2019級上第21次課第七節(jié)平面曲線的曲率ppt課件

1、第七節(jié)第七節(jié) 平面曲線的曲率平面曲線的曲率一、弧微分一、弧微分二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑四、小結四、小結上一頁下一頁返回一、弧微分一、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(內具有連續(xù)導數(shù)內具有連續(xù)導數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)baxfxyo),(:00yxA基點基點,),(為任意一點為任意一點yxM規(guī)定：規(guī)定：; )1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與 x,)2(sAM .,取取負負號號相相反反時時取取正正號號一一致致時時的的方方向向與與曲曲線線正正向向當當ssAM上一頁下一頁返回).(xss 單調增函數(shù)單調增函數(shù)),

2、(yyxxN 設設如圖，如圖，NTMTMNMN ,0時時當當 x22)()(yxMN xxy 2)(1,12dxy sMN ,ds22)()(dydxMT ,12dxy dyyNT , 0,)(為為單單調調增增函函數(shù)數(shù)xss .12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo.222dydxds 上一頁下一頁返回二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。曲率是描述曲線局部性質彎曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度弧段彎曲程度越大轉角越大越大轉角越大轉角相同弧段越轉角相同弧段越短彎曲程度越大短彎曲

3、程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 )上一頁下一頁返回) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率為為弧弧段段（設曲線設曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點點M, sMM （. 切線轉角為切線轉角為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點在點M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 上一頁下一頁返回2.曲率的計算公式曲率的計算公式注意注意: (1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點處的曲率等于半徑的倒數(shù),且且半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,)(二二階階可可導導設設xfy

4、,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctany 有有.12dxyds 上一頁下一頁返回,),(),(二階可導二階可導設設 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 上一頁下一頁返回例例1 1?2上上哪哪一一點點的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當當abx .最大最大k,)44,2(2為為拋拋物物線線的的頂頂點點又又aacbab .最大最大拋物線在頂點處的曲率拋物線在頂點處的曲率上一頁下一頁返回點擊圖

5、片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停).(1),(,的半徑的半徑為圓弧軌道為圓弧軌道到到率連續(xù)地由零過渡率連續(xù)地由零過渡使曲使曲如圖如圖緩沖段緩沖段彎道之間接入一段彎道之間接入一段穩(wěn)，往往在直道和穩(wěn)，往往在直道和駛平駛平容易發(fā)生事故，為了行容易發(fā)生事故，為了行的曲率突然改變的曲率突然改變道時，若接頭處道時，若接頭處鐵軌由直道轉入圓弧彎鐵軌由直道轉入圓弧彎RR例例2 2上一頁下一頁返回.1)1(, 06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似為的曲率近似為時，在終端時，在終端很小很小并且當并且當為零為零的曲率的曲率在始端在始端的長度，驗證緩沖段的長度，驗證緩沖段為為，其中，其中

6、緩沖段緩沖段作為作為，通常用三次拋物線通常用三次拋物線 xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl上一頁下一頁返回xyoR),(00yxA)0 ,(0 xC證證如圖如圖的負半軸表示直道，的負半軸表示直道，x.,是是圓圓弧弧軌軌道道是是緩緩沖沖段段 ABOA（在緩沖段上在緩沖段上,212xRly .1xRly , 0, 0,0 yyx處處在在. 00 k故緩沖始點的曲率故緩沖始點的曲率實際要求實際要求,0 xl l上一頁下一頁返回20210 xRlyxx 有有221lRl ,2Rl 010 xRlyxx lRl1 ,1R 的的曲曲率率為為故故在在終終端端A0232)1(xxAyyk 2322)

7、41(1RlR , 1 Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次項略去二次項xyoR),(00yxA)0 ,(0 xCl上一頁下一頁返回三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點稱此圓為曲線在點如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側取一點在凹的一側取一點處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點在點處的曲率為處的曲率為在點在點設曲線設曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo上一頁下一頁返回1.曲線上一點處的曲率半徑與曲線在該點處的曲線上一點

8、處的曲率半徑與曲線在該點處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即注意注意: :2.曲線上一點處的曲率半徑越大曲線上一點處的曲率半徑越大,曲線在該點曲線在該點處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點附近的二次近似稱為曲線在該點附近的二次近似).上一頁下一頁返回例例3 3xyoQP.,.70,/400,)(40002壓力壓力飛行員對座椅的飛行員對座椅的到原點時到原點時求俯沖求俯沖千克千克飛行員體重飛行員體

9、重秒秒米米處速度為處速度為點點在原在原俯沖飛行俯沖飛行單位為米單位為米飛機沿拋物線飛機沿拋物線 vOxy解解如圖如圖,受力分析受力分析,PQF 視飛行員在點視飛行員在點o作勻速圓周運動作勻速圓周運動,.2 mvF O點處拋物線軌道的曲率半徑點處拋物線軌道的曲率半徑上一頁下一頁返回002000 xxxy, 0 .200010 xy得曲率為得曲率為.200010 xxk曲率半徑為曲率半徑為.2000 米米 2000400702 F),(4 .571)(5600千千克克牛牛 ),(4 .571)(70千千克克力力千千克克力力 Q).(5 .641千克力千克力 即即:飛行員對座椅的壓力為飛行員對座椅的壓力為641.5千克力千克力.上一頁下一頁返回四、小結四、小結運用微分學的理論運用微分學的理論,研究曲線和曲面的性研究曲線和曲面的性質的數(shù)學分支質的數(shù)學分支微分幾何學微分幾何學.基本概念基本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率