2011真題及解析

1、k 3,c4 .2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題已知f x在x 0處可導，且f 00，則2x f x limx 02f x33=()x(1)已知當x0時，f x3sinx sin3x與cxk是等價無窮小，則()一、選擇題(18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有 個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.)(C)k 3,c4 .(D)(A)k 1,c 4 .(B) k 1,c4.(A)2f 0 .(B)f0 .(C)f 0(D) 0函數 f (x) ln (x1)(x2)(x3)的駐點個數為()(A) 0.(B) 1(C) 2(D) 3微

2、分方程y2yx eX/e (0)的特解形式為()(A)a(e x e %).(B)ax(e xXe )(C)x(ae x be x).(D)2/x (aex bex).設函數f(x), g(x)均有二階連續(xù)導數，滿足f(0)0, g(0)0,且f(0) g(0) 0,則函數z f (x) g( y)在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是()*TA為A的伴隨矩陣，若(1,0,1,0)是方程組(A)f (0)0,g (0)0.(B)f (0)0, g (0)0.(C)f (0)0, g (0)0.(D)f (0)0, g (0)0.(6)設14 In sin xdx,J4 In cotxdxK

3、4 In cosx dx，貝VI , J, K的大000小關系是()(A)I JK .(B)IKJ.(C)JI K .(D)K J I .(7)設A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B，再交換B的第2行與第31001 00行得單位矩陣，記P 110F20 01，則A ()0010 10(A)PP2 .(B)P1(C)P2P(D)P2P I(8)設 A(1, 2, 3, 4)是4階矩陣,(A)1,3 .(B)1, 2.(C)1 , 2,3 .(D)、填空題(9-14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙X1 21(9)lim(-x 02)x.(10)微分方程y y eXcosx滿足

4、條件 y(0)0的解為(11)曲線yXtan tdt(0 x )的弧長s04Xce , x 0,(12)設函數f (X)J-J0,則xf (x)dx0,x0,(13)設平面區(qū)域D由直線yX,圓 x22y 2y及y軸圍成:Ax 0的一個基礎解系，則 A*x 0的基礎解系可為()指定位置上.),則二重積分2,3,4 .xydD(14)二次型 f (x-i, x2, x3) x： 3x22X32x1x22X1X32X2X3，則f的正慣性指數為.三、解答題(1523小題，共94 分.請將解答寫在答題紙指定位置上解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)已知函數F(x)X0叩2t

5、 )dt(16)(本題滿分aX11分)，設limXF(x)lim F (x)0,試求a的取值范圍.x 0設函數y y(x)由參數方程y y(x)的凹凸區(qū)間及拐點.(17)(本題滿分9分)設函數zh3331313確定，求y y(x)的極值和曲線f (xy, yg(x)，其中函數f具有二階連續(xù)偏導數，函數g(x)可導且在X 1處取得極值g(1)1，求(18)( 本題滿分10分)設函數y(x)具有二階導數，且曲線丨:y y(x)與直線y x相切于原點，記 為曲線I 在點(x, y)處切線的傾角，若 dy ,求y(x)的表達式.dx dx(19) (本題滿分10分)1 11(I) 證明：對任意的正整數

6、n,都有 In(1丄)-成立.n 1n nm11(II) 設an 1 L Inn(n 1,2,L )，證明數列 an 收斂.2 n(20) (本題滿分11分)一容器的內側是由圖中曲線繞y軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由 2 2 1 2 2 1x y 2y( y )與x y 1(y)連接而成的.2 2(I) 求容器的容積；(II) 若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？(長度單位：m , 重力加速度為gm / s2，水的密度為103kg/m3).2 2x y 2yy2 1(21) (本題滿分11分)已知函數f (x, y)具有二階連續(xù)偏導數，且f(1,y)0 , f (x,1)

7、0 , f(x,y)dxdy a,D其中 D (x,y)|0 x 1,0 y 1 ,計算二重積分 Ixyfxy(x, y)dxdy.D(22) (本題滿分11分)設向量組 1(1,0,1)T, 2 (0,1,1)T, 3 (1,3,5)T，不能由向量組 1(1,1,1$ ,2(1,2,3),3(3, 4,a)線性表示.(I) 求a的值；(II) 將1,2 ,3由1,2 ,3線性表示.(23) (本題滿分11分)1A為三階實對稱矩陣，A的秩為2，即r A 2，且ao1(I) 求A的特征值與特征向量;(II) 求矩陣A .2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題答案一、選擇題(18小題，每小

8、題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有 個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙.指定位置上.)(1)【答案】(C).【解析】因為limx 03sin x sin 3xkcxlim沁x 0sin xcos2xcosxsin 2xkcxsinx 3 limx 0cos2x2cos2 xkcx3 一 moH Xcos2x 2cos xcxk3 2cos x 1 2cos x limx 0k 1cxxm04cos2 xk 1cx4si n2x0。：廠所以c 4,k3，故答案選(C).(2)【答案】(B).2fx32x f xx2fx2f 0 2f x32f 0limx 0x3xm

9、f 0 2f 0 f 0故答案選(B).【答案】(C).【解析】f (x) In x 1 In x 2 In x 3f(x)3x非齊次方程y 12x 11(x 1)(x 2)(x 3)令 f (x)0，得 x1,26-，故f (x)有兩個不同的駐點.3(4)【答案】(C).【解析】微分方程對應的齊次方程的特征方程為2 2r 0,解得特征根r.2y e 所以非齊次方程y有特解yxe 有特解y2故由微分方程解的結構可知非齊次方程y2xxy e e 可設特解y x(aex be x).(5)【答案】(A).【解析】由題意有 f (x)g(y) , f (x)g (y)xy所以，zf (0)g(0)0

10、,f(0)g(0)0，即0,0點是可能的極值點x0,0y0,02-22又因為2 f (x)g(y),-z f(x)g (y)，2g (y)f(x)，xx yy22所以，A2 |(0,0) f (0)g(0),B |(0,0)f (0) g(0)0 ,xx y根據題意由2 1(0,0) yf (0) g (0)，0,0為極小值點，可得 AC B2A C 0,且 Af (0) g(0)0 ,所以有C f(0) g (0)0.由題意 f(0)0,g(0)0，所以 f (0)0,g (0)0，故選(A).(6) 【答案】(B).【解析】因為0 x 時，0 sinx cosx 1 cotx,4又因In

11、x是單調遞增的函數，所以In si nx In cos x In cot x .故正確答案為(B).(7) 【答案】(D).【解析】由于將 A的第2列加到第1列得矩陣B，故100a110B ,001即 AR B ,A BF1 1.由于交換B的第2行和第3行得單位矩陣，故1 0 00 0 1B E ,0 1 0即F2BE,故 B P21P2 因此，A1P2R ，故選(D)(8) 【答案】(D).【解析】由于(1,0,110)T是方程組 Ax 0的一個基礎解系，所以 A(1,0,1,0)t 0，且 r(A) 4 13,即 130，且A0.由此可得 A*A |A|EO,即A ( 1 ,2,3,4)O

12、,這說明1 ,2 ,3,4 是 A x 0 的解.由于r(A)3,130 ,所以2,3,4線性無關.又由于r(A)3,所以r(A*)1，因此A*x0的基礎解系中含有413個線性無關的解向量而 2,3,4線性無關，且為 A*x 0的解，所以 2, 3, 4可作為A*x 0的基礎解系，故選(D).二、填空題(914小題，每小題4分，共24分請將答案寫在答題紙.指定位置上.)(9) 【答案】.2 .【解析】原式=e1 2x 1 叫丁 1)xlimex 0,x2“ 12xlim2x ln2ex 0 2(10)【答案】y exsinx .【解析】由通解公式得dx(xcosx edxdx C)x( cos

13、xdx C)e x(sinx C).由于 y(0)0,故 C =0 .所以 y e xsin x .(11) 【解析】選取x為參數，則弧微元ds 、_1 y 2dx . 1 tan2 xdx secxdx 所以 s o4 secxdx In secx tanxf ln(1 72) 146sin6(12) 【答案】一.【解析】原式x0xxex e0dxe0xde xXC1Xx0ee00xdxlimx11101limxlim xexex e(13)【答案】7122si n2sin小【解析】原式2dr cos r sinrdr2 r cos sin dr3dr004422 sincos116si n

14、4d2 4cos sin5d4 2 sin5 dsin4444674區(qū)(14)【答案】2.【解析】方法1: f的正慣性指數為所對應矩陣的特征值中正的個數.111二次型f對應矩陣為A1311111 1 100 01311311321 1 11 1 11 1 2故 10, 21, 3方法2:y1令y2X2,y3X3,4 因此f的正慣性指數為2.f的正慣性指數為標準形中正的平方項個數.Xi,X2,X32X13x22X32X22X1X32X2X3222X2X32小X1X2X3X2X3 3x22X1X2X32X2222X32X2X3X2X3,則f2y1c22y2，故f的正慣性指數為2.(1523小題,字

15、說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分三、解答題10分)94分.請將解答寫在答題紙指定位置匕解答應寫出文【解析】如果a0時,limXX0ln(1t2)dtlimXX0皿2t )dt顯然與已知矛盾，alim -X 0x 2ln(1 t2)dtlimx 0ln(1x2)所以3a 1ax3.limx 02Xaxlimx 0又因為limXX20ln(1 t2)dtlimXln(1 x2)a 1axlimX2x1 x2a(a 1)xa 2a(a 1嚴 13 aX_X2所以3(16)(【解析】2，即 a 1 ,本題滿分11分)dy 因為y (x) 血dxdt綜合得t2 1t2 1y (x)占1dt2

16、t(t2 1) (t2 1) 2t令y(x)0得t1時，xdxdt(t21)214t廠(t2 1)31，此時所以所以1為極小值.31為極大值.(x)0 得 t0 ;當t0時,10時，x ，此時3所以曲線的凸區(qū)間為，凹區(qū)間為 1,31 1，拐點為(一,-).3 3(17)(本題滿分9分)【解析】z f xy, yg(x)Zf1 xy, yg(x)xy f2 xy, yg(x)yg (x)f1 xy,yg(x)x yy fn(xy, yg(x)x f12(xy, yg(x)g(x)g (x) f2 xy,yg(x) yg (x) fxy, yg(x) x f22【xy, yg(x)g(x).f1(

17、1,1) f11(1,1)切(1,1).因為g(x)在x 1可導，且為極值 所以g (1)0,則【解析】由題意可知當x0時，y0,y(0)1，由導數的幾何意義得 y tan即arctan y，由題意darctan ydy口口y y，即卩2 y .dxdx1y令 y p，y p，則Ppdpdx ,即.2 P31 pp p吐|x1dxdy y 1 (18)(本題滿分10分)dpPp dx,In|p|如(P2 1)2x c1，即1ce 2x 11，代入得c 2,所以 y12e2x則 y(x)y(0)x dtxetdtt(e2)2tarcsinl |0x .e arcsin又因為y(0)0,所以y(x

18、)邁x arcs in e 2(19)(本題滿分10分)【解析】(I )設f x In 1顯然f (x)在0,1n上滿足拉格朗日的條件,所以結論得證.0,1 時,n(II )設an先證數列anan 1anIn 1一 In1 nIn亦即:即:In單調遞減.利用(I )的結論可以得到InInIn(1InInIn1-)，n所以In0得到anan，即數列an單調遞減.an n1 lnnk 1 kn1n k 1In1 -lnk 1kk 1kn An1anln nln 1k 1 kk 1再證數列 an有下界.nk 1ln11 kln n ,234,n 1lnLln n 1 ,123n1lnnlnn 1ln

19、 n 0 k得到數列 an有下界利用單調遞減數列且有下界得到an收斂.（20）（ 本題滿分11分）【解析】（I）容器的容積即旋轉體體積分為兩部分VVi V21 2y y2 dy212 1 y2 dy（11） 所做的功為dw g(2y)(1 y2)dyg(2y)(2y y2)dy1w g (2 y)(1y2)dy2 21 (2y)(2 y y )dy2 31(y2y212y32y22y27 1038 g 3375g.(21)(本題滿分11分)【解析】因為 f(x,1)0 , f (1,y)0,所以 fx(x,1)0 .11 11I 0 xdx 0 yfxy(x, y)dy xdx ydfx(x, y)1 11 1 10xdxyfxx, y b0fx x, y dy 0 xdxfx(x,1)0 fx(x,y)dy1 1 1 1 1 1 10xdx 0 fx(x,y)dy0dy 0xfx(x, y)dx0dyxf(x,y)|。f(x,y)dx1 10dy f(1,y)0 f (x,y)dx f(x, y)dxdy a.D(22)(本題滿分11分)【解析】(I)由于1, 2,3不能由1,2 ,3線性表示，對（1 , 2 ,3,1,2 ,3 ）進行初等行變換：113 101(1