兩個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)相遇問題的分析方法

1、兩個(gè)豎直上拋運(yùn)動(dòng)相遇問題的分析方法豎直上拋運(yùn)動(dòng)作為勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，既可看成全過程的勻減速運(yùn)動(dòng)，又可 以分為上升過程的勻減速運(yùn)動(dòng)和下降過程的自由落體運(yùn)動(dòng)。對(duì)于兩個(gè)以不同的初速度在同 一直線上作豎直上拋運(yùn)動(dòng)的物體的相遇問題，其實(shí)質(zhì)就是一個(gè)追趕問題，相遇的位置有可 能出現(xiàn)在上升階段或下降階段，她取決于兩個(gè)物體拋出時(shí)的初速度大小、兩個(gè)物體拋出點(diǎn) 的高度差及拋出的時(shí)間間隔，如何分析此類問題呢？下面筆者就以一道例題談一談她的一 些分析方法。例題：將小球A以初速度Va=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時(shí)間At后，又以初速度VB=30m/s將小球B從同一點(diǎn)豎直向上拋出，為了使兩個(gè)小球能在空中相遇，

2、試分析At應(yīng)滿足的條件。解析：由于是在同一點(diǎn)拋出且 Va>Vb,故相遇的位置一定是在 A球下降階段，B球 有可能是在下降或上升階段，其拋出的時(shí)間間隔就由這兩過程決定。方法一：利用空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分析要使兩小球在空中相遇，應(yīng)滿足的條件一定是介于某一范圍內(nèi)，因此，只要求出這當(dāng)小球B拋出后處于上升階段時(shí)與 為小球A剛要落回拋出點(diǎn)的瞬間將小球個(gè)范圍的最大值和最小值就可以了。A球相遇，經(jīng)過的時(shí)間間隔較大，故At勺最大值B拋出。而小球 A在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：2x4016-即At勺最大值為 Amax=8s。當(dāng)小球B拋出后處于下降階段時(shí)與A球相遇，經(jīng)過的時(shí)間間隔較小，故啲最小值2x30為A、B兩小球同時(shí)落

3、地，先后拋出的時(shí)間間隔。而小球 B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：10則 At勺最小值為 A min=tA-tB=2s。故要使A、B兩小球在空中相遇， 應(yīng)滿足的條件為 2sv 匕8s。方法二：利用位移公式分析A、B兩小球在空中相遇，不管其是在上升還是下降階段相遇，相遇時(shí)的位移必相等。 設(shè)小球B拋出后經(jīng)時(shí)間t與小球A相遇，則小球 A拋出后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t+ ）,由位移 公式可得1 了1 丁40（t+At）-g（t+At）a = 30t-gt22 2整理后可得，相遇時(shí)小球 B所經(jīng)過時(shí)間為：t （8 At） At_jj.i _（ 1）考慮到A、B小球在空中相遇，則 Ov t v 6s。（8 At） At由（1）

4、式可得： 二1 > 0（2）8 At） At二1 v 6（3）解（2）式得：1v t 8解（3）式得：>2,或6 （不合題意）綜合上述可得，要使 A、B兩小球在空中相遇， 應(yīng)滿足的條件為 2sv Av 8s。 方法三：巧選參考系分析小球B經(jīng)再拋出后，以小球 A為參考系，小球 B作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)速度為=30 ( 40 g A ) =g A t- 10則小球B與小球A相遇的時(shí)間為S = 40At-gAt3而此時(shí)小球A的位移為1 _1 3羅At _$_山）批V gAt-10 - 2At-2同樣，考慮到 A、B小球在空中相遇，則0 v tv 6s,亦可以得到上述的(2)( 3)兩式，

5、亦可求出要使 A、B兩小球在空中相遇,應(yīng)滿足的條件為 2sv t 8s。方法四：利用圖象分析1 利用位移圖象分析由位移公式可得A、B兩小球的位移隨時(shí)間的關(guān)系為SA=40t 5t2SB=30t 5t2可見，它們的圖象均為拋物線，在位移-時(shí)間圖象中分別作出它們的圖象，如圖1所示的圖線A和B。經(jīng)過不同時(shí)間 At后再拋出小球B，只要將圖線 B逐漸向右移動(dòng)，要使 A、B 兩小球在空中相遇，必須使A、B兩圖線存在交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相遇時(shí)的時(shí)刻，縱坐標(biāo)為相遇時(shí)的位移。由圖 1可知，當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間間隔為 2s時(shí)，與圖線A開始有交點(diǎn)，如 圖1中的Bi位置；當(dāng)移動(dòng)的時(shí)間間隔為8s時(shí)，與圖線A開始沒有交點(diǎn)，如圖中

6、1的B3位置。由圖可知，當(dāng) 2sv At 5s時(shí)，其相遇情況是 A、B兩球都處于下降階段，當(dāng) 5sv At v 8s時(shí)，其相遇情況是 A球處于下降階段 B球處于上升階段。 因此可得A、B兩小球在空 中相遇，應(yīng)滿足的條件為：2sv A v 8s。2 利用速度圖象分析由速度公式可得，A、B兩小球的速度隨時(shí)間的變化關(guān)系為:VtA=40 10t,VtB=30 - 10t在速度一時(shí)間圖象中分別作出它們的圖象，如圖 2所示的圖線A和B。要使A、B兩小球 在空中相遇，必須使小球 B拋出后，在小球 A落地之前，它的位移要大于零。而位移為速 度圖線與坐標(biāo)軸所圍成的面積，由如圖 2可知，將B的速度圖線逐漸向右移動(dòng)

7、，移動(dòng)的時(shí) 間間隔在2s以內(nèi)，小球A的位移總是大于小球 B的位移，且小球 B總先于小球 A落地， A、B兩小球不可能相遇，當(dāng)時(shí)間間隔等于2s時(shí)，如圖中Bi位置，兩球同時(shí)落地。繼續(xù)將B的速度圖線向右移動(dòng)，在小球 A落地之前的時(shí)間內(nèi)，如圖中B2、B3、B4、B5位置，小球B的位移總是大于零，即說明了A、B兩小球在空中相遇了。由圖可知，當(dāng)2s< A t 5s時(shí)，其相遇情況是 A、B兩球都處于下降階段，當(dāng) 5s< At 8s時(shí)，其相遇情況是 A球處于 下降階段B球處于上升階段。故要使 A、B兩小球在空中相遇， 應(yīng)滿足的條件為：2s< A < 8s。點(diǎn)評(píng)：由以上四種分析方法可以看出，采用圖象法簡(jiǎn)單、直觀、易懂，對(duì)于A和B兩小球是在上升階段還是下降階段相遇非常清楚；方法一雖然也簡(jiǎn)單，但不易弄懂，要分析 出A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段，若能結(jié)合圖象再加以分析，就非常清楚了；方法二和方法三不需要分析出 A和B兩小球相遇的位置是上升階段還是下降階段， 邏輯性很強(qiáng)，但要解不等式，相對(duì)來說要復(fù)雜一些。課堂練習(xí)將小球A以初速度Va=40 m/s豎直向上拋出，經(jīng)過一段時(shí)間 后，又以初速度 VB=30m/s 將小球B從同一點(diǎn)豎直向上