2012-2018全國(guó)卷圓錐曲線

1、2012-2018全國(guó)卷圓錐曲線解答題(理科)1. (2012年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題設(shè)拋物線C:x2 2py(p 0)的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn) 線為I ， A C 以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交I于B, D兩點(diǎn).I假如 BFD 90 , ABD的面積為4®，求p的值與圓F的方程.U假如A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn), 求坐標(biāo)原點(diǎn)到m , n距離的比值.2. (2013全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題圓M:(x 1)2 y21，圓N :(x 1)2 y29，動(dòng)圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C .(I )求C的方程；(n)l是與圓

2、P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)， 求 | AB|.2 23. (2014年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第20題點(diǎn)A(0, 2)，橢圓E :務(wù) 芯 1(a b 0)的 a b離心率為子，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為年，。為坐標(biāo)原點(diǎn).U設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線丨與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求I的方程.24. (2015年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 與直線4y kx a(a 0)交于M , N兩點(diǎn).(I )當(dāng)k 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(II) y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有 OPM OP

3、N ?說(shuō)明理由.5. (2016年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題)(本小題總分為12分)設(shè)圓xx26. (2017年全國(guó)高考I卷理科第20題)(本小題總分為12分)橢圓C ：二a y2 2x 15 0的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E .(I)證明EA |EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;2 y b2=1 a>b>0，四點(diǎn)(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G，直線l交G于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與 l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的 取值X圍.P1 1,1，P2 0,1，習(xí)"I 1，譽(yù)中恰有三點(diǎn)

4、在橢圓C 上 .1求c的方程；2設(shè)直線I不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn)。假如直線 P2A與直線P2B的斜率的和為-,證明:I過(guò)定點(diǎn).27. （2018年全國(guó)高考I卷理科第19題）（本小題總分為12分）設(shè)橢圓c：今y2 1的右焦點(diǎn)為F , 過(guò)F的直線I與C交于A , B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為2 , 0 .當(dāng)I與x軸垂直時(shí)，求直線 AM的方程;設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：/ OMA / OMB .2012-2018全國(guó)卷圓錐曲線解答題（參考答案）1. （2012年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題設(shè)拋物線C:x2 2py（p 0）的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn) 線為I , A C 以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交I于B

5、, D兩點(diǎn).I假如 BFD 90 , ABD的面積為4 2，求p的值與圓F的方程.U假如A,B,F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn), 求坐標(biāo)原點(diǎn)到m , n距離的比值.【解析】(I )由對(duì)稱性知 BFD是等腰直角三角形，斜邊|BD|2p ,點(diǎn)A到準(zhǔn)線丨的距離d |FA| |FB| ,2p ,1由 S ABD 2 |BD|圓F的方程為X2(y 1)2 8.U由對(duì)稱性設(shè)A(x0 ,o)，如此 f(o,E).2由點(diǎn)A, B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得B( x0,2p詡，從而p2x2p所以3pp因此 A( . 3 p,蘭)，直線 m : y -22 x2V3p3p-3y3p2又 x2 2p

6、y1 2肓，求導(dǎo)得y'_p_.3,從而切點(diǎn)又直線n : y3(X，即x230 .3p故坐標(biāo)原點(diǎn)到直線m,n距離的比值為一空 3 . p23【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等根底知識(shí)，涉與到簡(jiǎn)單的面積和點(diǎn)到直線的距離等根本計(jì)算問(wèn)題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力.2. (2013全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第 20題圓M:(x 1)2 y2 1，圓N : (x 1)2 y2 9，動(dòng) 圓P與M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C .(I )求C的方程;(II )l是與圓P,圓M都相切的一條直線，丨與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí), 求 | AB|.【解析】由得圓M的圓心為

7、M( 1,0)，半徑r 1，圓N的圓心為N(1,0)，半徑2 3 .設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x,y)，半徑為R .(I )因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N內(nèi)切，所以 |PM| | PN | (R rj (D R) A D 4，且 4 |MN |.由橢圓的定義可知，曲線C是以M,N為左，右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，2 2其方程為-1(x2).43(I )對(duì)于曲線C上任意一點(diǎn)P(x, y)，由于|PM | |PN| 2R 2 2，所以R 2 .當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R 2 .當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，其方程為(x 2)2 y2 4 .當(dāng)I的傾斜角為90時(shí)，I與y軸重合，可得|

8、AB| 2.3 .當(dāng)l的傾斜角不為90時(shí)，由* R知丨不平行x軸.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，如此冊(cè)R，可求得Q( 4,°)，設(shè)l:y k(x 4)，由l與圓M相切得31，解得k當(dāng)k專時(shí)，將y予2代入y占1(x2)整理得 7x28x 8 0 .(*)設(shè)A(為，yj , B(X2, y2)，如此X1 , X2是(*)方程的兩根.所以捲X2X1X2| AB |.1 k2 | x1 x21.1 k(187當(dāng)k子時(shí)，由對(duì)稱性知閔號(hào)18綜上，|AB| 2 3 或 | AB|【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、橢圓等根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想.3. (2014年全國(guó)高考新課標(biāo)I

9、卷理科第2X 20題點(diǎn)A(0, 2)，橢圓E :飛 a2b2 1(a b0)的離心率為今，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為晉，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I )求E的方程;U設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線I與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【解析】(1 )設(shè)Fc,。，由條件知丫竽，得 c麗.y2 1.又a f，所以a ，b2 a2 C2 1，故 E的方程XU由題意知直線I的斜率存在，設(shè)直線I的斜率為k，方程為y kx 2，x2聯(lián)立直線與橢圓方程：7ykx1，化簡(jiǎn)得：(1 4k2)x2 16kx 12 0.16(4k2 3) 0，/k2設(shè) P(Xi, yi), Q(X2, y2)，如此 XX216k

10、 x x 122 , X1 X22 ，1 4k1 4kpQ=frkx. X24;：3且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線I的距離為d2因此S OPQ1 kf3 丄2 1+4k2k2 14：k2_31+4k24tt2 4令 t . 4k2 3(t0)，如此 S opq44"t - 4，當(dāng)且僅當(dāng)t - , 即 t 2時(shí)，等號(hào)成立，二SopQ 1 - 故當(dāng)t 2 即J4k2 3 2，k 時(shí)OPQ的面積最大.， 2此時(shí)，直線I的方程為y 7x 2 .2【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、橢圓、函數(shù)和不等式等根底知識(shí)，考查推理論證能力、 運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)和方程思想.亠一一x24. （2015年全國(guó)咼考新課標(biāo)I

11、卷理科第 20題在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 與直線4y kx a（a 0）交于M , N兩點(diǎn).（I ）當(dāng)k 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（II） y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有 OPM OPN ?說(shuō)明理由.【解析】I由題設(shè)可得 M（2、a,a）, N（ 2、a,a）或 M （ 2、3,a）, N（2、a,a）.2 又y = x，故y 在x 2 a處的導(dǎo)數(shù)值為-a .24在點(diǎn)（2-a,a）處的切線方程為y a < a（x 2、a），即,ax y a 0 .2x卄 y在x42 . a處的導(dǎo)數(shù)值為a .在點(diǎn)(2、a,a)處的切線方程為y a . a(x 2 a)，

12、即、ax y a 0 .故所求切線方程為.ax y a 0和、.ax y a 0 .(n)存在符合題意的點(diǎn)P .證明如下：設(shè)P(0, b)為符合題意的點(diǎn)，M (xy1),N (x2, y2)，直線PM , PN的斜率分別為k1,k2.將y kx a代入C的方程,消去y整理得x2 4kx4a 0,如此,x2是該方程的兩根.故 x1 x2 4k,為 x24a.從而ki k2yibXiy2bX22kx.(x2 (a b)(x1 x2)X1X2k(a b)a當(dāng)b a時(shí),0,如此直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故 OPMOPN .所以點(diǎn)P(0, a)符合題意.【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、拋物

13、線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等根底知識(shí)，考查推理論證能 力、運(yùn)算求解能力和方程思想.5.(2016年全國(guó)高考新課標(biāo)I卷理科第20題)(本小題總分為12分)設(shè)圓x2y2 2x 15 0 的圓心為A,直線丨過(guò)點(diǎn)B(0,1)且與x軸不重合，丨交圓A于C,D兩 點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E .(I)證明EA EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;(II)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G，直線I交G于M,N兩點(diǎn)，過(guò)B且與 l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值X圍.【解析】(I)因?yàn)锳DAC , EB / AC ,故 EBD ACD ADC 所以 EBED故 EA EB EAEDAD又圓A標(biāo)準(zhǔn)方程為x

14、 1 2 y216 ,從而AD4，所以 EA EB 4由題設(shè)得 A 1,0 ,B 1,0 , AB由橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為(y0)；(II)法一當(dāng)丨與x軸不垂直時(shí)，設(shè)i：yM 為， , N X22k x2y312得4k13 x28k2x4k212如此x1x28k24 k23，x/x24k2 124k23所以MN.1 k2 x1x212 k2 14k2 31過(guò)點(diǎn)B 1,0且與l垂直的直線m : y xk2A到m的距離為t 2，心 k2，所以PQ 2J42故四邊形MPNQ的面積為S1一 MN | PQ2121 4k1 3當(dāng)丨與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ的面積的取值X圍為12,8. 3當(dāng)l

15、與x軸垂直時(shí)，其方程為MNPQ 8四邊形MPNQ的面積12.綜上，四邊形MPNQ的面積的取值X圍為12,8.32 2法二Ci: - y 1 ；設(shè) l : x my 1,1 43因?yàn)镻Q丄I，設(shè)PQ:y m x 1，聯(lián)立l與橢圓C1x my 1x2 y2 得 3m2 4 y2 6my 9 0 ；T 32.2 . 36m2 36 3m2 412 m2 1如此 |MN |、1 m |yM y” |1 m 223m 43m 4圓心A到PQ距離d L昭1吧，、1 m12, 3 .2 橢圓C:篤 a【考點(diǎn)分析】主要考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等解析 幾何常用知識(shí)，考查推理論證能力

16、、運(yùn)算求解能力和方程思想.警，P41孚中恰有三點(diǎn)2書=1a>b>0，四點(diǎn) P1 1,1，P20,1，P3-1, b在橢圓C上.1求C的方程;2設(shè)直線I不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn)。假如直線 P2A與直線P2B的斜率的和為-,證明:I過(guò)定點(diǎn).【考點(diǎn)】圓錐曲線。【思路】：1根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可以排除Pi 1,1。2聯(lián)立方程即可，此時(shí)有兩種方法聯(lián)立，第一種,假設(shè)直線AB的方程，第二種假設(shè)直線P2A 和 P2B。【解析】:1根據(jù)橢圓對(duì)稱性可得，P1 1,1P41 ,上3不可能同時(shí)在橢圓上，P3-,定同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過(guò)P2 0,1，P3-,聲,P4J 今,代入橢圓方程可得:

17、13b 1, -21 aa242，故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2丨由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在,不妨設(shè)直線P2A 為:y kx 1 ,P2B 為:y 1 k x 1.聯(lián)立kx4k21 x28kx0，假設(shè)A x1, y1 ， B x2, y2此時(shí)可得:1 4k24k2 1,B14 1k-，此時(shí)可求得直線的斜率為:1kAB業(yè)X22k24 1 k 14k 21-,化簡(jiǎn)可得8k4k2114k21一1一2，此時(shí)滿足1 2kCD當(dāng)k1時(shí)2時(shí),AB兩點(diǎn)重合,不合題意。直線方程為:12k 28k4k2124k 4k 1 x，當(dāng)1 2kx 2時(shí),1，因此直線恒過(guò)定點(diǎn)2, 1。答案:1y-2(x 2);2略.