有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題

1、有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題、教學(xué)目標(biāo)：掌握解決有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題的多種方法學(xué)會(huì)解題方法的遷移了解設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想二、教學(xué)重點(diǎn)：掌握解決有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題的多種方法三、教學(xué)難點(diǎn)：掌握解決有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題的多種方法四、教學(xué)過程1、引入過程圓錐曲線是高考的重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。每年的高考中都占有20-40分, 必有一道解答題o而橢圓又是圓錐曲線中的十分重要的一部分 ，并且很多雙曲 線和拋物線的問題都可以借用解決橢圓問題的方法來解決 。所以學(xué)習(xí)好了橢圓 就相當(dāng)于學(xué)好了圓錐曲線的一大半。而有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題又是橢圓中十分 重要、典型的問題。有關(guān)橢圓的中點(diǎn)弦問題中在考試中一般以三種類型的題目出現(xiàn)：(1

2、)求弦所在的直線方程；(2)求弦的中點(diǎn)的軌跡方程；(3)求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。那么今天這節(jié)課我們主要來學(xué)習(xí)一下弦所在的直線方程的求法。2、例題講解X2例1已知直線L和橢圓一42y 1相交于A,B兩點(diǎn)，M(1,1)為A,B的中點(diǎn)，2求直線L的方程。解：方法一：代入法設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為AgyJ , B(X2,y2)(1)當(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意(2)直線L斜率存在,設(shè)為k,則直線方程為：y k(x 1) 1y k(x 1) 12 2x_ y_ 142將直線帶入橢圓方程得：4k 202 2 2(1 2k )x 4k(1 k)x 2kx1x24k(1 k)1 2k2所以所求直線為：y分析：這種方法是運(yùn)

3、用方程的思想，直線與橢圓的交點(diǎn)也就是直線方程與橢圓方程的方程組的解。但是在解題中并沒有把交點(diǎn)直接求出來，而是運(yùn)用了韋達(dá)定理得到用k所表示的兩根之和。這里把A,B的坐標(biāo)設(shè)出來而沒有求，也是設(shè)而不求的思想。方法二:點(diǎn)差法 設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(X1,yJ， Bgy)2 2X1y11422 2X2y2142兩式作差得:(X X2)(X1X2)4(力 y2)(y1 y?)2變形可得：2(%y2)(%y2)2b_2(X1X2)(X1X2)4akOM所以所求直線為：y 分析：這種方法利用了作差變形，直接得到了直線的斜率，對于解題十分方 便。這里也沒有求出點(diǎn)的坐標(biāo)，也體現(xiàn)了設(shè)而不求的思想方法三：作差法設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分

4、別為：A(x, y)與B(2 x,2 y)2 2x- L 142(2 x)2(2 y)2 142兩式作差得：32y x 3 0 即 y x2 2分析：作差后直接得到一個(gè)關(guān)于x與y的方程，因?yàn)閤與y就是直線上的點(diǎn)，所以這個(gè)方程就是所求的直線方程。總結(jié)：運(yùn)用第一種方法解題時(shí)，思路比較簡單清楚，就是為了得到兩根之和的表達(dá) 式，但是需要列出方程組后把直線方程帶入橢圓方程，計(jì)算量比較大。這種思路是解決圓錐曲線問題的一種最基礎(chǔ)、最通用、最重要的方法。第二種點(diǎn)差法比第一種簡單方便，主要是用來解決中點(diǎn)弦問題的。它不僅可以 用來求中點(diǎn)弦的直線方程問題，也可以求中點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡方程以及求中點(diǎn)坐 第三種方法是專門針對求直線方程的，它是一種很特殊的方法，對于這類求直 線方程的問題能夠快速而精確的解決。前面兩種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的設(shè)而不求的思想，這種思想在解決圓錐曲線的問題中經(jīng)常使用。這些方法不僅可以解決橢圓的中點(diǎn)弦問題，對于雙曲線與拋物線也可以使用，但是有時(shí)候也要注意他們自身的一些特性。2 2練習(xí)：已知直線L與雙曲線 11相交于A,B兩點(diǎn)，M (1,1)為A,B的中點(diǎn)，42求直線L的方程。五、課堂小結(jié)，特別今天我們學(xué)習(xí)了有關(guān)橢圓中點(diǎn)弦中求弦所在直線方程的問題的三種解法是點(diǎn)差法，它是解決有關(guān)橢圓中點(diǎn)弦問題的一種十分通用且方便的方法。當(dāng)我們在平時(shí)遇到問題