概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)方差分析與回歸分析ppt課件

1、8.1 方差分析8.2 多重比較8.3 方差齊性分析8.4 一元線性回歸8.5 一元非線性回歸 8.1.1 問(wèn)題的提出 實(shí)踐任務(wù)中我們經(jīng)常碰到多個(gè)正態(tài)總體均值的比較問(wèn)題，處置這類問(wèn)題通常采用所謂的方差分析方法。 例8.1.1 在飼料養(yǎng)雞增肥的研討中，某研討所提出三種飼料配方：A1是以魚粉為主的飼料，A2是以槐樹粉為主的飼料，A3是以苜蓿粉為主的飼料。為比較三種飼料的效果，特選 24 只類似的雛雞隨機(jī)均分為三組，每組各喂一種飼料，60天后察看它們的分量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下表所示： 飼料A雞 重克A110731009106010011002101210091028A2110710929901109109

2、0107411221001A310931029108010211022103210291048 本例中，我們要比較的是三種飼料對(duì)雞的增肥作用能否一樣。為此，把飼料稱為因子，記為A，三種不同的配方稱為因子A的三個(gè)程度，記為A1, A2, A3，運(yùn)用配方Ai下第 j 只雞60天后的分量用yij表示，i=1, 2, 3, j=1, 2, 10。我們的目的是比較三種飼料配方下雞的平均分量能否相等，為此，需求做一些根本假定，把所研討的問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，然后用方差分析的方法進(jìn)展處理。 在例8.1.1中我們只調(diào)查了一個(gè)因子，稱其為單因子實(shí)驗(yàn)。 通常，在單因子實(shí)驗(yàn)中，記因子為 A, 設(shè)其有r個(gè)程度，記為

3、A1, A2, Ar，在每一程度下調(diào)查的目的可以看成一個(gè)總體 ，現(xiàn)有 r 個(gè)程度，故有 r 個(gè)總體， 假定：o每一總體均為正態(tài)總體，記為 N(i , i 2)， i1, 2, r ；o各總體的方差一樣: 1 2= 22= r2 = 2 ；o從每一總體中抽取的樣本是相互獨(dú)立的， 即一切的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 yij 都相互獨(dú)立。 我們要比較各程度下的均值能否一樣, 即要對(duì)如下的一個(gè)假設(shè)進(jìn)展檢驗(yàn): H0 ：1 =2 =r 8.1.1 備擇假設(shè)為H1 ：1, 2, , r 不全相等 在不會(huì)引起誤解的情況下， H1 通常可省略不寫。 假設(shè)H0成立，因子A的r個(gè)程度均值一樣，稱因子A的r個(gè)程度間沒(méi)有顯著差別，簡(jiǎn)稱因

4、子A不顯著；反之，當(dāng)H0不成立時(shí)，因子A的r個(gè)程度均值不全一樣，這時(shí)稱因子A的不同程度間有顯著差別，簡(jiǎn)稱因子A顯著。 為對(duì)假設(shè)8.1.1進(jìn)展檢驗(yàn)，需求從每一程度下的總體抽取樣本，設(shè)從第i個(gè)程度下的總體獲得m個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，記 yij 表示第i個(gè)總體的第j次反復(fù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果。共得如下n=rm個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果：yij， i1, 2, r ， j1, 2, , m, 其中r為程度數(shù)，m為反復(fù)數(shù)，i為程度編號(hào)， j 為反復(fù)編號(hào)。 在程度Ai下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果yij與該程度下的目的均值 i 普通總是有差距的，記 ij = yiji， ij 稱為隨機(jī)誤差。于是有 y i j = i + i j 8.1.2 8.1.2式稱為實(shí)

5、驗(yàn)結(jié)果 yij 的數(shù)據(jù)構(gòu)造式。 單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型： 8.1.3 總均值與效應(yīng): 稱諸 i 的平均 為總均值. 稱第 i 程度下的均值 i 與總均值 的差: ai=i - 為 Ai 的效應(yīng)。 2,1,2,., ,1,2,.,(0,)ijiijijyir jmN諸相互獨(dú)立，且都服從1111(.)rriirr 模型8.1.3可以改寫為 (8.1.8) 假設(shè)8.1.1可改寫為 H0 ：a1 =a2 =ar =0 8.1.9 12,1,2,., ,1,2,.,0N(0,)ijiijriiijyair jma相互獨(dú)立，且都服從一、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 通常在單因子方差分析中可將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列成如下頁(yè)表格方式。表8

6、.1.2中的最后二列的和與平均的含義如下：.111,2,miiijijriiTTyyirmTTTTyr mnnr m總試驗(yàn)次數(shù)因子程度 試 驗(yàn) 數(shù) 據(jù) 和 平均 A1y11 y12 y1m T1A2y21 y22 y2mT2Aryr1 yr2 yrmTrT1y2yyry 數(shù)據(jù)間是有差別的。數(shù)據(jù)yij與總平均 間的偏向可用yij 表示，它可分解為二個(gè)偏向之和 8.1.10 記二、組內(nèi)偏向與組間偏向.()()ijijiiyyyyyy.1111111,mrrmiijiijjiijmrnyy 由于 8.1.11 所以yij - 僅反映組內(nèi)數(shù)據(jù)與組內(nèi)平均的隨機(jī)誤差，稱為組內(nèi)偏向；而 8.1.12 除了反

7、映隨機(jī)誤差外，還反映了第i個(gè)程度的效應(yīng)，稱為組間偏向。.()()ijiiijiiijiyyijy.()()iiiiiyya. iyy在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把k個(gè)數(shù)據(jù)y1 , y2 , , yk分別對(duì)其均值 =(y1+ + yk )/k 的偏向平方和 稱為k個(gè)數(shù)據(jù)的偏向平方和，它常用來(lái)度量假設(shè)干個(gè)數(shù)據(jù)分散的程度。三、偏向平方和及其自在度y22211()()()kkiiQyyyyyy在構(gòu)成偏向平方和Q的k個(gè)偏向y1 , , yk 間有一個(gè)恒等式 ，這闡明在Q中獨(dú)立的偏向只需k1個(gè)。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中把平方和中獨(dú)立偏向個(gè)數(shù)稱為該平方和的自在度，常記為f，如Q的自在度為fQ=k1。自在度是偏向平方和的一個(gè)重要參數(shù)。 y

8、y1()0kiiyy各yij間總的差別大小可用總偏向平方和 表示，其自在度為fT=n1； 四、總平方和分解公式 僅由隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間的差別可以用 組內(nèi)偏向平方和 表示， 也稱為誤差偏向平方和，其自在度為 fe=nr ；211()rmTijijSyy 2.11()rmeijiijSyy由于組間差別除了隨機(jī)誤差外，還反映了效應(yīng)間的差別，故由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差別可用組間偏向平方和 表示，也稱為因子A的偏向平方和，其自在度為 fA=r1； 2.1()rAiiSmyy定理8.1.1 在上述符號(hào)下，總平方和ST可以分解為因子平方和SA與誤差平方和Se之和，其自在度也有相應(yīng)分解公式，詳細(xì)為： ST =

9、SA +Se , fT =fA +fe 8.1.16 8.1.16式通常稱為總平方和分解式。 偏向平方和Q的大小與自在度有關(guān)，為了便于在偏向平方和間進(jìn)展比較，統(tǒng)計(jì)上引入了均方和的概念，它定義為MS=Q/fQ ，其意為平均每個(gè)自在度上有多少平方和，它比較好地度量了一組數(shù)據(jù)的離散程度。 如今要對(duì)因子平方和 SA 與誤差平方和 Se 之間進(jìn)展比較，用其均方和 MSA= SA /fA ， MSe= Se /fe 進(jìn)展比較更為合理，故可用 作為檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量。8.1.4 檢驗(yàn)方法/AAAeeeMSSfFMSSf定理8.1.2 在單因子方差分析模型 (8.1.8) 及前述符號(hào)下，有 (1) Se / 2

10、 2(nr) ，從而E(Se ) (nr) 2 ，進(jìn)一步，假設(shè)H0成 立，那么有SA/ 2 2(r1) (2) SA與Se獨(dú)立。 221()(1)rAiiE Srma由定理8.1.2，假設(shè)H0成立，那么檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F服從自在度為fA和fe的F分布，因此回絕域?yàn)閃=FF1 (fA ,fe)，通常將上述計(jì)算過(guò)程列成一張表格，稱為方差分析表。表8.1.3 單因子方差分析表來(lái)源平方和 自在度均方和F比因子SAfA=r1MSA= SA/fAF MSA/ MSe誤差Sefe=nrMSe= Se/fe總和STfT=n1對(duì)給定的，可作如下判別： 假設(shè)F F1 (fA ,fe) ，那么闡明因子A不顯著。 該檢驗(yàn)的

11、p值也可利用統(tǒng)計(jì)軟件求出，假設(shè) 以Y記服從F(fA ,fe)的隨機(jī)變量，那么檢驗(yàn)的 p 值為 p=P(YF)。 假設(shè) F F1 (fA ,fe)，那么以為因子A顯著；常用的各偏向平方和的計(jì)算公式如下： 8.1.19 普通可將計(jì)算過(guò)程列表進(jìn)展。 22112211rmTijijrAiieTATSynTSTmnSSS例8.1.2 采用例8.1.1的數(shù)據(jù)，將原始數(shù)據(jù)減去1000， 列表給出計(jì)算過(guò)程： 表8.1.4 例8.1.2的計(jì)算表程度數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù)-1000TiTi2A173 96012129281943763610024A210792-101099074122158534222560355A393

12、 298021223229483541253162098411335051779321mijjy 利用(8.1.19)，可算得各偏向平方和為： 把上述諸平方和及其自在度填入方差分析表2211339136337876.0417,24 1 2324505177 11339660.0833,3 1282437876.0417 9660.0833 28215.9584,3(8 1) 21TTAAeTAeSfSfSSSf 表8.1.5 例8.1.2的方差分析表 來(lái)源平方和自在度均方和F比因子9660.083324830.04173.5948 誤差28215.9584211343.6171總和37876.

13、041723假設(shè)取=0.05，那么F0.95 (2 ,21)=3.47 ，由于F=3.59483.47，故以為因子A飼料是顯著的，即三種飼料對(duì)雞的增肥作用有明顯的差別。 在檢驗(yàn)結(jié)果為顯著時(shí)，我們可進(jìn)一步求出總均值 、各主效應(yīng)ai和誤差方差 2的估計(jì)。 一、點(diǎn)估計(jì)由模型(8.1.8)知諸yij相互獨(dú)立，且yij N(+ ai , 2) ，因此， 可運(yùn)用極大似然方法求出普通平均 、各主效應(yīng)ai和誤差方差 2的估計(jì):由極大似然估計(jì)的不變性，各程度均值i的極大似然估計(jì)為 ，由于 不是 2的無(wú)偏估計(jì)，可修偏： .iiy2M2eMS.2211,1,1()iirmeMijijyayyirSyynn 由于 ，

14、可給出Ai的程度均值i的1- 的置信區(qū)間為 其中 。 .() ()/iieeem yt fSf二、置信區(qū)間.1/2.1/2()/,()/ieieytfmytfm2eMS例8.1.3 繼續(xù)例8.1.2，此處我們給出諸程度均值的估計(jì)。因子A的三個(gè)程度均值的估計(jì)分別為 從點(diǎn)估計(jì)來(lái)看，程度2以槐樹粉為主的飼料是最優(yōu)的。 12319410001024.25,858510001073.125,835410001044.25,8 誤差方差的無(wú)偏估計(jì)為 利用(8.1.23)可以給出諸程度均值的置信區(qū)間。此處， ，假設(shè)取0.05 ，那么t1- /2( fe )= t0.95( 21 )=2.0796， ，于是三

15、個(gè)程度均值的0.95置信區(qū)間分別為21343.6171eMS1343.6171 36.65540.975(21)/ 8 26.9509t123:1024.25 26.9509 = 997.2891, 1051.2109,:1073.125 26.9509 = 1046.1741, 1100.0759,:1044.25 26.9509 = 1017.2891, 1071.2109. 在單因子實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)分析中可得到如下三個(gè)結(jié)果： 因子能否顯著； 實(shí)驗(yàn)的誤差方差 2的估計(jì)； 諸程度均值i的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。 在因子A顯著時(shí)，通常只需對(duì)較優(yōu)的程度均值作參數(shù)估計(jì)，在因子A不顯著場(chǎng)所，參數(shù)估計(jì)無(wú)需進(jìn)展。8

16、.1.6 反復(fù)數(shù)不等情形 單因子方差分析并不要求每個(gè)程度下反復(fù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)全相等，在反復(fù)數(shù)不等場(chǎng)所的方差分析與反復(fù)數(shù)相等情況下的方差分析極為類似，只在幾處略有差別。 數(shù)據(jù)：設(shè)從第i個(gè)程度下的總體獲得mi個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，記為yi1 , yi2 , yim ，i=1,2, r，統(tǒng)計(jì)模型為： 8.1.24 2,1,2,., ,1,2,.,(0,)ijiijiijyirjmN各相互獨(dú)立，且都服從總均值：諸i的加權(quán)平均一切實(shí)驗(yàn)結(jié)果的均值的平均 8.1.25 稱為總均值或普通平均。 效應(yīng)約束條件： 各平方和的計(jì)算： SA的計(jì)算公式略有不同 222.11()rriAiiiiiTTSm yymn10riiima111

17、11(.)rrriiimmmnn例8.1.4 某食品公司對(duì)一種食品設(shè)計(jì)了四種新包裝。為調(diào)查哪種包裝最受顧客歡迎，選了10個(gè)地段繁華程度類似、規(guī)模相近的商店做實(shí)驗(yàn)，其中二種包裝各指定兩個(gè)商店銷售，另二個(gè)包裝各指定三個(gè)商店銷售。在實(shí)驗(yàn)期內(nèi)各店貨架排放的位置、空間都一樣，營(yíng)業(yè)員的促銷方法也根本一樣，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，記錄其銷售量數(shù)據(jù)，列于表8.1.6左半邊，其相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果列于右側(cè)。 包裝類型 銷售量 miTiTi2 / miA112214 12319 17 2135710831091A424 3025414581476和n=10 T=18021imi

18、jjy213498riiiTm2113544imrijijy由此可求得各類偏向平方和如下 方差分析表如表8.1.8所示 .假設(shè)取0.01，查表得F0.01(3,6)=9.78，由于 F=11.229.78，故我們可以為各程度間有顯著差別。 3544 3240304,10 193498 3240258,4 13304 25846,10 46TTAAeeSfSfSf 22180324010Tn來(lái)源平方和自在度均方和F比因子A25838611.22 誤差e4667.67總和T3049 由于因子顯著，我們還可以給出諸程度均值的估計(jì)。因子A的四個(gè)程度均值的估計(jì)分別為 由此可見(jiàn)，第四種包裝方式效果最好。誤

19、差方差的無(wú)偏估計(jì)為123430/215,39/313,57/319,54/227,27.67eMS 進(jìn)一步，利用(8.1.23)也可以給出諸程度均值的置信區(qū)間，只是在這里要用不同的mi替代那里一樣的m。此處， ，假設(shè)取0.05，那么t1-/2( fe )=t0.95(6)=2.4469， ，于是效果較好的第三和第四個(gè)程度均值的0.95置信區(qū)間分別為 7.672.76950.975(6)6.7767t:196.7767/3 15.0875,22.9125,3:276.7767/2 22.2081,31.7919.48.2.1 效應(yīng)差的置信區(qū)間 假設(shè)方差分析的結(jié)果因子A顯著，那么等于說(shuō)有充分理由以

20、為因子A各程度的效應(yīng)不全一樣，但這并不是說(shuō)它們中一定沒(méi)有一樣的。就指定的一對(duì)程度Ai與Aj，我們可經(jīng)過(guò)求i - j的區(qū)間估計(jì)來(lái)進(jìn)展比較。 由于 ，故由此給出i - j的置信程度為1-的置信區(qū)間為 (8.2.1)其中 是 2的無(wú)偏估計(jì)。這里的置信區(qū)間與第六章中的兩樣本的t區(qū)間根本一致，區(qū)別在于這里 2的估計(jì)運(yùn)用了全部樣本而不僅僅是兩個(gè)程度Ai, Aj下的觀測(cè)值。2.11(,()ijijijyyNmm.()()()11()ijijeeijeyytfSmmf.11221111()(),()()ijeijeijijyytfyytfmmmm2/eeSf例8.2.1 繼續(xù)例8.1.2， ，fe=21，取0

21、.05 ，那么t1-/2( fe )= t0.975(21)=2.0796， 于是可算出各個(gè)置信區(qū)間為 可見(jiàn)第一個(gè)區(qū)間在0的左邊，所以我們可以概率95%斷言以為1 小于2，其它二個(gè)區(qū)間包含0點(diǎn)，雖然從點(diǎn)估計(jì)角度看程度均值估計(jì)有差別，但這種差別在0.05程度上是不顯著的。 0.9751 1(21) 38.11438 8t121323:48.875038.1143 86.9893,10.7607:2038.1143 58.11433, 18.1143:28.875038.1143 9.2393, 66.9893 1343.6171 36.65548.2.2 多重比較問(wèn)題 對(duì)每一組(i, j)， (

22、8.2.1) 給出的區(qū)間的置信程度都是1 ，但對(duì)多個(gè)這樣的區(qū)間，要求其同時(shí)成立，其結(jié)合置信程度就不再是1 了。 譬如，設(shè)E1 , , Ek是k個(gè)隨機(jī)事件，且有 P(Ei)=1，i=1 ,k ，那么其同時(shí)發(fā)生的概率 這闡明它們同時(shí)發(fā)生的概率能夠比1 小很多。 為了使它們同時(shí)發(fā)生的概率不低于1，一個(gè)方法是把每個(gè)事件發(fā)生的概率提高到1 /k. 這將導(dǎo)致每個(gè)置信區(qū)間過(guò)長(zhǎng)，結(jié)合置信區(qū)間的精度很差，普通人們不采用這種方法。 111()1()1()1kkkiiiiiiPEPEP Ek 在方差分析中，假設(shè)經(jīng)過(guò)F檢驗(yàn)回絕原假設(shè)，闡明因子A是顯著的，即r個(gè)程度對(duì)應(yīng)的程度均值不全相等，此時(shí)，我們還需求進(jìn)一步確認(rèn)哪些

23、程度均值間是確有差別的，哪些程度均值間無(wú)顯著差別。 同時(shí)比較恣意兩個(gè)程度均值間有無(wú)明顯差別的問(wèn)題稱為多重比較，多重比較即要以顯著性程度同時(shí)檢驗(yàn)如下r(r1)/2個(gè)假設(shè)： 8.2.2 0:,1,ijijHijr 直觀地看，當(dāng)H0ij成立時(shí)， 不應(yīng)過(guò)大，因此，關(guān)于假設(shè)(8.2.2)的回絕域應(yīng)有如下方式 諸臨界值應(yīng)在8.2.2成立時(shí)由P(W)= 確定。下面分反復(fù)數(shù)相等和不等分別引見(jiàn)臨界值確實(shí)定。 .1|ijijij rWyyc .|ijyy 8.2.3 反復(fù)數(shù)相等場(chǎng)所的T法 在反復(fù)數(shù)相等時(shí)，由對(duì)稱性自然可以要求諸cij相等，記為c. 記 ，那么由給定條件不難有 2/eeSf. () /iiieytt

24、 fm 于是當(dāng) (8.2.2) 成立時(shí)，1= r = ，可推出 其中 ，稱為t化極差統(tǒng)計(jì)量，其分布可由隨機(jī)模擬方法得到。 于是 , 其中q1(r, fe)表示q(r, fe)的1 分位數(shù)，其值在附表8中給出。 ()( ,)/eP WP q r fmc.()()( ,)maxmin/jieijyyq r fmm1( ,)/ecqr fm 反復(fù)數(shù)一樣時(shí)多重比較可總結(jié)如下：對(duì)給定的的顯著性程度 ，查多重比較的分位數(shù)q(r,fe)表，計(jì)算 ，比較諸 與c的大小，假設(shè) 那么以為程度Ai與程度Aj間有顯著差別，反之，那么以為程度Ai與程度Aj間無(wú)明顯差別。這一方法最早由Turkey提出，因此稱為T法。 1

25、( ,)/ecqr fm.|ijyy.|ijyyc 例8.2.2 繼續(xù)例8.1.2，假設(shè)取 =0.05，那么查表知q1-0.05(3, 21)=3.57，而 。所以 ，以為1與2有顯著差別 ，以為1與3無(wú)顯著差別 ，以為2與3有顯著差別 這闡明： 1與3之間無(wú)顯著差別，而它們與2之間都有顯著差別。 36.65543.57 36.6554/846.2659c 1.2.| 48.87546.2659yy1.3.| 2046.2659yy2.3.| 46.87546.2659yy在反復(fù)數(shù)不等時(shí)，假設(shè)假設(shè) (8.2.2) 成立，那么 或 從而可以要求 ，在此要求下可推出.() ()11ijijeijy

26、ytt fmm2.2()(1,)11()ijijeijyyFFfmm11ijijccmm21()(max( /) )ij rijP WPFc 可以證明 ，從而 亦即1max(1,)1ij rijeFF rfr 21(1,)( /)1eFrfcr2111(1)(1,)()ijeijcrFrfmm 例8.2.3 在例8.1.4中，我們指出包裝方式對(duì)食品銷量有明顯的影響，此處r=4, fe =6, ，假設(shè)取 =0.05 ，那么F0.95(3,6)=4.76。留意到m1= m4=2，m2= m3=3，故27.671213243414233 4.76 (1/2 1/3) 7.679.63 4.76 (1

27、/2 1/2) 7.6710.53 4.76 (1/3 1/3) 7.678.5cccccc 由于 這闡明A1 , A2 , A3間無(wú)顯著差別，A1 , A2與A4有顯著差別，但 A4與A3 的差別卻尚未到達(dá)顯著程度。綜合上述，包裝A4銷售量最正確。 1.2.121.3.131.4.142.3.232.4.243.4.34| 2,| 4,| 12| 6,| 14,| 8yycyycyycyycyycyyc 在進(jìn)展方差分析時(shí)要求r個(gè)方差相等，這稱為方差齊性。實(shí)際研討闡明，當(dāng)正態(tài)性假定不滿足時(shí)對(duì)F檢驗(yàn)影響較小,即F檢驗(yàn)對(duì)正態(tài)性的偏離具有一定的穩(wěn)健性，而F檢驗(yàn)對(duì)方差齊性的偏離較為敏感。所以r個(gè)方差的

28、齊性檢驗(yàn)就顯得非常必要。 所謂方差齊性檢驗(yàn)是對(duì)如下一對(duì)假設(shè)作出檢驗(yàn)： 8.3.1 22220121riHvsH：諸不全相等 很多統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出了一些很好的檢驗(yàn)方法，這里引見(jiàn)幾個(gè)最常用的檢驗(yàn)，它們是： Hartley檢驗(yàn)，僅適用于樣本量相等的場(chǎng)所； Bartlett檢驗(yàn)，可用于樣本量相等或不等 的場(chǎng)所，但是每個(gè)樣本量不得低于5； 修正的Bartlett檢驗(yàn)，在樣本量較小或較 大、相等或不等場(chǎng)所均可運(yùn)用。 當(dāng)各程度下實(shí)驗(yàn)反復(fù)次數(shù)相等時(shí)，即m1=m2=mr=m,Hartley提出檢驗(yàn)方差相等的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 8.3.2 這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布無(wú)明顯的表達(dá)式，但在諸方差相等條件下，可經(jīng)過(guò)隨機(jī)模擬方法獲得H分布的

29、分位數(shù)，該分布依賴于程度數(shù)r 和樣本方差的自在度f(wàn)=m1，因此該分布可記為H (r，f)，其分位數(shù)表列于附表10上。 2221222212max,min,rrsssHsss 直觀上看，當(dāng)H0成立，即諸方差相等12 =22=r2時(shí)，H的值應(yīng)接近于1，當(dāng)H的值較大時(shí)，諸方差間的差別就大，H愈大，諸方差間的差別就愈大，這時(shí)應(yīng)回絕 (8.3.1)中的H0。由此可知，對(duì)給定的顯著性程度 ，檢驗(yàn)H0的回絕域?yàn)?W=H H1(r, f ) 8.3.3 其中H1(r, f )為H分布的1 分位數(shù)。 例8.3.1 有四種不同牌號(hào)的鐵銹防護(hù)劑簡(jiǎn)稱防銹劑，現(xiàn)要比較其防銹才干。數(shù)據(jù)見(jiàn)表8.3.1。 這是一個(gè)反復(fù)次數(shù)相

30、等的單因子實(shí)驗(yàn)。我們思索用方差分析方法對(duì)之進(jìn)展比較分析，為此，首先要進(jìn)展方差齊性檢驗(yàn)。 本例中，四個(gè)樣本方差可由表8.3.1中諸Qi求出，即 由此可得統(tǒng)計(jì)量H的值 在 =0.05時(shí)，由附表10查得H0.95(4,9) =6.31，由于H d 8.3.4 Bartlett證明了，檢驗(yàn)的回絕域?yàn)?W=B 1- 2 (r-1) 8.3.8 思索到這里2分布是近似分布，在諸樣本量mi均不小于5時(shí)運(yùn)用上述檢驗(yàn)是適當(dāng)?shù)摹?例8.3.2 為研討各產(chǎn)地的綠茶的葉酸含量能否有顯著差別，特選四個(gè)產(chǎn)地綠茶，其中A1制造了7個(gè)樣品， A2制造了5個(gè)樣品， A3與A4各制造了6個(gè)樣品，共有24個(gè)樣品，按隨機(jī)次序測(cè)試其葉

31、酸含量，測(cè)試結(jié)果如表8.3.3所示。 為能進(jìn)展方差分析，首先要進(jìn)展方差齊性檢驗(yàn)，從表8.3.3中數(shù)據(jù)可求得s12=2.14, s22=2.83, s32=2.41, s42=1.12，再?gòu)谋?.3.4上查得MSe =2.09，由(8.3.6)，可求得 再由(8.3.7)，還可求得Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值 對(duì)給定的顯著性程度 =0.05，查表知0.952 (41) =7.815。由于B7.815，故應(yīng)保管原假設(shè)H0，即可以為諸程度下的方差間無(wú)顯著差別。 11111111.08563(4 1)645520C 120 ln2.096 ln2.144 ln2.835 ln2.41 5 ln1.1

32、20.9701.0856B 針對(duì)樣本量低于5時(shí)不能運(yùn)用Bartlett檢驗(yàn)的缺陷，Box提出修正的Bartlett檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 8.3.9 其中B與C如8.3.7與8.3.6所示，且21()f BCBf ABC 2122211,(1)22/frfrfACCf 在原假設(shè)H0：12 =22=r2成立下，Box還證明了統(tǒng)計(jì)量 的近似分布是F分布F(f1, f2)，對(duì)給定的顯著性程度 ，該檢驗(yàn)的回絕域?yàn)?8.3.10 其中f2的值能夠不是整數(shù)，這時(shí)可經(jīng)過(guò)對(duì)F分布的分位數(shù)表施行內(nèi)插法得到分位數(shù)。 B112(,)WBFff 例8.3.3 對(duì)例8.3.2中的綠茶葉酸含量的數(shù)據(jù)，我們用修正的Bartlett檢驗(yàn)

33、再一次對(duì)等方差性作出檢驗(yàn)。 在例8.3.2中已求得：C=1.0856，B=0.970，還可求得： 對(duì)給定的顯著性程度 =0.05，在F分布的分位數(shù)表上可查得 F0.95(3,682.4)= F0.95(3,)=2.60 由于 2.60，故保管原假設(shè)H0，即以為四個(gè)程度下的方差間無(wú)顯著差別。 B1224 134 1682.4(1.08561)682.4743.92 1.08562/682.4682.4 0.970 1.08560.3223(743.90.970 1.0856)ffCAB 8.4.1 變量間的兩類關(guān)系 十九世紀(jì)，英國(guó)生物學(xué)家兼統(tǒng)計(jì)學(xué)家高爾頓研討發(fā)現(xiàn)： 其中x表示父親身高， y 表示

34、成年兒子的身高單位：英寸，1英寸=2.54厘米。這闡明子代的平均高度有向中心回歸的意思，使得一段時(shí)間內(nèi)人的身高相對(duì)穩(wěn)定。之后回歸分析的思想浸透到了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的其它分支中。 33.730.516yx 回歸分析便是研討變量間相關(guān)關(guān)系的一門學(xué)科。它經(jīng)過(guò)對(duì)客觀事物中變量的大量察看或?qū)嶒?yàn)獲得的數(shù)據(jù)，去尋覓隱藏在數(shù)據(jù)背后的相關(guān)關(guān)系，給出它們的表達(dá)方式回歸函數(shù)的估計(jì)。 變量間的相關(guān)關(guān)系不能用完全確切的函數(shù)方式表示，但在平均意義下有一定的定量關(guān)系表達(dá)式，尋覓這種定量關(guān)系表達(dá)式就是回歸分析的主要義務(wù)。 回歸分析處置的是變量與變量間的關(guān)系。變量間常見(jiàn)的關(guān)系有兩類：確定性關(guān)系與相關(guān)關(guān)系。 8.4.2 一元線性回歸模型

35、 設(shè)y與x間有相關(guān)關(guān)系，稱x為自變量(預(yù)告變量)，y為因變量(呼應(yīng)變量)，在知道x取值后，y有一個(gè)分布p(yx)，我們關(guān)懷的是y的均值E(Yx)： (8.4.1) 這便是y關(guān)于x的實(shí)際回歸函數(shù)條件期望，也就是我們要尋覓的相關(guān)關(guān)系的表達(dá)式。 通常，相關(guān)關(guān)系可用下式表示 y =f (x)+ 其中是隨機(jī)誤差，普通假設(shè) N(0, 2)。 ( )(|)(|)fxE Yxyp yx dy 例8.4.1 合金的強(qiáng)度y (107Pa) 與合金中碳的含量x (%) 有關(guān)。為研討兩個(gè)變量間的關(guān)系。首先是搜集數(shù)據(jù)，我們把搜集到的數(shù)據(jù)記為(xi,yi),i=1,2,n。本例中，我們搜集到12組數(shù)據(jù)，列于表8.4.1中

36、 進(jìn)展回歸分析首先是回歸函數(shù)方式的選擇。當(dāng)只需一個(gè)自變量時(shí)，通常可采用畫散點(diǎn)圖 的方法進(jìn)展選擇。序號(hào)x(%)y (107Pa)序號(hào)x(%)y (107Pa)10.1042.070.1649.020.1143.080.1753.030.1245.090.1850.040.1345.0100.2055.050.1445.0110.2155.060.1547.5120.2360.0 為找出兩個(gè)量間存在的回歸函數(shù)的方式，可以畫一張圖：把每一對(duì)數(shù)(xi,yi)看成直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，在圖上畫出n個(gè)點(diǎn)，稱這張圖為散點(diǎn)圖，見(jiàn)圖8.4.1 0 .1 00 .1 50 .2 04 05 06 0碳含量合 金

37、鋼 強(qiáng) 度圖8 .4 .1 合金鋼強(qiáng)度及碳含量的散點(diǎn)圖 從散點(diǎn)圖我們發(fā)現(xiàn)12個(gè)點(diǎn)根本在一條直線附近，這闡明兩個(gè)變量之間有一個(gè)線性相關(guān)關(guān)系，這個(gè)相關(guān)關(guān)系可以表示為 y =0+ 1x+ (8.4.2) 這便是y關(guān)于x的一元線性回歸的數(shù)據(jù)構(gòu)造式。通常假定 E() =0, Var() = 2 (8.4.3) 在對(duì)未知參數(shù)作區(qū)間估計(jì)或假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，還需求假定誤差服從正態(tài)分布，即 y N(0+ 1x, 2 ) (8.4.4) 顯然，假定(8.4.4) 比 (8.4.3) 要強(qiáng)。 由于 0, 1均未知，需求我們從搜集到的數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,n，出發(fā)進(jìn)展估計(jì)。在搜集數(shù)據(jù)時(shí)，我們普通要求察看獨(dú)立地進(jìn)展

38、， 即假定y1, y2, yn,相互獨(dú)立。綜合上述諸項(xiàng)假定，我們可以給出最簡(jiǎn)單、常用的一元線性回歸的數(shù)學(xué)模型： (8.4.5) 0121,2, (0,) iiiiyxinN，各 獨(dú)立同分布，其分布為 由數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,n，可以獲得0, 1的估計(jì) ，稱 (8.4.6) 為y關(guān)于x的閱歷回歸函數(shù)，簡(jiǎn)稱為回歸方程，其圖形稱為回歸直線。給定x=x0后， 稱 為回歸值在不同場(chǎng)所也稱其為擬合值、預(yù)測(cè)值。 01,01 yx0010 yx 普通采用最小二乘方法估計(jì)模型(8.4.5)中的0, 1 ：令： 應(yīng)該滿足 稱這樣得到的 稱為0, 1的最小二乘估計(jì)，記為L(zhǎng)SE。 01,01,201011(

39、,)()niiiQyx10101,(,)min(,)QQ 最小二乘估計(jì)可以經(jīng)過(guò)求偏導(dǎo)數(shù)并命其為0而得到： (8.4.7) 這組方程稱為正規(guī)方程組，經(jīng)過(guò)整理，可得 (8.4.8) 011001112()02()0niiiniiiiQyxQyx x 01201iiinnxnynxxx y解(8.4.8)可得 8.4.9這就是參數(shù)的最小二乘估計(jì)，其中 101/xyxxllyx222222222211,1()()1()1()iixyiiiiiiiixxiiiiyyiiiixxyynnlxxyyx ynx yx yxynlxxxnxxxnlyyynyyyn xi=1.90n=12yi=590.5xi2=

40、0.3194xi yi =95.9250yi2=29392.75lxx=0.0186lxy=2.4292lyy=335.2292由此給出回歸方程為: 28.5340 130.6022yx例8.4.2 運(yùn)用例8.4.1種合金鋼強(qiáng)度和碳含量 數(shù)據(jù)，我們可求得回歸方程，見(jiàn)下表. 0.1583x 49.2083y 20.3008nx 93.4958n x y229057.5208ny 1/130.6022xyxxll0128.5340yx 定理8.4.1 在模型(8.4.5)下，有 1 2 3對(duì)給定的x0，22200111,xxxxxNNnll，201Covxxxl ，220001 001 0()1x

41、xxxyxNxnl，關(guān)于最小二乘估計(jì)的一些性質(zhì)羅列在如下定理之中 定理8.4.1 闡明 分別是0, 1的無(wú)偏估計(jì)； 01, 是E(y0)=0+ 1 x0的無(wú)偏估計(jì)； 0 y 除 外， 與 是相關(guān)的； 0 x10 要提高 的估計(jì)精度即降低它們的方 差就要求n大，lxx大即要求x1, x2, xn較 分散。 01, 在運(yùn)用回歸方程作進(jìn)一步的分析以前，首先應(yīng)對(duì)回歸方程能否有意義進(jìn)展判別。 假設(shè)1=0，那么不論x如何變化，E(y)不隨x的變化作線性變化，那么這時(shí)求得的一元線性回歸方程就沒(méi)有意義，稱回歸方程不顯著。假設(shè)10，E(y)隨x的變化作線性變化，稱回歸方程是顯著的。 綜上，對(duì)回歸方程能否有意義作

42、判別就是要作如下的顯著性檢驗(yàn)：H0：1=0 vs H1： 10 回絕H0表示回歸方程是顯著的。一、F 檢驗(yàn) 采用方差分析的思想，我們從數(shù)據(jù)出發(fā)研討各yi不同的緣由。 數(shù)據(jù)總的動(dòng)搖用總偏向平方和 表示。引起各yi不同的緣由主要有兩個(gè)要素：其一是H0能夠不真，E(y)隨x的變化而變化，從而在每一個(gè)x的觀測(cè)值處的回歸值不同，其動(dòng)搖用回歸平方和 表示；其二是其它一切要素，包括隨機(jī)誤差、x對(duì)E(y)的非線性影響等，這可用殘差平方和 表示。 且有如下平方和分解式： ST= SR + Se (8.4.13) 在一元線性回歸中有三種等價(jià)的檢驗(yàn)方法，下面分別加以引見(jiàn)。2()TiyySyyl2()RiSyy2()

43、eiiSyy定理8.4.2 設(shè)yi=i+ 1 xi + i，其中i n相互獨(dú)立， 且Ei=0，Var(yi)= 2，i=1,n，沿用上面的記號(hào)，有 (8.4.14) (8.4.15) 這闡明 是 2的無(wú)偏估計(jì)。 關(guān)于SR 和 Se所含有的成分可由如下定理闡明。 221()RxxE Sl2()(2)eE Sn2/(2)eSn定理8.4.3 設(shè) y1, y2, yn 相互獨(dú)立，且 yiN(i + 1 xi , 2)， i=1, , n， 那么在上述記號(hào)下，有 1Se / 2 2(n2)， 2假設(shè)H0成立，那么有SR / 2 2(1) 3 SR與Se ， 獨(dú)立或 與Se ， 獨(dú)立。 yy1 好像方差

44、分析那樣，我們可以思索采用F比作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量： 在1 =0時(shí)，F(xiàn)F(1, n2)，其中fR =1, fe =n2. 對(duì)于給定的顯著性程度，回絕域?yàn)?F F1-(1, n2) 整個(gè)檢驗(yàn)也可列成一張方差分析表。 /(2)ReSFSn來(lái)源平方和自在度均方和F比回歸SR =317.2589fA=1MSA=317.2589176.55殘差Se =17.9703fe=10MSe= 1.79703總和ST =335.2292fT=11例8.4.3 在合金鋼強(qiáng)度的例8.4.2中，我們已求出了回歸方程，這里我們思索關(guān)于回歸方程的顯著性檢驗(yàn)。經(jīng)計(jì)算有 假設(shè)取=0.01，那么F0.99(1,10) =103.169

45、8，因此，在顯著性程度0.01下回歸方程是顯著的。 130.602213.28721.7970 /0.0186t 三、相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn) 一元線性回歸方程是反映兩個(gè)隨機(jī)變量x與y間的線性相關(guān)關(guān)系，它的顯著性檢驗(yàn)還可經(jīng)過(guò)對(duì)二維總體相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)進(jìn)展。它的一對(duì)假設(shè) 是 H 0 ： = 0 v s H 1 ： 0 (8.4.18) 所用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為樣本相關(guān)系數(shù) (8.4.19) 回絕域?yàn)閃=rc，其中臨界值c應(yīng)是H0: =0成立下r的分布的1 分位數(shù)，故記為c=r1- (n2). 22()()()()xyiixx yyiilxxyyrl lxxyy 由樣本相關(guān)系數(shù)的定義可以得到 r與F統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系

46、這闡明， r是F的嚴(yán)厲單調(diào)增函數(shù)，故可以從F分布的1 分位數(shù) F1-(1, n2) 得到 r 的1 分位數(shù)為2(2)FrFn111(1,2)(2)(1,2) 1FncrnFn 譬如，對(duì) =0.01，n=12， F0.99(1,10)=10.04 ，于是 。 為實(shí)踐運(yùn)用方便，人們已對(duì)r1- (n-2)編制了專門的表，見(jiàn)附表9。 以例8.4.2中數(shù)據(jù)為例，可以計(jì)算得到 假設(shè)取 =0.01，查附表9知 r0.99(10)=0.708, 由于0.97280.708，因此，在顯著性程度0.01下回歸方程是顯著的。 0.9910.04(10)0.70810.041r2.42920.97280.018633

47、5.2292r 8.4.5 估計(jì)與預(yù)測(cè) 當(dāng)回歸方程經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)是顯著的后，可用來(lái)做估計(jì)和預(yù)測(cè)。這是二個(gè)不同的問(wèn)題： 1當(dāng)x=x0時(shí)，尋求均值E(y0)=0+ 1 x0的點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間 估計(jì)留意這里E(y0)是常量是估計(jì)問(wèn)題； 2當(dāng)x=x0時(shí)，y0的察看值在什么范圍內(nèi)？由于y0是隨機(jī) 變量，為此只能求一個(gè)區(qū)間，使y0落在這一區(qū)間的概 率為1- ，即要求，使 稱區(qū)間 為y0的概率為1- 的預(yù)測(cè)區(qū)間， 這是預(yù)測(cè)問(wèn)題。 00()1P yy 00,yy一、 E(y0)的估計(jì) 在x=x0時(shí)，其對(duì)應(yīng)的因變量y0是一個(gè)隨機(jī)變量，有一個(gè)分布，我們經(jīng)常需求對(duì)該分布的均值給出估計(jì)。由于E(y0)=0+ 1 x0，一個(gè)直觀

48、的估計(jì)應(yīng)為 我們習(xí)慣上將上述估計(jì)記為 留意這里 表示的是E(y0)的估計(jì)，而不表示y0的估計(jì)，由于y0是隨機(jī)變量，它是沒(méi)有估計(jì)的。由于 分別是0, 1的無(wú)偏估計(jì)，因此， 也是E(y0)的無(wú)偏估計(jì)。 0 y0 y0 y01,0010()E yx 為得到E(y0)的區(qū)間估計(jì)，我們需求知道 的分布。由定理8.4.1， 又由定理8.4.3知， Se / 2 2(n-2)，且與 相互獨(dú)立，故010()yyxx2200010010()1xxxxyxNxnl，200000202()1()/ (2)()1/(2)xxexxxxyEynlyEyt nSxxnnl0 y于是E(y0)的1 的置信區(qū)間CI是 8.4

49、.20其中 8.4.212001/2()1(2)xxxxtnnl0000,yy 二、 y0的預(yù)測(cè)區(qū)間 適用中往往更關(guān)懷x=x0時(shí)對(duì)應(yīng)的因變量y0的取值范圍。 y0的最能夠取值為 ，于是，我們可以運(yùn)用以 為中心的一個(gè)區(qū)間 作為y0的取值范圍。經(jīng)推導(dǎo)， 的表達(dá)式為 (8.4.23 上述預(yù)測(cè)區(qū)間PI與E(y0)的置信區(qū)間的差別就在于根號(hào)里多個(gè)1。 0 y0 y00(,)yy2001/2()1()(2)1xxxxxtnnl 預(yù)測(cè)區(qū)間的長(zhǎng)度2與樣本量n、x的偏向平方和lxx、 x0 到 的間隔 有關(guān)。 當(dāng) 時(shí)，預(yù)測(cè)精度能夠變得很差，在這種情況下的預(yù)測(cè)稱作外推，需求特別小心。另外，假設(shè)x1, x2, xn

50、較為集中時(shí)，那么lxx就較小，也會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)精度的降低。因此，在搜集數(shù)據(jù)時(shí)要使x1, x2, xn盡量分散，這對(duì)提高精度有利。 當(dāng)n較大時(shí)如n 30)， t分布可以用正態(tài)分布近似，進(jìn)一步，假設(shè)x0與 相差不大時(shí)， 可以近似取為 。 0|xxx0(1)( ),nxxxx1/2u 例8.4.4 在例8.4.2中，假設(shè)x0=0.16，那么得預(yù)測(cè)值為 假設(shè)取 =0.05，那么t0.975(10)=2.2281， 又 ，運(yùn)用(8.4.21)， 故x0=0.16對(duì)應(yīng)因變量y0的均值E(y0)的0.95置信區(qū)間為(49.4328-1.0480, 49.4328+1.0480) =(48.3488, 50.51

51、68)028.5364 130.6022 0.1649.4328y 17.9703/(122)1.3405201(0.160.19)1.3405 2.22811.0840120.0186 運(yùn)用(8.4.23)， 從而y0的概率為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間為 E(y0)的0.95置信區(qū)間比y0的概率為0.95的預(yù)測(cè)區(qū)間窄很多，這是由于隨機(jī)變量的均值相對(duì)于隨機(jī)變量本身而言要更容易估計(jì)出來(lái)。 21(0.160.19)1.3405 2.228113.1774120.0186(49.4328 3.1774,49.43283.1774)(46.2554,52.6102) 例 8.5.1 煉鋼廠出鋼水時(shí)用的鋼包，在運(yùn)用過(guò)程中由于鋼水及爐渣對(duì)耐火資料的浸蝕，其容積不斷增大。如今鋼包的容積用盛滿鋼水時(shí)的分量y (kg)表示，相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)次數(shù)用x表示。數(shù)據(jù)見(jiàn)表8.5.1，要找出y 與x的定量關(guān)系表達(dá)式。 序號(hào)xy序號(hào)xy12106.42811110.5923108.20914110.603