微積分下學期末試卷及答案.

1、微積分下期末試題（一）、填空題（每小題3分,共15分）1、yf(x+y<)=x已知x2 2-yx2（仁 y），則 f（x,y）=第1頁共25頁第#頁共25頁2、已知,3、函數 f(x, y) =X2 xy y2（-1,2）-y 1在 33點取得極值.4、已知 f (x, y) =x + (x+arctany)arctany ,則 f；(1,0)=15、y =（C1 C2x）e3X （C1，C2為任意常數）為通解的微分方程是yu-6y' y =0、選擇題（每小題3分,共15分dxxlnp4x均收斂，則常數p的取值范圍是（ C ）.p -1(A)(C) 1 ： p 2(D) p 2f

2、(x,y)4x 22-2, xy- 0 =i_xy.0,2 2x y =0在原點間斷,是因為該函數（B ).（A）在原點無定義（B）在原點二重極限不存在（C）在原點有二重極限，但無定義（D）在原點二重極限存在，但不等于函數值 12-x ix e dx =0第#頁共25頁8、若h ： Il 31-x2-y2dxdy l2 ：113dxdyxMy2 <1空2刊2空1331 - X2 - y2dxdyA).2*心，則下列關系式成立的是(第2頁共25頁第#頁共25頁(A)I123(B)(C)h ： I 2 ： 1 3第#頁共25頁第#頁共25頁9、方程 y”-6y'9y=5(x1)e3x

3、具有特解(D ).(A) y =ax b(B)y = (ax b)e3x(C)y =(ax2 bx)e3x(D)y = (ax3 bx2)e3x2Z an10、設心收斂,QO二(_1) °an 則心(D ).(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)不定311、求由 y = xx= 4,y"所圍圖形繞y軸旋轉的旋轉體的體積.第#頁共25頁第#頁共25頁2的函數為x = y3,yo 。且x=4時， 廠8 。于是24823 28 "33-3= 128 (83 -0)7一 0八 v 二二(42-y3)2dy=16 二(8-0)-二 y3dy (3分)00-=128二-

4、512=H(6 分)7(x 13 2（,）故z=x y 1在y"-x下的極小值點為22 ,極小值為2（6分） y2)(.x2y211)=lim2廠x 0x2y21 -1原式y(tǒng))o'解:(3分)=1叫(.x2y2 1 1) = 2y"(6分)13、&zz=z(x,y)由 z V =xy 確定，求 Xy.解：設 F(x,y,z) =z ez -xy，則限 極 二 求2>12y +2XH xy2y+2XFx = y Fy=xFz=1+ez；zFx-yy:zFy _-xx:xF21ez1 ezyFz1 ez 一 1ez(3分)zz：z-2 z(1y 1 e-

5、ye 1ze xy.x:yy110 ez(1+ez)2一 1 ez(1 ez)2（6分）2214、用拉格朗日乘數法求z=x y V在條件下的極值.解: z =x2 （1 - x）2 1 =2x2 - 2x 21 1x=x =令z、4x-2=0,得2,z，4 0,2為極小值點.（3分）第4頁共25頁1 y 一15、計算嚴嚴解:x11 y -31=1dy 2 eydxee22 y 82(6分)JJ(x2 + y2)dxdy22 彳16、計算二重積分d，其中D是由y軸及圓周x y "所圍成的在第一象限內的區(qū)域.(X2 y2)dxdy2 十 1r3dr-解：D= 00= 8(6 分)PFF

6、I17、解微分方程3FWF*I解：令p二y,y二p,方程化為p =p x,于是_(_1)dx(JL)dxxvp =e ( xe dx G) =e ( xe dx C1)=ex -(x 1)e» G二-(x 1) C1exy - i pdx 二 i-(x 1) Gexdx - -1 (x 1)2 Gex C22(6 分)oo rl二(n3 1 -、n3 -1)18、判別級數心的斂散性.解:2n31* n3 -1Jn3 +1 _ 討 n3 -1門需limlim.1nr1n-心：n3. 1.* n3 -1因為nn第6頁共25頁19、將函數3 - x展開成x的幕級數,并求展開式成立的區(qū)間1

7、1 1='3 -x 3解：由于3 ,已知AO0nx1 -xn=01<xv1 ,1那么3 - X1 1nn二（）n d x3n 衛(wèi) 3 n 衛(wèi) 3" 120、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告收入R （萬元）與電臺廣告費用x1 （萬元）的及報紙廣告費用如下的經驗公式：2 2R = 15 14x-i 32x2 -8x1x 2x1 -10x2求最優(yōu)廣告策略解：公司利潤為（3分）（6分.根據統(tǒng)計資料，銷售（萬元）之間的關系有2 2L = R - - x2 = 15 13% 31x2 - 8%x2 - 2% -10x?L； =13-8x2 4音=0, 令 L；2 =

8、31-8X1 - 20x2 =0,”4片 +8x2 =13,即 ©為 +20x2 =31,3 5得駐點（心珂打®5,1.25）,而A 二 Lxx 4 ：0 B 二 Lxx8 C 二Lxx 20x1x2D = AC -B2 =8064 = 0J所以最優(yōu)廣告策略為：電臺廣告費用°.75（萬元），報紙廣告費用1-25（萬元）.（3分）（6分）第8頁共25頁四、證明題（每小題5分,共10分）1 3 x牛厝21、設 z = 1 n（x y），證明：x:y 3.；:z證：1 x -33x；zy1yJ33y一 1 1x3y31 1 ,x3y3oOoOoOZ2、 2Un'

9、Vn'、(UnVn)222、若心與心都收斂,則n4收斂2 22 22證.由于 0 乞(Un Vn) UnVn2UnV12(UnVn )QOoOoOE U； Z v；Z 2（u；+v2）并由題設知心與心都收斂,則心收斂,0送（比“）2從而心收斂。第9頁共25頁微積分下期末試題（二）、填空題（每小題3分，共15分） 1、設 z=x y f(x_y)，且當 y 時,2 2答案(x -2xy 2y y)2、3、4、5、:dx計算廣義積分1 x3設z心，則dZ（1J）O答案微分方程y”-5y'6y具有"4設 n 1，貝V nV .221（2）答案(e(dx dy)形式的特解.。

10、答案（1）答案(ax2 bx)e2x)第10頁共25頁第#頁共25頁1、x2 y2的值為A.3B.0C.2D.不存在2、fx （xo, yo）和fy（Xo, yo）存在是函數f（X, y）在點（Xo, yo）可微的(A )o二、選擇題（每小題3分,共15分）2 2.3sin(x y ) lim第#頁共25頁第#頁共25頁A.必要非充分的條件；B.充分非必要的條件;C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。2 _ 2 2 2 _ 彳A. ：dJ 4一如；B.3、由曲面z_：4_x - y和z = 0及柱面X . y = y )0所圍的體積是第#頁共25頁第11頁共25頁C、2d l4-r

11、2dr-0- 0 .D.n 1|4 02 心04 -dr第#頁共25頁4、設二階常系數非齊次線性方程 y py qy= f（x）有三個特解 屮=x第12頁共25頁第#頁共25頁2xy3二e，則其通解為A x +Gex +C2e2x ；B.GxC2exC3e2x ；7C x +G(ex e2x) +C2(x -ex)；D.G(ex -e2x)C2(e2x -x)第#頁共25頁第#頁共25頁；：（-1）nJpp5、無窮級數 心 n （P為任意實數）（D）A、收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、無法判斷三、計算題（每小題6分，共60分）1、求下列極限:訕xy_x 0、xy 1 -1lim J 二 lim x

12、y( x廠1 " 解：頭0 .xy 1 -1:咎(xy 1)-1電叫xy1 1)h 仁2y )02、求由y二-X與直線X =1、X =4、y = 0所圍圖形繞x軸旋轉的旋轉體的體積。= 7.5 二z _3、求由e二xyz所確定的隱函數z=z（x,y）的偏導數汶門。解：方程兩邊對 X求導得：Zz ：z：ze yz xy -xx ,有 xyzze -xyzx(z-1)（3分）（6分）（4分）（6分）（3分）方程兩邊對y求導得：z :z：z:zxzze xz xy糾為,有為 e -xy y(z-1)( 6分)4、求函數 f(X，y)= X -4x2 2xy - y2 的極值。解：f (x,

13、y) =x一4x2+2xy y2，貝yfx(x, y) =3x2 8x + 2yfy(x, y) =2x 2yfxx(x,y) =6x-8fxy(x, y)=2fyy(x,y)-2,3x2 8x 2y = 0,求駐點，解方程組j2x-2y=0,得(0,0)和(2,2).( 2分)對(0,0)有 fxx (0,0) = _8 < 0fxy (0,0) = 2 fyy (0,0) = -2于是B2 - AC = -12 ： 0，所以(0,0)是函數的極大值點，且f(°,°)= 0( 4分)對(2,2)有 fxx(2,2) =4 , fxy(2,2)=2 , fyy(2,2

14、)2 ,2解:y2D；d_ idxx2x v上dyx(4分)于是B -AC -120,(2,2)不是函數的極值點。 y d-_6、計算積分D x，其中D是由直線y=x,y=2x及xx2所圍成的閉區(qū)域;39xdx 二2 14( 6 分)xf (x)J0 f (t)dt = 2xf (x) + x f (1) = 0、f (x)7、已知連續(xù)函數f (x)滿足,且f (1)0 ,求f (x)。解：關系式兩端關于 x求導得：” 1 1f(x) = 2f (x) 2xf (x) 1 即 f (X) 2xf(X) 2x這是關于f（X）的一階線性微分方程，其通解為:f(x) J：("： c)2xC

15、X C)：1=7 XXf二0，即C-1 =0，故c =1，所以2 y28、求解微分方程=0 。八pdp解：令y -p，則dy，于是原方程可化為:P "2 P2dy 1 - y=0坐 2p=0 即 dy 1 - y，其通解為P =CiedyG(y-1)2齊"1)2即鳥宀y =1-故原方程通解為:Gx c2J： (x-2)n9、求級數n#3 n 的收斂區(qū)間。:tn瓦學Rt =也 解：令t=X_2,幕級數變形為n川n,n.an 1=limn =：當t1時,級數為補3；收斂;13n發(fā)散.tn_3n的收斂區(qū)間是It <-1,1）（5分）.：=（x-2）n那么n4Vn的收斂區(qū)間為

16、=1,3)（6分）打 sin(2n x)10、判定級數n= n!是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂。sin（2n x）1解：因為n!n!（ 2分）1Z丄由比值判別法知nmn!收lim（n+1J.（4分）n咨斂(丫1用）,QOZsin（2n，x）睪 sin（2n x）n!從而由比較判別法知n =1收斂，所以級數心n!絕對收斂.（ 6分）四、證明題(每小題5分,共10分)QOQO 為Un送JUnUn十1、設正項級數nF 收斂，證明級數nT也收斂。證:1UnUn 1-§（Un Un 1）（ 3 分）z而由已知1 (Un Un 1)2 收斂，故由比較原則,' Un

17、Un 1也收斂。（ 5 分）第16頁共25頁第#頁共25頁1 :Z 1 :Z Z1=2證明 x : x y:y y .Z =2、設f(x2-y2),其中f(u)為可導函數,第#頁共25頁z2xyf 2證明：因為 xf,（ 2分）_ f 2y2f2y（ 4分）1-jzf 2y2f z所以 x ；x y ；:yf2 yf2 yfy2.（ 5分）微積分下期末試題（三）一、填空題（每小題3分，共15分）1、設 z=x y f （y _x），且當 x =0 時，2 2 答案（x -2xy 2x y）:dx1 2.12dx dy 答案（33）形式的特解.（axbx2）e3x）2、 計算廣義積分 1 x =

18、。答案（1）3、 設 z = ln（1 X2 y2），則 dz（1,2） =4、微分方程 y”6y 9y =5（x 1）e3x具有_5、級數odzn =13n 19n的和為5。答案（8 ）第17頁共25頁第#頁共25頁、選擇題（每小題3分，共15分）1、limX0 y3si n（x2 y2）x2 y2的值為第#頁共25頁第#頁共25頁C、2D、不存在第18頁共25頁2、fx（x，y）和fy（x,y）在（Xo,yo）存在且連續(xù)是函數f（x, y）在點（x。，y。）可微的（b）A.必要非充分的條件；B.充分非必要的條件；C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。2 2 2 2 /3、由曲面

19、z = 4 _ X - y和z = 0及柱面x y4所圍的體積是2二 4空A. 0 dSr ”r 生；B.C、2 二 2、4-r2dr-0 - 0 .D. 4fdU2Jkdr4、設二階常系數非齊次微分方程/ py，qy = f（x）有三個特解2yxy2y3 =e2x貝U其通解為（D）x 2 x2x2、G(e e )C2 (ex ).7Gx2x2xC?eC3e.GexC2e2x .7x2C1(ex - e2x) C2(x2 - ex)5、無窮級數J （1嚴2pn T n （ P為任意實數）(A)A、無法判斷B、絕對收斂C、收斂D、發(fā)散三、計算題（每小題6分，共60分）lim xT1、求下列極限：

20、y 02. xy 4xyolimx )0 解：八02 - , xy 4xy4 -(xy 4)二 limx 0 xy(2 t xy 4)-1第19頁共25頁-1第#頁共25頁=lim:珞2、xy 42 2-1第#頁共25頁0, x =2、求由在區(qū)間 2上，曲線y=sinx與直線 2、y = u所圍圖形繞x軸旋轉的旋轉體的體積。2 2（4分）”Vx =兀 L sin xdx解：.o1 2= Jl4（ 6分）fz ；:zz3、求由e -xyzxy所確定的隱函數z=z（x, y）的偏導數:y。解：（一）令 F（x,y,z） =ez -xyz-xy于.:F yz- y-xz - x則 xy利用公式，得;

21、:F:z一 & _yz yyz y.x;:Fze - xyze - xy:zF:z：:y - XZ - Xxz x:y；:F -ze -xyze - xy:z）在方程兩邊同時對x求導，得z-z-:zeyz -xyyxx解出Jzyz yzxe -xy-:F ze -xy:z（3分）（6分）（3分）:zxz x同理解出：:ye _xy.( 6分)334、求函數f(x，y)" "2xy8y的極值。33解：f (x,y) =x -12xy+8y，則fx(x, y) =3x2 12yfy (x, y) = 24y2 12xfxx(x,y)=6x fxy(x, y) = -12

22、 fyy(x, y48y ,bx2 -12y =0,2求駐點，解方程組24y j2x = °，得(0,0)和(2,1).( 2分)對(0,0)有 fxx(0,0) = 0 , fxy(0,0) = 12 , fyy(0,0) = 0,于是B2 - AC =1440，所以(0,0)點不是函數的極值點.( 4分)對(2,1)有匚(2,1)=12 , fxy(2,1)12 , fyy(2,1)=48,所以函數在(2,1)點取得極小(6分)于是 B2 - AC =144 -12 48 ： 0 ,且 A =120 , 值，f (2,1) = 23 _12漢2工1+8沢13 =_8(5分)&am

23、p;計算二重積分(2x y)d 匚D，其中D是由= x,y =x及y二2所圍成的閉區(qū)域;第22頁共25頁第#頁共25頁2 y(4分)| i(2x y)d dy 1 (2x y)dx 解：D1 y2)dy 晉(6分)y 6第#頁共25頁7、已知連續(xù)函數f（X）滿足x心心小"，求f（x）。解：關系式兩端關于 x求導得:f（x） 2f（X）仁 0 即1 1f （x）2f（x）八2這是關于f（X）的一階線性微分方程，其通解為:-巴 i dxf （x） =e 2 （ （-2歸 2 C）XXx=-e 2（e2c） = -1 ce 2X又 f （0） = 0，即 0 一1 c ,故 c = 1，所

24、以 f （x）二 e 2 -18、求微分方程（1 x2）y”-2xy “3逍飆解 這是一個不明顯含有未知函數y旳方昨作變換令虬p空dx，貝y dxdpdx,史虹打桿陋階因dp _ 2x d分離變量P+x'X r盼得In phna + xnG即p=g（i x2）頌 dX=C1（r/）再積分一次絆，原方穢社I通搟x3G（x 虧）C2（2分）（ 5分）（ 6分）_ 2 px = 0（3分）（ 5分）（ 6分）第24頁共25頁二（x-3）n9、求級數7- n 的收斂區(qū)間。:tn R = limn 廠解：令t = x -3,幕級數變形為n n ,-an 1二 lim n_1 = 1n： 、n00

25、 1E （-1）冷當t = -1時,級數為心. n收斂;1當t =1時，級數為nm 一 n發(fā)散.tn故心M的收斂區(qū)間是It二-）,r3）n那么心 川 的收斂區(qū)間為Ix -2,4）J cos(n x)10、判定級數n mn! 是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂:解：因為cos(n x)n!Z丄由比值判別法知nT n!收斂（：lim (n 1)!n!=0),0z從而由比較判別法知 n孔cos(n x)n!收斂,所以級數cos(n x)n n!絕對收斂( 6分)第26頁共25頁第#頁共25頁四、證明題（每小題5分，共10分）fa；£（30）1、設級數心 收斂，證明心n也

26、收斂。第#頁共25頁證：由于丄）n2而' 9n12n都收斂,1（a 4）2 n 收斂，由比較原則知annz=2cos2(x_L)2、設2 ,證明:.2 .2z ： z c2 2 0 jt:x :t。第27頁共25頁第#頁共25頁證明：因為-2 2cos(x-) sin(x-E)(-丄)=sin(2x-t).t222第#頁共25頁第#頁共25頁j2zft2二-cos(2x -t)；：2z；：2z:t ；xz= 2cos(2x _t)=從2第#頁共25頁第#頁共25頁2亡2所以工0x .t第#頁共25頁第#頁共25頁微積分下期末試題及答案（四）第28頁共25頁第#頁共25頁A、(0,lg2

27、)B、(0, lg2 12、x=-1是函數2x = 的x x -1A、跳躍間斷點B、可去間斷點3、2 -試求limx 等于（）xA、1_ 4B、04、若工1x y，求y等于（）A、2x - yB、八2x2y -x2y x、選擇題（每題2分）1、設R x）定義域為（1,2）,則九lg x ）的定義域為（）C、(10,100)D、(1,2)()C、無窮間斷點D、不是間斷點5、曲線y二半的漸近線條數為1 XA、 0B、 16下列函數中，那個不是映射（）A、y、設真x，則f x的間斷點為3、已知常數a、b,iim x "x+a =5,貝y此函數的最大值為xT1 -x4、已知直線y=6xk是y

28、=3x2的切線，貝U k=5、求曲線xlny + y-2x = 1，在點（11）的法線方程是 三、判斷題（每題2分）21、函數廿X 2是有界函數1 +x2 2、有界函數是收斂數列的充分不必要條件3、若lim，就說：是比低階的無窮小ot4、可導函數的極值點未必是它的駐點 =x （x R ,y RJC、y =x2二、填空題（每題2分）1、y二一M=的反函數為C、1D、C、d、xLy 2x-y2xy()C、2D、3B、y2 = -x2 1D、y = ln x (x 0)第#頁共25頁()四、計算題（每題6分）1 si n1、求函數y二x x的導數1 22、已知 f(x)=xarctan xln(1

29、- x證明方程xex =1在區(qū)間（0,1）內有且僅有一個實數),求 dy23、已知x2 -2xy y3 =6,確定y是x的函數，求y4、求limx_0tan x sin x.2xsin x5、計算:八（1 +皈）仮1& 計算 lim （cos x）x"五、應用題1、設某企業(yè)在生產一種商品x件時的總收益為 R（x）=100x-x2，總成本函數為C（x） =200 50x x2，問政府對每件商品征收貨物稅為多少時，在企業(yè)獲得利潤最 大的情況下，總稅額最大？（ 8分）2、描繪函數y =x2丄的圖形（12 分）x六、證明題（每題6分）11、用極限的定義證明：設Jjmf（x）=A,則l

30、im+f（） = A、選擇題1、C2、C3、A4、B5、 D6、 B二、填空題1、x = 02、a -= 6,b - -73、18 4、35、x三、判斷題1、V2、x3、V4、X5、X四、計算題1、試題（四）答案y _ 2 = 0.1 sin =(x x).1.sinIn x=(e x第31頁共25頁第#頁共25頁sin 1 In x二 e xcosJlnxIL x x1 . sin x1si n xx (-丄cosSnx x1 . 1sinx x第#頁共25頁2、dy 二 f (x)dx121 x2二(arctanx x j1 + x二 arctanxdx3、解：22x- 2y - 2xy 3y y2x- 3y2x - 3y2(2 _ 3y )(2 x _ 3y2)_ (2x _ 2 y)(2 _ 6yy)(2x-3y2)24、解:第32頁共25頁丁當o