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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（66）輔助圓甲內(nèi)容提要1. 經(jīng)過兩個點可以畫無數(shù)個圓；經(jīng)過三個點作圓，必須是不在同一直線上的三個點，可以作一個圓，并且只能作一個圓.2. 經(jīng)過四點作圓(即四點共圓)有如下的判定定理： 到一個定點的距離相等的所有的點在同一個圓上(圓的定義). 一組對角互補的四邊形頂點在同一圓上. 一個外角等于它的內(nèi)對角的四邊形頂點共圓. 同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓.推論：同斜邊的直角三角形頂點共圓(斜邊就是圓的直徑).3. 畫出輔助圓就可以應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì).常用的有： 同弧所對的圓周角相等. 圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角. 圓心角(圓周角)、弧、弦、弦心距的等量關(guān)系. 圓中成

2、比例線段定理：相交弦定理 ，切割線定理.4. 證明 型如ab+cd=m2常用切割線定理乙例題例1.已知：點O是ABC的外心，BE，CD是高.求證：AODE證明：延長AO交ABC的外接圓于F，連接BF.O是ABC的外心AF是ABC外接圓的直徑，ABF=Rt.BE，CD是高，BDC=CEB=Rt.B，C，E，D四點共圓(同斜邊的直角三角形頂點共圓)ADE=ECB=F.AGD=ABF=Rt，即AODE.例2.正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)的一點，且OPB=45，PAPB=514，則PB=_cm.(1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：OPB=OAB=45 ABOP四點共圓(

3、同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點共圓)APB=AOB=Rt.在RtAPB中，設(shè)PA為5x，則PB是14x.(5x)2+(14x)2=1989.解得x=3, 14x.42.PB=42 (cm).例3.已知：平行四邊形ABCD中，CEAB于E，AFBC于F.求證：AB×AE+CB×CF=AC2.證明：作BGAC交AC 于G.CEAB，AFBC.A，F(xiàn)，B，G和B，E，C，G分別共圓. (對角互補的四邊形頂點共圓)根據(jù)切割線定理，得AB×AE=AG×ACCB×CF=CG×ACAB×AE+CB×CF=AC(AG+CG)=AC2

4、.例4.已知：AD是RtABC斜邊的高，角平分線BE交AD于F.求證：AE2=AB2BE×BF.分析：根據(jù)同角的余角相等，可證AE=AF.由射影定理AB2=BD×BC.故只要證AE×AFBD×BCBE×BF創(chuàng)造應(yīng)用切割線定理的條件，作ABC的外接圓并延長BE交圓于G，得F、D、C、G四點共圓 . BD×BC=BF×BG.右邊= BF×BG. BE×BF=BF(BGBE)=BF×EG從而轉(zhuǎn)為要證AE×AF= BF×BG. 即只要證AEGBFA(證明由同學(xué)自已完成)例5已知：從O

5、外一點P作O的兩條切線PA，PB切點A和B，在AB上任取一點C，經(jīng)過點C作OC的垂線交PA于M，交PB于N.求證：OM=ON.證明：連結(jié)OA，OB .A，B是切點 OAPA，OBPB. 又OCMN.A，M，C，O和B，N，O，C分別共圓.(輔助圓可以不畫)根據(jù)同弧所對的圓周角相等，得OAC=OMC，ONC=OBC.OA=OB， OAC=OBC.OMC=ONC ， OM=ON.丙練習(xí)661.已知：AD是ABC的高，DE，DF分別是ADB和ADC的高求證： B，C，F(xiàn)，E四點共圓2.已知：兩條線段AB和CD相交于點P，且PA×PB=PC×PD.求證：A，B，C，D四點共圓.3.

6、已知：O和O，相交于A，B，過點A作一直線交O于C，交O，于D，分別過點C和點D作O和O，的切線相交于點P .求證：P，C，B，D四點在同一個圓上.4.已知：E是正方形ABCD邊BC上的一點，過點E作AE的垂線和C的外角平分線交于點F.求證：AE=AF.5.已知：M是平行四邊形ABCD對角線AC上的一點，過點M畫兩組對邊的垂線段分別交AB，CD于E，F(xiàn)交AD，BC于G，H.求證：EGFH.6.已知：ABC的三條高AD，BE，CF交于點H.求證：BH×BE+CH×CF=BC2.7.已知：AB是O的直徑，C是半圓上的一點，CDAB于D，G 是CD上的一點，AG的延長線交半圓于H.求證：CD2+AD2=AG×AH.8.已知：AD是ABC的角平分線 .求證：AD2=AB×AC.DB×DC9.已知：凸五邊形ABCDE中.A=3，BC=CD=DE，C=D=180.2.求證：AC，AD，AE三等分A. (1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)10.求證：圓上一點到圓內(nèi)接四邊形兩組對邊的距離的積相等11.求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對邊積的和等于兩對角線的積(托列密定理)12.如圖已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由AB上一點M作MPBC，MQCD，MRDA，PR交MQ于N.求