理論力知識學知識題

1、_第一章思考題1.1 平均速度與瞬時速度有何不同？在什么情況下，它們一致？答：平均速度因所取時間間隔不同而不同，它只能對運動狀態(tài)作一般描述，平均速度的方向只是在首末兩端點連線的方向；而瞬時速度表示了運動的真實狀況，它給出了質點在運動軌道上各點處速度的大小和方向（沿軌道切線方向）。只有在勻速直線運動中，質點的平均速度才與瞬時速度一致。1.2 在 極坐 標 系中 ， vr r vr ， 為 什 么 ar r r 2 而 非 r ？ 為 什么ar2r 而非 arr ？你能說出 ar 中的 r 2 和 a 中另一個 r 出現(xiàn)的原因和它們的物理意義嗎？答：在極坐標系中， 徑向速度和橫向速度， 不但有量值

2、的變化， 而且有方向的變化，單位矢量對時間的微商不再等于零，導致了上面幾項的出現(xiàn)。實際上將質點的運動視為徑向的直線運動以及以極點為中心的橫向的圓周運動。因此徑向加速度分量ar 中，除經(jīng)向直線運動的加速度r 外，還有因橫向速度的方向變化產(chǎn)生的加速度分量r2 ；橫向加速度分量中除圓周運動的切向加速度分量r外，還有沿橫向的附加加速度2r，其中的一半 r是由于徑向運動受橫向轉動的影響而產(chǎn)生的，另一半r是由于橫向運動受徑向運動的影響而產(chǎn)生的。1.3在內(nèi)稟方程中，an 是怎樣產(chǎn)生的？為什么在空間曲線中它總沿著主法線的方向？當質點沿空間曲線運動時，副法線方向的加速度ab 等于零，而作用力在副法線方向的分量

3、Fb 一般不等于零，這是不是違背了牛頓運動定律呢？_答：由于自然坐標系是以軌道切線、主法線和副法線為坐標系，當質點沿著軌道曲線運動時，軌道的切線方向始終在密切平面內(nèi)，由于速度方向的不斷變化，產(chǎn)生了an 沿主法線方向且指向曲率中心。在副法線方向不存在加速度分量，ab 等于零，這并不違背牛頓運動定律，因為在副法線方向作用的主動外力不一定為零，但可做到Fb0 ，即所有外力之和在副法線方向平衡。1.4 在怎樣的運動中，只有a 而無 an ？在怎樣的運動中，又只有an 而無 a ？在怎樣的運動中，既有a 又有 an ？答：質點在變速直線運動中，只有a 而無 an ；質點在勻速曲線運動中，只有an 而無

4、a ；質點在變速曲線運動中，既有a 又有 an 。1.5dr 與 dr有無不同？ dv與 dv 有無不同？試就直線運動與曲線運動分別加以dtdtdtdt討論。答：直線運動中：dr是速度，是矢量； dr 是速率，是標量；dtdtdv 是加速度，是矢量； dv 是加速度的大小，是標量。dtdtdrdrdvdvdtidtidtdt曲線運動中：dr 是速度，是矢量； dr 是速度的徑向分量，是標量；dtdtdv 是加速度，是矢量； dv 是加速度的切向分量，是標量。dtdt1.6人以速度 v 向籃球網(wǎng)前進，則當其投籃時應用什么角度投出？跟靜止時投籃_有何不同？答：設靜止時投籃角度為，運動時投籃角度為，

5、且： 0,90 0 ，籃球為動點，人為運動參照系，籃球網(wǎng)不動。人的速度為牽連速度ve ，球對人的速度為相對速度v r ，人靜止時投籃速度為v0 ，也就是球的絕對速度。因此：v0cosvevr cos(1)v0sinvrsin(2)(1)ctgvectg:vr sin(2)ctgctg0 ,因余切函數(shù)是減函數(shù)。 故：，即人以速度 v 向籃球網(wǎng)前進時，其投籃的拋射角較靜止時應大些，才能準確地將球投入藍中。1.7雨點以勻速 v 落下，在一有加速度a 的火車中看，它走什么路線？答：這屬于牽連運動為平動的問題。以車廂為參照系建立坐標系 o xy ，則雨點受慣性力ma 作用，忽略雨點的重力，則動力學方程為

6、：mxmaxa常數(shù)my0即：v常數(shù)y雨點在 x 方向作勻加速運動， 在 y 方向作勻速運動，與重力場中物體的平拋運動相比較知，雨點相對于火車走的是一條拋物線，若xa常數(shù) ，則要經(jīng)過積分才能知道路徑。1.8 某人以一定的功率劃船，逆流而上，當船經(jīng)過一橋時，船上的漁竿不慎掉入河中，兩分鐘后，此人才發(fā)現(xiàn)，立即返棹追趕，追到漁竿之處在橋的下游600 米的地方，問河水的流速是多大？_答：以船為動點，河水為動系，岸為定系。船對水的相對速度vr ，水對岸的流速（及漁竿的速度）為牽連速度ve ，所以：120 ( vrve ) 600600120vevevr解得： ve =2.5米/ 秒。1.9 物體運動的速度

7、是否總是和所受的外力的方向一致？為什么？答：物體運動速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物體的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度總是沿著切線方向，而作用于質點的外力是可以有不同方向的，所以物體運動的速度并不總是和所受外力的方向一致。1.10在哪些條件下，物體可以作直線運動？如果初速度的方向和力的方向不一致，則物體是沿力的方向還是沿初速度的方向運動？試用一具體實例加以說明。答：當力的作用方向與物體的初速度方向一致或相反時，物體才能作直線運動。如果力的方向與物體的初速度方向不一致，則物體既不沿力的方向也不沿初速度的方向運動，如拋射體運動。1.11質點僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，達到任

8、意一點時的速度只和什么有關？為什么是這樣？假如不是光滑的又將如何？答：如圖所示，取x 軸為零勢線，由于曲線光滑，曲線對質點的作用力和位移方向垂直，該力不作功，故機械能守恒：1mv021mv2mgy22_vv022gy即達到任一點的速度只與初速度及下降的高度有關，而與曲線的形狀無關。如果曲線不是光滑的，則有摩擦力存在，摩擦力在質點運動過程中作功，由動能定理有：1 mv21 mv02mgyf dl22lv 2v022gy2fdlm l由于摩擦力作功與路徑有關，所以摩擦力存在時，質點到達任一點的速度與初速度及下降的高度有關，還與曲線的形狀有關。1.12為什么質點被約束在一光滑靜止的曲線上運動時，約束

9、力不作功？我們利用動能定理或能量積分，能否求出約束力？如不能，應當怎樣去求？答：因為約束力與運動方向垂直，所以在光滑靜止曲線上，約束力不作功，用動能定理或能量積分無法求出約束力。此時可以用動能定理或能量積分先求出速度，在利用內(nèi)稟方程中的法向運動微分方程，可求出約束力。1.13 質點的質量是1kg ，它運動時的速度是： v3i2j3k, 式中i、 、j k 是沿 xyz 軸上的單位矢量，求此質點的動量和動能的量值。答：動量： Pmv3i2 j3 k動量的量值：Pmv322234（單位）動能：T1 mv21 (32223) 8（單位）221.14在上題中，當質點以上述速度運動到（1， 2， 3）點

10、時，它對原點O 及 z 軸_的動量矩各是多少？答：質點運動到（ 1 ，2，3 ）點時，它對原點O 的位矢為：ri2 j3 k則對 O 點的動量矩為：ijkJrmv123323(2 3 6) i(93) j 4k對 z 軸的動量矩為：J zJk41.15動量矩守恒是否就意味著動量也守恒？已知質點受有心力作用而運動時，動量矩是守恒的，問它的動量是否也守恒？答：動量矩守恒的條件是；MrF0 ；動量守恒的條件為：F0 。由于MrF0 時，可以是r 與 F共線而F0 ，故動量矩守恒時動量不一定守恒。以質點在有心力作用下的運動為例，F(xiàn)F (r )r，顯然MrF0 ，動量矩守恒，r但因為 F0，動量不守恒。

11、實際上質點的動量沿軌道切線，其大小和方向時刻在變化。1.16如 FF (r ) ，則在三維直角坐標系中，仍有F0 的關系存在嗎？試檢驗之。答：FF (r )rr，則：FxF (r )xrF yF (r )yrFzF (r )zr_ijkFxyzF (r ) xF ( r ) yF ( r ) zrrr( F z)( F y ) i(F x )( F z ) j( F y )y(F x) kyrzrzrxrxry(F ) xy( F z )z(F y ) z( F ) ry( F ) rrrr ryrr zr 2x 2y 2z2rxryrzxryrzr(F ) x0同理： (F ) y0(F )

12、z0F0即有心力場是無旋場，有心力場是保守力場。1.17在平方反比引力問題中，勢能曲線應具有什么樣的形狀？GMm答：平方反比引力：F ( r )r 2勢能為：r GMmGMmVF drF (r )dr2drrr勢能曲線形狀如圖所示。1.18 我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角為68.5 0，比蘇聯(lián)及美國第一次發(fā)射的都要大，我們說，交角越大，技術要求越高，這是為什么？又交角大的優(yōu)點是什么？答：評定發(fā)射人造衛(wèi)星的技術指標應從多方面綜合考慮，不應簡單地一概而論。衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角大，利用地球自轉的線速度就小，因而就需要火箭_的推動力要大，技術要求就高。交角大，

13、衛(wèi)星“掃射”地球表面積大，因而了解信息就多。但人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角，是按衛(wèi)星的功能和實際需要來確定的。1.19盧瑟福公式對引力庫侖場來講也能適用嗎？為什么？答：盧瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力庫侖場為平方反比引力，兩者實質一樣，只差一符號，引力場中軌道的偏轉與斥力場中偏轉的方向相反，故盧瑟福公式也能使用。第一章習題1.1 沿水平方向前進的槍彈，通過某一距離s 的時間為 t1，而通過下一等距離s 的時間為 t 2，試證明槍彈的減速度（假定是常數(shù)）為：2s(t 2t1 )t1t2 (t1t 2 )證：設初速度為 v0 ，加速度為： - a通過第一段距離 s：sv0 t11

14、at12(1)21 a t通過2s距離：2sv (t1t)1t2 )2(2)022(（ 1）（2）兩式聯(lián)立，消去0得： (1)(t1t2 )(2) t1 vs(t 2t1 )1 at1 t2 (t1t 2 )2a2s(t2t1 )t1t2 (t1t 2 )證畢。_1.2 某船向東航行，速率為每小時15 千米，在正午經(jīng)過某一燈塔，另一船以同樣速度向北航行，在下午1 時 30 分經(jīng)過此燈塔，問在什么時候兩船的距離最近？最近的距離是多少？yB(o,yB)解：以正午為計時零點，設t 時兩船相距最近，其最近距離為 S 。設東向船為 A ，北向船為 B ，以S(xA ,o)燈塔為坐標原點 O ，建立坐標系

15、 O xy ，如圖所示。OAx在 t 時刻，兩船位置分別為：A xA ,0B 0, y Bv15千米 / 小時xAvtyBv t1.5SxA2yB2v t 2t 1.52dsv2t2 t1.50dt2t 2t1.5 2則:2t2 t1.5 20t 0.75小時 （即午后 45 分鐘）將 t 值代入 S 表達式得：Smin 15 0.7520.75 1.5 215.9（千米）答：在正午后 45 分鐘兩船相距最近，其最近距離為15.9 千米。_1.3 曲柄 OA r ，以勻角速繞定點 O 轉動，此曲柄借連桿AB 使滑塊 B 沿直線ox 運動，求連桿上 C 點的軌跡方程及速度。設 ACCBaAOBA

16、BO。解：如圖所示建立坐標系0 xy ，C 點的坐標為：xr cosa cos(1)ya sin(2)在三角形 AOB 中，r sin2asin(3)由（ 1 ）（ 2）兩式消去得：a2y 2( xr cos ) 2即：xr cosa 2y2( 4)由（ 2 ）（ 3）兩式消去得：2 yr sin(5)由（ 4 ）（ 5）兩式消去得：r 24 y 2( xa 2y2 ) 2上式化簡得軌道方程為：4x2 ( a2y 2 ) ( x 23y 2a2r 2 )2對（ 1 ）（ 2）兩式取微商得：xrsinasin(6)yacos(7)對（ 3 ）式取微商得：rcos2acosrcos(8)2acos

17、將（ 8 ）代入（ 6）（ 7）得：xr sin cosr sin2 cosy 1 r cos2C 點的速度為_vx 2y 2(r sinr sincos ) 2( 1 r cos ) 22 cos2r4 sincos sin()cos22 cos1.4 細桿 OL 繞 O 點以勻角速轉動，并推動小環(huán) C 在固定的鋼絲 AB 上滑動，如圖所示， d 為一已知常數(shù)，試求小環(huán)的速度及加速度的量值。解：如圖建立直角坐標系O xy ，小環(huán)在任意時刻的位矢為：rOCxiyjdtg id jyLvdrdsec2 ix2dd 2iACdtB式中用到：dsec21x2d2xOd 2cos2小環(huán)的速度的量值為：

18、vx 2d 2dadvddsec2 idtdt2d2 sec2tgitgxd22 x x2d 2id 2小環(huán)的加速度的量值為： a22 x x 2d 2d 2_1.5 礦山升降機作加速度運動時，其變加速度可用下式表示：tac(1sin)式中 c 及 T 為常數(shù)，試求運動開始t 秒后升降機的速度及其所走過的路程。已知升降機的初速度為零。解：升降機作直線加速運動，則：dvtc(1sin)dt2T兩邊積分：vtc(1sint )dtdv002Tvc t2T(cost1)2Tvdsct2T (cos t1)dt2T兩邊積分：stds00t 2sc2ct2Tt1) dt(cos2T2T2Ttt)(sin

19、2T1.6 一質點沿位矢及垂直于位矢的速度分別為r 及，式中、是常數(shù)，試證其沿位矢及垂直于位矢的加速度分別為：22ar2 rarr證：由已知： vrrr沿位矢方向vr垂直位矢方向則： vriji 、 j 為徑向、橫向單位矢量_advdriddtjdtdtr ird id jdtjdtr irjjirirj2 r222rijr2 r22arrar證畢。1.7試自 xrcos, yrsin出發(fā)，計算 x 及 y ，并由此推出徑向加速度橫向加速度 a 。解： x、y 坐標與平面極坐標 r 、之間的關系，如圖所示。yar 和xrcosrsinyrsinrcosxr cosrsinrsinrsinr2

20、cosr cos2rsinrsinr2cos0Or 0xyr sinr cosrcosrcosr2 sinr sin2rcosrcosr2 sinarxcosysinr cos22r sincos r2 cosr sincosr sin22r cossinr cossin r2 sin 2rr2aycosxsin_r sincos 2r cos2r cos2r2 sincosr sincos 2r sin2r sin 2r2 cossin2rr徑向加速度為：ar rr 2橫向加速度為： a2rr1.9 質點作平面運動，其速率保持為常數(shù)。試證其速度矢量v 與加速度矢量 a 正交。證： v vv

21、2常數(shù)（已知）上式對時間取微商：2v a0即： v a0v a 即速度矢量 v 與加速度矢量 a 正交。又證：因為質點作平面運動，速度總沿軌道切線方向。v vi而advdv iv2jdtdt又 v 為常數(shù)（已知）， dv 0 dt所以：dvv2ajdt故：v a即速度矢量 v 與加速度矢量 a 正交。證畢。1.10一質點沿著拋物線y 22 px 運動，其切向加速度的量值為法向加速度量值的-2 k 倍，如此質點從正焦弦( p , p) 的一端以速度u 出發(fā)，試求其達到正焦弦另一端的速2率。_解：由 y 22 px 得：tgdypdxy始點 ( p , p)tg 0 1045（第三象限）24終點p

22、tg127（第四象( , p)442限）advanv 2v2 dv ds dv ddtdsdtdsdt由題意知：dv2kv ddtdt積分：v dvdu2kv0ln v2k( 75)u44vue k1.11 質點沿著半徑為r 的圓周運動，其加速度矢量與速度矢量間的夾角保持不變。求質點的速度隨時間而變化的規(guī)律。已知初速度為v0 。解：按題意畫圖，如圖所示。a 沿切向與 v 同向， a與 a 間夾角，即 a 與 v 間夾角為，為常數(shù)。則：advv2a iactgadtananrdvv 2Oa n jdtrctgvdvctgv0v2rtdt011ctgvv0rt_1.12在上題中，試證其速度可表示為

23、：v v0e(0 ) ctg式中為速度矢量與 x 軸間的夾角，且當 t= 0時，0證：aadvanv2rdsctgdtrdandvctgvd分離變量積分：vdvctgdv0v0lnv(0 )ctgv0vv0e(0 ) ctg證畢。1.13假定以飛機從 A 處向東飛到 B 處，而后又向西飛回原處，飛機相對于空氣的速度為 v ，而空氣相對于地面的速度則為v0 ， A 與 B 之間的距離為 l ，飛機相對于空氣的速率 v 保持不變。(a) 假定 v0 0 ，則空氣相對于地面是靜止的，試證來回飛行的總時間為：t 02l ；v(b) 假定空氣速度向東（或向西） ，試證來回飛行的總時間為： ；Bt 0v0

24、2 / v 2t1(c) 假定空氣速度向北（或向南） ，試證來回飛行的總時間為： t Nt0。1v02 / v 2解：本題是牽連運動為平動的問題選擇：動點（運動物體）飛機；動系空氣；定系大地。vv0v其中 v 為相對速度， v0 為牽連速度，v 為絕對速度。(a)空氣靜止 v00vv_其大小為： vv2lt 02lt 0v(b) 設空氣向東流動當飛機由西向東飛行時， v AB v0 vt ABlv0v當飛機由東向西返回時：vBAv0vt BAlvv0故來回所花時間：t Bt ABtBAllv0 vv0v2l2v lvv 2v021 v02 / v 2t 01v02 / v 2(c) 設風從南向

25、北吹，飛機由西向東飛行時相對速度為 v1 ，飛機由東向西飛時相對速度為 v 2 ，如圖所示。v1v2v 2v02v0vv1v0v 2v_tN 2lv 2v022lv1 v02 / v 2t 01v02 / v 21.14一飛機在靜止空氣中每小時的速率為100 千米，如果飛機沿每邊為6 千米的正方形飛行，且風速為每小時28 千米，方向與正方形的某兩邊平行，則飛機繞此正方形飛行一周，需時多少？解：設飛機為動點，風為動系，且由南向北吹，大地為靜系。如圖所示。飛機向北行： v1v0vv0vv2飛機向南行： v3vv0飛機向東或向西行：v0vvv 0v2 v4v 2v0繞正方形飛行一周所需時間為：ll2

26、lv0v 4tv02vv0v v v0v 22l2lvv02v021v1v 2v 22l11v2/ v221 v01 v0 / v2_2 61210.2552小時15 5分鐘1001028216111001001.15 當一輪船在雨中航行時，它的雨蓬遮著篷的垂直投影后2 米的甲板，篷高 4米，但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3 米，如果雨點的速度為 8米 / 秒，求輪船的速率。解：選擇：動點雨點前 A后動系輪船vvv4靜系岸邊32B雨對地的速度（絕對速度） v8m / sv0C雨對船的速度（相對速度）為 v船對地的速度（牽連速度）為 v0方向如圖所示。由相對運動速度公式有：v

27、v0 v由圖形知：ABC 與速度三角形相似，則：vAB3242v0BC312vv08m / s1.16寬度為 d 的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流速度為零，_在河流中心處，其值為c，一小船以相對速度u 沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對岸靠攏的地方。解： 0yd ：2dv0kyyv0c22c2c ykv0ddtgdyuuddxv02cy分離變量積分：yxuddxydy2c00所以船的軌跡為：xcy2( 0 yd )dud2d：y22c (dv0k(dy)y)dydxc( d )2cd2ud24udyuudtgv02c( d y)dxyy)dy分離變量積分：d (d2

28、xcd4uud dx2c所以船的軌跡為：x2c yc y 2 cd( dyd )uud2u2船在對岸靠攏的地點：y dx2cdcd 2cdcduud2u2u1.17小船 M 被水沖走后，有一蕩槳人以不變的相對速度C2 朝岸上 A 點劃回，假定河流速度 C1 沿河寬不變，且小船可以看成一個質點，求船的軌跡。_解：這是一個牽連運動為平動的問題，選取平面極坐標系。dr （徑向絕對速度）C1 cosC 2（1 ）dtr d（橫向絕對速度）C1 sin（ 2 ）dt兩式相除，得：drd sinC 21)d（3）r(C1sinsindrd sinkcscdkC 2rsinC1ln rln(sin)k ln

29、(tg2)A當 r r0時 ,Aln r0ln sin0 k ln tg002lnrln sin0lntg (2 ) kr0sintg ( 02)令：0022則：rsin 0tg ksin0 sin kcosk0r0sintg ksincosksin k002 sin0 cos0 sinkcosk02sincoscosksin k0sin k1cosk 10cosk1sin k 10所以船的軌跡為：sin k 1cosk10rr0 cosk 1sin k101.18一質點自傾角為的斜面的上方 O 點，沿一光滑斜槽OA 下降，如欲使此質_點到達斜面上所需的時間為最短，問斜槽OA 與豎直線所成之角應為何值？解：如圖所示，OBA2由正弦定理得：OAOBsin() sin()22OAOB(1)即：cos()cos質點下降的加速度為： g cosOA1g cost 2(2)2將（ 2 ）式代入（ 1）式得：1 g cost