滿足插值條件的插值多項式存在且唯一，所以有如果 在 上有n+1階導數(shù)，則有即)()(xLxNnn)(xf),(ba)()(xRxRnn)()!1()()(,)(1)1(10 xnfxxxxfxRnnnnn),( ,)!1()(,)1(0banfxxxfnn3 差商與牛頓（Newton）插值多項式容易看出，牛頓插值多項式具有遞推性，即記 為具有節(jié)點 的牛頓插值多項式，則具有節(jié)點的牛頓插值多項式 為上式說明，增加一個節(jié)點 ，只要在

34、 的基礎上，增加計算即可。 )(xNk110,kxxxkxxx,10)(1xNk)()(,)()(101101kkkkxxxxxxxxxfxNxN1kx)(xNk)()(,10110kkxxxxxxxxxf3 差商與牛頓（Newton）插值多項式例例：已知一組觀察數(shù)據(jù)如表，構造3次牛頓插值多項式。解解：首先計算差商iixiy012312340-5-63ixiy一階差商二階差商三階差商102-5-53-6-12439513 差商與牛頓（Newton）插值多項式將計算得到的差商代入公式得到整理得到)3)(2)(1()2)(1(2) 1(50)(3xxxxxxxN34)(233xxxN625. 23

35、5 . 145 . 1)5 . 1 (233N例例：給出 的函數(shù)表求四次牛頓插值多項式，由此求 并估計誤差。解解：選取最接近0.596的前5個節(jié)點，首先構造差商表3 差商與牛頓（Newton）插值多項式 xfix ixf0.400.550.650.800.901.050.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25382596. 0f3 差商與牛頓（Newton）插值多項式ix)(ixf一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商0.400.410750.550.578151.116000.650.696751.186000.280000.800.88811

36、1.275730.358930.197330.901.026521.384100.433480.213000.031341.051.253821.515330.324930.228630.03126-0.00012 8 . 065. 055. 04 . 003134. 065. 055. 04 . 019733. 055. 04 . 028000. 04 . 011600. 141075. 04xxxxxxxxxxxN 當函數(shù) 的表達式未知或函數(shù) 的高階導數(shù)比較復雜時，常用牛頓插值多項式余項但由于公式中的n+1階差商 的值與 的值有關，因此不能準確計算 ，只能對其做出一種估計。3 差商與牛頓（

37、Newton）插值多項式63192. 0596. 0596. 04 Nf xf xf)()(,)(1010nnnxxxxxxxxxxfxR,10nxxxxf xf,10nxxxxf 當n+1階差商變化不劇烈時，可用 近似代替 ，即采用此法計算 的誤差，則有截斷誤差很小，可用忽略不計。3 差商與牛頓（Newton）插值多項式,110nnxxxxf,10nxxxxf)()(,)(10110nnnnxxxxxxxxxxfxR596. 04N9596. 0410623. 390. 055. 040. 005. 1 ,90. 0 ,80. 0 ,65. 0 ,55. 0 ,40. 0596. 0 xxx

38、xfR3 差商與牛頓（Newton）插值多項式例例：某處海洋不同深度水溫如下表所示，試用牛頓插值公式求深度1000米處的水溫，并估計誤差。解解：計算差商x)(xf水深溫度 （m）46671495014221634 （C）7.044.283.402.542.13kkx)(kxf,1kkxxf,21kkkxxxf,321kkkkxxxxf,4321kkkkkxxxxxf04667.0417144.28-0.0111329503.40-0.0037290.00001529314222.54-0.0018220.000002693-0.00000001318416342.13-0.007934-0.0

39、00000163-0.000000002750.893E-113 差商與牛頓（Newton）插值多項式用三次牛頓插值多項式 近似代替 ，得到)(3xN)(xf)950)(714)(466(10318. 1 )714)(466(10529. 1)466(10113. 104. 7)(8523xxxxxxxN)(331. 3)1000(3CN)(02878. 0)1000(1093. 8)1000(4123CR7、用拉格朗日插值和牛頓插值找經過點的三次插值多項式，并驗證插值多項式的唯一性。8、利用函數(shù)表造出差商表，并利用牛頓插值公式計算 在處的近似值（計算取5位小數(shù)）。3 差商與牛頓（Newton

40、）插值多項式 10, 6,2, 3,2 , 0,1, 3x xfy 1.615 1.634 1.702 1.828 1.9212.414502.464592.652713.030353.34066 xf813. 1 ,682. 1x4 差分與等距節(jié)點插值公式 在實際應用中，常采用等距節(jié)點進行插值計算，這時插值公式可以進一步簡化。由于插值節(jié)點等距分布，被插值函數(shù)的平均變化率與自變量的區(qū)間無關，差商可用差分代替。設被插值函數(shù) 在等距節(jié)點上的值 已知，其中 稱為步長，則分別稱為被插值函數(shù) 在 處以 為步長的向前差分向前差分和向后差分向后差分，符號 分別稱為向前差分算子和向后差分算子。 xfy nii

41、hxxi, 1 , 0 ,0 iixfy nxxxxhnii01,1iiiyyy1iiiyyy xfy ixh,4 差分與等距節(jié)點插值公式 高階差分通過對低階差分求差分來定義，如二階差分為 階差分為 iiiiiiiiiyyyyyyyyy111122211122iiiiiiiiiyyyyyyyyyn,111inininyyy111inininyyy4 差分與等距節(jié)點插值公式差分性質：1.差分可用函數(shù)值線性表示為式中組合表達式為2.差分與差商滿足下述關系 inkinknkinninnininyyCyCyCyy112211!knknCknnkhkyxxxfkkk, 2 , 1 ,!,010nkhkyxxxfknkknnn, 2 , 1 ,!,14 差分與等距節(jié)點插值公式