建模案例—飛行管理問題

1、報告人：魯勝強報告人：魯勝強 數學建模培訓講座數學建模培訓講座 - 溫州醫(yī)學院溫州醫(yī)學院魯勝強一個飛行管理問題一個飛行管理問題 1.1 問題描述問題描述 1995年全國大學生數學建模競賽中的年全國大學生數學建模競賽中的A題（題（“一一個飛行管理問題個飛行管理問題”）。）。 在約在約10000米高空的某邊長為米高空的某邊長為160km的正方形區(qū)的正方形區(qū)域內，經常有若干架飛機做水平飛行，區(qū)域內每域內，經常有若干架飛機做水平飛行，區(qū)域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，以便進行飛行管理，當一架欲進入該區(qū)域的飛機以便進行飛行管理，當一架欲進入該

2、區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并到達區(qū)域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。 魯勝強 現假定條件如下：現假定條件如下： 不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8km； 飛機飛行方向角調整幅度不應超過飛機飛行方向角調整幅度不應超過30； 所有飛機飛行速度均為所有飛機飛行速度均為800kmh； 進入該區(qū)域的飛機在到達該區(qū)域邊緣時，進入該區(qū)域的飛機在到達該區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內飛機的距離應在與區(qū)域內飛機的距離應在60km以上；以上； 最多需考慮最多需考慮6架飛機；架飛機； 不必考慮飛

3、機離開此區(qū)域后的情況。不必考慮飛機離開此區(qū)域后的情況。魯勝強 請你對這個請你對這個避免碰撞避免碰撞的飛行管理問題的飛行管理問題建立數學模型建立數學模型，列出計算步驟，對以下數據進行計算（列出計算步驟，對以下數據進行計算（方向角誤差方向角誤差不超過不超過0.01），），要求要求飛機飛行飛機飛行方向角調整方向角調整的幅度的幅度盡量小盡量小。 該區(qū)域四個定點的坐標為（該區(qū)域四個定點的坐標為（0，0）、（）、（160，0）、）、（160，160）、（）、（0，160）。記錄數據見表）。記錄數據見表21。 魯勝強表表21 飛機位置和方向角記錄數據飛機位置和方向角記錄數據 飛機編號橫坐標縱坐標方向角（飛機

4、編號橫坐標縱坐標方向角（）飛機編號橫坐標）飛機編號橫坐標x縱坐標縱坐標y方向角（方向角（）飛機編飛機編號號橫坐橫坐標標縱坐縱坐標標方向角方向角（）飛機編飛機編號號橫坐橫坐標標x x縱坐縱坐標標y y方向角方向角（）1 11501501401402432434 414514550501591592 2858585852362365 51301301501502302303 31551551551552202205 5新進入新進入0 00 05252說明：說明：方向角指飛行方向與方向角指飛行方向與x軸正向的夾角軸正向的夾角。試根據實際應用背景對你的模型進行評價和推廣試根據實際應用背景對你的模型進行

5、評價和推廣 魯勝強 * 對問題仔細閱讀對問題仔細閱讀, 首先抓住題目中的首先抓住題目中的關鍵詞關鍵詞“管理管理”進行聯想進行聯想. 抓住諸如抓住諸如“碰撞碰撞”、“調整調整”、“避免避免碰撞碰撞”、“立即立即”、“判斷判斷”等等詞語等等詞語. . * * 聯系解決問題的方案聯系解決問題的方案, ,不加約束繼不加約束繼續(xù)聯想，再將關鍵詞搭配起來續(xù)聯想，再將關鍵詞搭配起來. . 1. 問題的前期分析問題的前期分析魯勝強VIIIIIIIVIV160km160km飛行位置示意圖飛行位置示意圖魯勝強立即立即 判斷判斷 碰撞碰撞 條件條件 實時實時 算法算法 避免避免 碰撞碰撞 調整調整 方向角方向角 實

6、時實時 幅度盡量幅度盡量小小 相對相對距離距離優(yōu)化問題優(yōu)化問題優(yōu)化算法優(yōu)化算法優(yōu)化調整方案優(yōu)化調整方案魯勝強問題的初步理解和想法問題的初步理解和想法 飛行管理問題是飛行管理問題是優(yōu)化優(yōu)化問題問題,在調整方向在調整方向角的幅度盡量小的同時，還必須注意角的幅度盡量小的同時，還必須注意調整方案及算法的實時性調整方案及算法的實時性.魯勝強2. 問題探究問題探究 （1）優(yōu)化問題的目標函數為何？）優(yōu)化問題的目標函數為何？方向角調整的盡量小方向角調整的盡量小方向角如何表示方向角如何表示方向角的概念是什方向角的概念是什么么方向角的平方和方向角的平方和目標函數目標函數魯勝強 任意兩架飛機的距離大于任意兩架飛機的

7、距離大于8 公里；公里； 飛機飛行方向角調整的幅度不應超過飛機飛行方向角調整的幅度不應超過 30 ；l（2）優(yōu)化問題的約束條件為何？）優(yōu)化問題的約束條件為何？兩點間距離表示方法兩點間距離表示方法判斷避免碰撞的依判斷避免碰撞的依據據把飛機視為點把飛機視為點總結：總結：目標函數和約束條件中都含有方目標函數和約束條件中都含有方向角。向角。魯勝強（3）分析6架飛機目前碰撞情況 描點作圖；描點作圖； 分析飛機在飛行區(qū)域的時間；分析飛機在飛行區(qū)域的時間； 判斷判斷5架飛機此刻的情況；架飛機此刻的情況； 判斷新進入飛機與其他判斷新進入飛機與其他5架飛機碰撞的情況。架飛機碰撞的情況。魯勝強（4）求解方法）求解

8、方法 特殊到一般：先考慮特殊到一般：先考慮2架，然考慮架，然考慮3架架 優(yōu)化問題為非線性規(guī)劃問題，編程求解優(yōu)化問題為非線性規(guī)劃問題，編程求解。總結總結：初等算法和高等算法都可。：初等算法和高等算法都可。創(chuàng)新之處：算法。創(chuàng)新之處：算法。魯勝強模型一及求解模型一及求解 模型建立模型建立 這個問題顯然是一個優(yōu)化問題。設第這個問題顯然是一個優(yōu)化問題。設第i 架飛架飛機在調整時的方向角為機在調整時的方向角為 （題目中已給（題目中已給出），調整后的方向為出），調整后的方向為 ，題目中就是要求飛機飛行方向角調整的幅題目中就是要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小，因此有化的目的函數可以是：度盡量小，因此有化的目

9、的函數可以是： （1）621| .ii0(1,2,6)iiii0i魯勝強 為了建立這個問題的優(yōu)化模型，只需要明確約束條件就可為了建立這個問題的優(yōu)化模型，只需要明確約束條件就可以了。一個簡單的約束是飛機飛行方向角調整的幅度不應以了。一個簡單的約束是飛機飛行方向角調整的幅度不應超過超過30，即，即 （2） | 30 .魯勝強 題目中要求進入該區(qū)域的飛機在到達該區(qū)域邊緣時，題目中要求進入該區(qū)域的飛機在到達該區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內的飛機的距離應在與區(qū)域內的飛機的距離應在60km以上。這個條件以上。這個條件是個初始條件，很容易驗證目前所給的數據是滿足是個初始條件，很容易驗證目前所給的數據是滿足的，因此本模

10、型中可以不予考慮。剩下的關鍵是的，因此本模型中可以不予考慮。剩下的關鍵是 要滿足題目中描述的要滿足題目中描述的任意兩架位于該區(qū)域內的飛機任意兩架位于該區(qū)域內的飛機的距離應該大于的距離應該大于8km。但這個問題的但這個問題的難點難點在于飛機在于飛機是動態(tài)的，這個約束不好直接描述，為此我們首先是動態(tài)的，這個約束不好直接描述，為此我們首先需要描述每架飛機的飛行軌跡。需要描述每架飛機的飛行軌跡。魯勝強 記飛機飛行速率為（記飛機飛行速率為（800kmh），以當前），以當前時刻為時刻為0時刻。設第時刻。設第 架飛機在調整時的位架飛機在調整時的位置坐標為置坐標為 （已知條件），時刻的位（已知條件），時刻的位

11、置坐標為置坐標為 ，則，則 （3）00(,)iixy(,)ttiixy00cos,sin.ttiiiiiixxvtyyvti魯勝強 如果要嚴格表示兩架位于該區(qū)域內的飛機如果要嚴格表示兩架位于該區(qū)域內的飛機的距離應大于的距離應大于8km，則需要考慮每架飛機，則需要考慮每架飛機在區(qū)域內的飛行時間的長度。記在區(qū)域內的飛行時間的長度。記Ti 為第為第 架飛機飛出區(qū)域的時間，即架飛機飛出區(qū)域的時間，即 （4） 0argmin0:cos0160sin0160iiiiTtxvtvt0i或，或y或i魯勝強 記記 時刻第時刻第 架飛機與第架飛機與第 架飛機的距離架飛機的距離為為 ，并記，并記 ，這時在區(qū)，這時在

12、區(qū)域內飛機不相撞的約束條件就變成了域內飛機不相撞的約束條件就變成了 （5） 其中其中 （6） 此外，經過計算可以得到此外，經過計算可以得到tij( )ijr t2( ) ( )64ijijftr t2( ) ( )640(0)ijijijftr ttT min ,.ijijTT T魯勝強 （7） （8） （9） （10） 0020022( )(coscos)(sinsin)64ijiijjiijjijijijijf txvtxvtyvtyvtzb zc2 sin,2ijijzvt00002 ()sin()cos,22ijijijijijbxxyy00 200 2()()64.ijijijcxx

13、yy魯勝強 所以所以 是一個關于是一個關于 t 的二次函數，表示的的二次函數，表示的是一條開口向上的拋物線。當是一條開口向上的拋物線。當 即即 （記為（記為 ）時，）時， 函數取最小函數取最小值值 。注意到。注意到 （初始時刻不相（初始時刻不相撞），如果撞），如果 （即（即 ）則此時約束條）則此時約束條件（件（5）一定成立，所以）一定成立，所以 如果如果 且且 ，只要在右端點的函數值，只要在右端點的函數值非負即可，即非負即可，即( )ijft/ 2,ijijzb /4 sin2ijijtbv *ijt( )ijft/4ijijbc(0)0ijijfc/20ijb0ijb 0ijb *ijijt

14、T魯勝強 （11） 如果如果 且且 ，只需要，只需要 求最小值求最小值 即可，即即可，即 （12） 實際上，約束（實際上，約束（11）表示的是）表示的是 在右端點在右端點的函數值非負，這個約束在（的函數值非負，這個約束在（12）的條件）的條件下也是自然成立的，所以可以是對約束下也是自然成立的，所以可以是對約束（11）不再附加且的條件。）不再附加且的條件。 ()0;ijijf T0ijb *0ijijtT*( )/40ijijijijftbc 240.ijijbc( )ijft( )ijftijT魯勝強 于是我們的模型就是于是我們的模型就是 （13） （14） （15） （16） 621min|

15、 ;ii2. .|30 ,ist()0;ijijfT2*40.(0,0)ijijijijijbcbtT魯勝強模型求解模型求解 上面這是一個非線性規(guī)劃模型，雖然是嚴格滿足題目上面這是一個非線性規(guī)劃模型，雖然是嚴格滿足題目要求的模型，但得到的模型邏輯關系比較復雜，約束要求的模型，但得到的模型邏輯關系比較復雜，約束（16）是在一定條件下才成立的約束，而且其中的）是在一定條件下才成立的約束，而且其中的計算式（計算式（4）也含有相當復雜的關系式，使用）也含有相當復雜的關系式，使用LINGO軟件不太容易將模型很方便的輸入，因為邏輯處理不軟件不太容易將模型很方便的輸入，因為邏輯處理不是是LINGO的優(yōu)勢所在

16、。即使想辦法把這個模型輸入的優(yōu)勢所在。即使想辦法把這個模型輸入到到LINGO，也不一定能求出好的解（筆者嘗試過，也不一定能求出好的解（筆者嘗試過，但是但是LINGO運行時有時會出現系統(tǒng)內部錯誤，可能運行時有時會出現系統(tǒng)內部錯誤，可能是系統(tǒng)有問題，無法繼續(xù)求解）。而且，在實時飛行是系統(tǒng)有問題，無法繼續(xù)求解）。而且，在實時飛行調度中顯然需要快速求解，所以下面我們想辦法簡化調度中顯然需要快速求解，所以下面我們想辦法簡化模型。模型。魯勝強 這個模型麻煩之處就在于，要求嚴格表示這個模型麻煩之處就在于，要求嚴格表示兩架飛機的飛行距離應大于兩架飛機的飛行距離應大于8km，所以需，所以需要考慮每架飛機在區(qū)域內

17、的飛行時間的長要考慮每架飛機在區(qū)域內的飛行時間的長度，比較繁瑣。注意到區(qū)域對角線的長度度，比較繁瑣。注意到區(qū)域對角線的長度只有只有 ，任何一架飛機在所考慮的區(qū)域，任何一架飛機在所考慮的區(qū)域內停留的時間不會超內停留的時間不會超過過 。因此這里我們。因此這里我們簡化一下問題；簡化一下問題； 160 2max160 2/800 0.2 20.283( )Th魯勝強 不再單獨考慮每架飛機在區(qū)域內停留的時不再單獨考慮每架飛機在區(qū)域內停留的時間，而是以最大時間間，而是以最大時間 （這是已經是一個常（這是已經是一個常數）代替之，此時所有數）代替之，此時所有 ，這實際上，這實際上強化了問題的要求，即考慮了有些

18、飛機可強化了問題的要求，即考慮了有些飛機可能已經飛出區(qū)域，但仍不允許兩架飛機的能已經飛出區(qū)域，但仍不允許兩架飛機的距離小于距離小于8km。 maxTmaxijTT魯勝強程序：程序： MODEL: TITLE 飛行管理問題的非線性規(guī)劃模型飛行管理問題的非線性規(guī)劃模型; SETS: Plane/1.6/: x0, y0, cita0, cita1, d_cita; ! cita0表示初始角度，表示初始角度，cita1為調整后的角為調整后的角度度,d_cita為調整的角度為調整的角度; link(plane, plane)|&1 #LT# &2: b,c; ENDSETS DATA:

19、魯勝強1501402438585236150155220.5145501591301502300052x0 y0 cita0 =魯勝強max_cita = 30;T_max = 0.283;V=800;ENDDATAINIT:d_cita = 0 0 0 0 0 0;ENDINITfor(plane: cita1 - cita0 = d_cita);for(link(i,j): b(i,j) = -2*(x0(i) -x0(j)*sin (cita1(i)+cita1(j)*3.14159265/360) +2*(y0(i) -y0(j)*cos (cita1(i)+cita1(j)*3.14

20、159265/360); c(i,j) = (x0(i) -x0(j) 2 + (y0(i) -y0(j) 2 - 64;);! 避免碰撞的條件避免碰撞的條件;! 右端點非負右端點非負;for(link(i,j): Right 魯勝強(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360)2 + b(i,j)*(2*V*T_max*sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) + c(i,j) 0);! 最小點非負最小點非負;for(link(i,j): Minimum if(b(i,j)#lt#0 #and# -b(i,j

21、)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #gt#0 #and# -b(i,j)/4/V/sin(cita1(i)-cita1(j)*3.14159265/360) #lt#T_max , b(i,j)2-4*c(i,j),-1) 0);!for(link(i,j): if(b(i,j)#lt#0, b(i,j)2-4*c(i,j), -1) ij(2)由圓狀模型導出的方程由圓狀模型導出的方程討論討論ij的改變量與第的改變量與第i第第j兩架飛機飛行方向角改變量兩架飛機飛行方向角改變量i, j的關系的關系由題目條件知由題目條件知|vi|=A=800，

22、可用復數表示速度，可用復數表示速度iiiAev設第設第i，j飛機飛行方向改變前的速度分別為飛機飛行方向改變前的速度分別為jiijiiAevAev11,改變后的速度分別為改變后的速度分別為)(2)(2,jjiiijiiAevAev改變前后相對速度分別為改變前后相對速度分別為)()()()(222111jjiijiiijiijiijiijeeAvvveeAvvv兩者之商的幅角就是兩者之商的幅角就是ijjjiijjjjiiiiiiiiijijiiiieeAeeAvvjijjiisincossincos)sin()cos()sin()cos()()()(12)2cos2(sin2sin2)2cos2(

23、sin2sin2jijijiijiiijiiijiiii22sin22sin2jiijiijiie2jiij定理：對第定理：對第i，第，第j兩架飛機，其相對速度方向兩架飛機，其相對速度方向ij的改變量的改變量ij等于等于兩飛機飛行方向角改變量之和的一半，即兩飛機飛行方向角改變量之和的一半，即2jiij模型模型目標函數：目標函數：|)|min(max|min61iii或Min其中其中為各飛機方向角調整量的最大值為各飛機方向角調整量的最大值或為或為約束條件：約束條件：調整方向角時不能超過調整方向角時不能超過300：6 , 2 , 1,30|ii調整飛行方向后飛機不能碰撞：調整飛行方向后飛機不能碰撞

24、：ijjiij|2|模型為模型為 6 , 2 , 1,30|, 6 , 2 , 1.,| )(21|. .|min61ijijitsiijjiijii化為線性規(guī)劃模型化為線性規(guī)劃模型時當0ijijijijijijij|時當0ijijijijijijij|由于由于i可正可負，為使各變量均非負，引入新變量：可正可負，為使各變量均非負，引入新變量：2121,iiiii使模型模型化為化為0,303030220220. .min212121212121212121iiiiiiiiiiijijjjiiijijijjjiiijts時，時，模型求解模型求解ij的計算的計算)|8arcsin(jiijxx mo

25、del:sets:plane/1.6/:x0,y0;link(plane,plane):alpha,sin2;endsetsfor(link(i,j)|i#ne#j:sin2(i,j)=64/(x0(i)-x0(j)2+(y0(i)-y0(j)2););for(link(i,j)|i#ne#j:(sin(alpha*3.14159265/180.0)2=sin2;);data:x0=150,85,150,145,130,0;y0=140,85,155,50,150,0;enddataendALPHA( 1, 1) 1.234568 ALPHA( 1, 2) 5.391190 ALPHA( 1,

26、 3) 752.2310 ALPHA( 1, 4) 5.091816 ALPHA( 1, 5) 2000.963 ALPHA( 1, 6) 2.234507 ALPHA( 2, 1) 5.391190 ALPHA( 2, 2) 1.234568 ALPHA( 2, 3) 4.804024 ALPHA( 2, 4) 6.613460 ALPHA( 2, 5) 5.807866 ALPHA( 2, 6) 3.815925 ALPHA( 3, 1) 752.2310 ALPHA( 3, 2) 4.804024 ALPHA( 3, 3) 1.234568 ALPHA( 3, 4) 4.364672 A

27、LPHA( 3, 5) 1102.834 ALPHA( 3, 6) 2.125539 ALPHA( 4, 1) 5.091816ALPHA( 4, 2) 6.613460 ALPHA( 4, 3) 4.364672 ALPHA( 4, 4) 1.234568 ALPHA( 4, 5) 4.537692 ALPHA( 4, 6) 2.989819 ALPHA( 5, 1) 2000.963 ALPHA( 5, 2) 5.807866 ALPHA( 5, 3) 1102.834 ALPHA( 5, 4) 4.537692 ALPHA( 5, 5) 1.234568 ALPHA( 5, 6) 2.3

28、09841 ALPHA( 6, 1) 2.234507 ALPHA( 6, 2) 3.815925 ALPHA( 6, 3) 2.125539 ALPHA( 6, 4) 2.989819 ALPHA( 6, 5) 2.309841 ALPHA( 6, 6) 1.234568ijJ=123456i=10.0000005.39119032.2309535.09181620.9633612.23450725.3911900.0000004.8040246.6134605.8078663.815925332.2309534.8040240.0000004.36467222.8336542.125539

29、45.0918166.6134604.3646720.0000004.5376922.989819520.9633615.80786622.8336544.5376920.0000002.30984162.2345073.8159252.1255392.9898192.3098410.000000整理可得整理可得ij的值（單位角度）的值（單位角度）也可以用也可以用MATLAB計算計算ij的值的值x=150,85,150,145,130,0;y=140,85,155,50,150,0;k=length(x);alpha=zeros(k);for i=1:k for j=1:k if i=j al

30、pha(i,j)=0; else alpha(i,j)=(180/3.14159265)*asin(8/sqrt(x(i)-x(j)2+(y(i)-y(j)2); end endendalpha計算計算ij的值程的值程序為序為計算結果為計算結果為 0 5.391190237223 5.391190237223 032.230952672331 4.804023933797 5.091816448550 6.61346048987220.963360893128 5.807866243421 2.234506736995 3.81592477539932.230952672331 5.09181

31、6448550 4.804023933798 6.613460489872 0 4.364671899111 4.364671899111 0 22.833654204009 4.537692462402 2.125538857551 2.98981913904520.963360893128 2.234506736995 5.807866243421 3.815924775399 22.833654204009 2.125538857551 4.537692462403 2.989819139045 0 2.309841365405 2.309841365405 0ij的計算的計算:)()(

32、ijjiijxxangvvanga=150,85,150,145,130,0;b=140,85,155,50,150,0;x=a+b*i;c=243,236,220.5,159,230,52*pi/180;v=exp(i*c);k=length(a);for i=1:k for j=1:k beita(i,j)=(angle(v(i)-v(j)-angle(x(j)-x(i)*180/pi; endendbeita用用matlab程序編寫程序編寫beita = 0 109.2636 -128.2500 24.1798 -186.9349 14.4749 109.2636 0 -88.8711

33、-42.2436 -92.3048 9.0000 231.7500 271.1289 0 12.4763 301.2138 0.3108 24.1798 -42.2436 12.4763 0 5.9692 -3.5256 173.0651 267.6952 -58.7862 5.9692 0 1.9144 14.4749 9.0000 0.3108 -3.5256 1.9144 0運算結果運算結果最優(yōu)解的計算最優(yōu)解的計算用用LINGO求解求解程序如下程序如下model:sets:plane/1.6/:cita;link(plane,plane):alpha,beta;endsetsmin=su

34、m(plane:abs(cita);for(plane(i): bnd(-30,cita(i),30); );for(link(i,j)|i#ne#j: abs(beta(i,j)+0.5*cita(i)+0.5*cita(j) alpha(i,j); );data:alpha=0.000000,5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507, 5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2

35、.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819, 20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989819,2.309841,0.000000; beta=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.0000

36、00-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;enddataend用用MATLAB計算編程如下計算編程如下function f,g=plane(x)alph=0.000000,

37、5.391190,32.230953,5.091816,20.963361,2.234507,5.391190,0.000000,4.8040024,6.813460,5.807866,3.815925,32.230953,4.804024,0.000000,4.364672,22.833654,2.125539,5.091816,6.613460,4.363673,0.000000,4.537692,2.989819,20.963361,5.807866,22.833654,4.537692,0.000000,2.309841,2.234507,3.815925,2.125539,2.989

38、819,2.309841,0.000000; bet=0.000000 109.263642 -128.250000 24.179830 173.065051 13.474934109.263642 0.000000 -88.871096 -42.243563 -92.304847 9.000000-128.250000 -88.87096 0.000000 12.476311 -58.786243 0.31080924.179830 -42.243563 12.476311 0.000000 5.969234 -3.525606174.065051 -92.304846 -58.786244

39、 5.969234 0.000000 1.91438314.474934 9.000000 0.310809 -3.525606 1.913383 0.000000;f=abs(x(1)+abs(x(2)+abs(x(3)+abs(x(4)+abs(x(5)+abs(x(6);g(1)= alpha(1,2) -abs(beta(1,2)+0.5*x(1)+0.5*x(2);g(2)= alpha(1,3) -abs(beta(1,3)+0.5*x(1)+0.5*x(3);g(3)= alpha(1,4) -abs(beta(1,4)+0.5*x(1)+0.5*x(4);g(4)= alpha

40、(1,5) -abs(beta(1,5)+0.5*x(1)+0.5*x(5);g(5)= alpha(1,6) -abs(beta(1,6)+0.5*x(1)+0.5*x(6);g(6)= alpha(2,3) -abs(beta(2,3)+0.5*x(2)+0.5*x(3);g(7)= alpha(2,4) -abs(beta(2,4)+0.5*x(2)+0.5*x(4);g(8)= alpha(2,5) -abs(beta(2,5)+0.5*x(2)+0.5*x(5);g(9)= alpha(2,6) -abs(beta(2,6)+0.5*x(2)+0.5*x(6);g(10)= alph

41、a(3,4) -abs(beta(3,4)+0.5*x(3)+0.5*x(4);g(11)= alpha(3,5) -abs(beta(3,5)+0.5*x(3)+0.5*x(5);g(12)= alpha(3,6) -abs(beta(3,6)+0.5*x(3)+0.5*x(6);g(13)= alpha(4,5) -abs(beta(4,5)+0.5*x(4)+0.5*x(5);g(14)= alpha(4,6) -abs(beta(4,6)+0.5*x(4)+0.5*x(6);g(15)= alpha(5,6) -abs(beta(5,6)+0.5*x(5)+0.5*x(6);執(zhí)行程序執(zhí)

42、行程序x0=0,0,0,0,0,0; v1=-30*ones(1,6); v2=30*ones(1,6);opt=;x= constr(plane,x0,opt,v1,v2)結果：結果：x = -0.00000576637983 -0.00000576637983 2.58794980234726 -0.00001243487985 0.00003620473095 1.04151019765274最優(yōu)解：最優(yōu)解：o654o3211.041500,2.58790, 0模型檢驗模型檢驗各飛行方向按此方案調整后，系統(tǒng)各架飛機均滿足各飛行方向按此方案調整后，系統(tǒng)各架飛機均滿足|ij+( I+ j)/

43、2|ij ,結果是正確的。結果是正確的。模型的評價與推廣模型的評價與推廣（1）此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的，同時采用相對）此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的，同時采用相對速度作為判別標準，既體現了碰撞的本質（相對運動），又簡化了速度作為判別標準，既體現了碰撞的本質（相對運動），又簡化了模型的計算；模型的計算；（2）建模中用了適當的簡化，將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡）建模中用了適當的簡化，將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題，既求到合理的解，又提高了運算速度，這對化為線性規(guī)劃問題，既求到合理的解，又提高了運算速度，這對解決高速飛行的飛機碰撞問題是十分重要的。此模型對題目所提

44、解決高速飛行的飛機碰撞問題是十分重要的。此模型對題目所提供的例子計算得出的結果是令人滿意的。供的例子計算得出的結果是令人滿意的。（3）由對稱性知模型中的約束個數是）由對稱性知模型中的約束個數是 （n是飛機數），所有約是飛機數），所有約束條件數是束條件數是 ，計算量增加不大。，計算量增加不大。2nC2)7(42nnnCn魯勝強建模方案二：建模方案二：1.問題分析問題分析目的：不碰撞目的：不碰撞手段：調整飛行方向角手段：調整飛行方向角要求：調整的幅度盡量小要求：調整的幅度盡量小求解思路：求解思路：(1) 找出不碰撞的條件找出不碰撞的條件,可用可用matlab畫出各架飛機畫出各架飛機在在t=0時刻的

45、位置和飛行方向時刻的位置和飛行方向(2)求調整幅度的極小值求調整幅度的極小值 魯勝強題目的條件題目的條件(1) 飛機在正方形區(qū)域內水平飛行。飛機在正方形區(qū)域內水平飛行。 根據根據 (1)可將飛機飛行的空域視為二維平面可將飛機飛行的空域視為二維平面xoy中的一中的一個正方形區(qū)域個正方形區(qū)域,頂點為頂點為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 根據根據 (1)可將飛機飛行的空域視為二維平面可將飛機飛行的空域視為二維平面xoy中的一中的一個正方形區(qū)域個正方形區(qū)域,頂點為頂點為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 可用可用matlab畫出各架飛機在畫出各架飛機在t=0時刻的位置和飛行方向時刻的位置和飛行方向畫圖程序為：畫圖程序為：plan1 在用在用matlab進行飛機動態(tài)模擬：進行飛機動態(tài)模擬：plan2魯勝強 從模擬的結果以及計算可知，如果不調整飛機方向，從模擬的結果以及計算可知，如果不調整飛機方向，飛機飛機6和和5發(fā)生碰撞發(fā)生碰撞，然后然后6和和3發(fā)生碰撞發(fā)生碰撞。2.符號含義如下符號含義如下:Pi代表第代表第i架飛機，新進入為第架飛機，新進入為第6