自動控制理論 根軌跡法課件

1、第四章第四章 根軌跡法根軌跡法目的目的 掌握繪制系統(tǒng)根軌跡的方法掌握繪制系統(tǒng)根軌跡的方法掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的方法掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的方法內(nèi)容內(nèi)容根軌跡方程根軌跡方程繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則利用根軌跡進行系統(tǒng)分析利用根軌跡進行系統(tǒng)分析穩(wěn)定性穩(wěn)定性即閉環(huán)極點即閉環(huán)極點閉環(huán)特征方程的根閉環(huán)特征方程的根動態(tài)性能動態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的性能系統(tǒng)的性能開環(huán)放大倍數(shù)開環(huán)放大倍數(shù)開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)開環(huán)積分環(huán)節(jié)個數(shù)困困 難難! !困難困難1 1：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何求?。。合到y(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何求?。±щy困難2 2：討論或預(yù)測當(dāng)系統(tǒng)中的某一參數(shù)發(fā)生：討論或預(yù)測當(dāng)系統(tǒng)中的某一參數(shù)

2、發(fā)生 變化時系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何變變化時系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何變 化化! ! 參數(shù)改變，系統(tǒng)性能如何改變！參數(shù)改變，系統(tǒng)性能如何改變！ 伊萬思伊萬思第一節(jié)第一節(jié) 根軌跡法的基本概念根軌跡法的基本概念 R(s)C(s) 1( ssKg+-) 1()(ssKsGgoggcKssKsG2)(1.1.引例引例討論討論Kg變化時閉環(huán)極點的變化。變化時閉環(huán)極點的變化。02gKssgKs4121212, 1開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)極點閉環(huán)極點特征方程特征方程 s 平面 j 0 -1 -0.5 kg=0.5 kg=0.25 kg=0 kg=0 kg=0.5 閉環(huán)極點在閉環(huán)極點

3、在S S平平面上的變化面上的變化 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)變化時，系統(tǒng)閉系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根在環(huán)特征方程的根在S S平面上的變化軌跡即為平面上的變化軌跡即為根軌跡根軌跡gKs4121212, 1 問題：問題：繪制根軌跡是用描點法嗎？繪制根軌跡是用描點法嗎？高階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的表達高階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根的表達 式如何求式如何求?思路：思路：利用利用開環(huán)傳函開環(huán)傳函繪制閉環(huán)特征繪制閉環(huán)特征方程的根的變化。方程的根的變化。2.2.根軌跡的幅值條件和相角條件根軌跡的幅值條件和相角條件 R(s) C(s) + - G(s) H(s) )(1)()()(1)

4、()()()(sGsGsHsGsGsRsCsGoc0)(1sGo閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程1)(sGo1)(gosssG) 12(180)(argksssGgo)()()(11inijmjgopszsKsG1)()(11ginijmjgsspszsK) 12(180)()(arg11ksspszsKginijmjg若開環(huán)傳遞函數(shù)若開環(huán)傳遞函數(shù)則根軌跡的條件方程為則根軌跡的條件方程為幅值條件幅值條件相（幅）相（幅）角條件角條件根軌跡增益根軌跡增益開環(huán)零點開環(huán)零點-zj-pi開環(huán)極點開環(huán)極點11mjjogniizKKp開環(huán)增益開環(huán)增益注注: (1)不計原點處的零值極點；不計原點處的零值極點； （2）

5、m=0時時根軌跡增益根軌跡增益11mjjz第二節(jié)第二節(jié) 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 1. 1. 根軌跡的連續(xù)性根軌跡的連續(xù)性 根軌跡是連續(xù)變化的曲線根軌跡是連續(xù)變化的曲線2. 2. 根軌跡的對稱性根軌跡的對稱性 根軌跡對稱于實軸根軌跡對稱于實軸3. 3. 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù) n 階系統(tǒng)，階系統(tǒng)，n 條根軌跡。條根軌跡。4. 4. 根軌跡的起點和終點根軌跡的起點和終點Kg=0 時的閉環(huán)極點為根軌跡的起點時的閉環(huán)極點為根軌跡的起點Kg 時的閉環(huán)極點為根軌跡的終點時的閉環(huán)極點為根軌跡的終點 n 條根軌跡起始于系統(tǒng)的條根軌跡起始于系統(tǒng)的n 個開環(huán)極點個開環(huán)極點 n 條根軌跡終止

6、于系統(tǒng)的條根軌跡終止于系統(tǒng)的n個開環(huán)零點個開環(huán)零點 m1212，根，根軌跡中有兩條分支進入軌跡中有兩條分支進入s s的右半平面，這表明的右半平面，這表明附加零點對系統(tǒng)根軌跡的影響甚小，即系統(tǒng)的附加零點對系統(tǒng)根軌跡的影響甚小，即系統(tǒng)的動態(tài)性能不會因此而有明顯的改善，其原因是動態(tài)性能不會因此而有明顯的改善，其原因是該零點距離虛軸較遠(yuǎn)。該零點距離虛軸較遠(yuǎn)。（2 2）假設(shè)零點）假設(shè)零點- -b位于位于 間的實軸段上，間的實軸段上，若令若令b b =1.2=1.2，即，即13 (1.2)( )( )(1)(3)K sG s H ss ss (4-53)據(jù)此作出系統(tǒng)的根軌跡如圖據(jù)此作出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-

7、314-31所示。所示。圖4-31 根軌跡圖由圖可見，當(dāng)由圖可見，當(dāng)K K在在 范圍內(nèi)變化時，該系統(tǒng)范圍內(nèi)變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的?？偸欠€(wěn)定的。0 （3 3）假設(shè)零點）假設(shè)零點- -b 位于位于 間的實軸段上，若間的實軸段上，若令令b=0.4=0.4，即，即01 (0.4)( )( )(1)(3)K sG s H ss ss (4-54)圖4-32 根軌跡圖據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡圖如圖據(jù)此，作出系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-324-32所示。所示。由圖可知：由圖可知：1 1）當(dāng)）當(dāng)K 由由 變化時，系統(tǒng)的根軌跡都位于變化時，系統(tǒng)的根軌跡都位于s s平面的左方，因而該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。平面的左方，因而該系

8、統(tǒng)總是穩(wěn)定的。 0 2 2）當(dāng)）當(dāng) kk1，3個閉環(huán)極點中同樣有一對共軛復(fù)數(shù)個閉環(huán)極點中同樣有一對共軛復(fù)數(shù)極點極點s1、s2和一個實數(shù)極點和一個實數(shù)極點s3，但由于極點，但由于極點s3距距虛軸很近，因而相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減得很緩慢，虛軸很近，因而相應(yīng)的瞬態(tài)分量衰減得很緩慢，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出響應(yīng)有較長的過渡過程時間，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的輸出響應(yīng)有較長的過渡過程時間，這是一般的控制系統(tǒng)所不希望的。這是一般的控制系統(tǒng)所不希望的。 由上述分析可知，增加的開環(huán)零點于由上述分析可知，增加的開環(huán)零點于s s平面實軸上的不同位置，它對系統(tǒng)根軌跡平面實軸上的不同位置，它對系統(tǒng)根軌跡所產(chǎn)生的影響是不同的。所產(chǎn)生的影響是

9、不同的。 對于某一具體的開環(huán)傳遞函數(shù)，只有選對于某一具體的開環(huán)傳遞函數(shù)，只有選擇合適的附加零點，才有可能使控制系統(tǒng)擇合適的附加零點，才有可能使控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能得到顯著地改善。的穩(wěn)定性及動態(tài)性能得到顯著地改善。 122okGss 例：-20j系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定-20j-41 1）增加零點）增加零點4 z系統(tǒng)仍不穩(wěn)定系統(tǒng)仍不穩(wěn)定0j0j2z 系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定 1z 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定2 2）增加零點）增加零點3 3）增加零點）增加零點增加增加合適的合適的開環(huán)零點將使根軌跡開環(huán)零點將使根軌跡向左向左彎曲或移動彎曲或移動，可以，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性和快速性

10、，而且增加的開環(huán)零點越靠，而且增加的開環(huán)零點越靠近原點對系統(tǒng)改善性能越好。近原點對系統(tǒng)改善性能越好。結(jié)結(jié) 論論2. 2. 增加開環(huán)極點增加開環(huán)極點 若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個開環(huán)極點，若在開環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個開環(huán)極點，-p (p0)，則在根軌跡的相角方程中，則在根軌跡的相角方程中增加了一個負(fù)角增加了一個負(fù)角-arg(s+p)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的根軌跡作向右傾斜變化，這顯然不利于的根軌跡作向右傾斜變化，這顯然不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能的改善。系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能的改善。0例如：設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函例如：設(shè)一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為數(shù)為( )(1)KG ss s 由圖可

11、知，當(dāng)參變量由圖可知，當(dāng)參變量K 由由 變化時，變化時，該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。該系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示0 如增加一個開環(huán)極點如增加一個開環(huán)極點-2-2，則開環(huán)傳遞函數(shù)，則開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)樽優(yōu)? )( )(1)(2)KG s H ss ss 對應(yīng)的根軌跡如下圖所示。對應(yīng)的根軌跡如下圖所示。當(dāng)當(dāng)K 66時，系統(tǒng)就變時，系統(tǒng)就變?yōu)椴环€(wěn)定了。為不穩(wěn)定了。 2oKGs s 例：K 取何值也穩(wěn)定（如圖所示）。取何值也穩(wěn)定（如圖所示）。 -20j-1-20j-4ds2222當(dāng)當(dāng)0K6時系統(tǒng)穩(wěn)定時系統(tǒng)穩(wěn)定314p ）增加：-2jds-220322p ）增加：當(dāng)當(dāng)0K4時系統(tǒng)穩(wěn)

12、定時系統(tǒng)穩(wěn)定-2j0330p ）增加：，K取何值都不穩(wěn)定。取何值都不穩(wěn)定。 p3在在-，0之間之間 為條件穩(wěn)定，為條件穩(wěn)定，p3越越 靠近原點靠近原點, 使系統(tǒng)使系統(tǒng) 穩(wěn)定的穩(wěn)定的K取值范圍越取值范圍越小。當(dāng)小。當(dāng)p3 在原點時，在原點時，K取何值系統(tǒng)都不穩(wěn)取何值系統(tǒng)都不穩(wěn)定。定。 增加開環(huán)極點將使根軌跡增加開環(huán)極點將使根軌跡向右彎曲或向右彎曲或右移右移，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性和快速性變差；而且所增加極點的模值越小，變差；而且所增加極點的模值越小，這種影響越明顯。這種影響越明顯。結(jié)結(jié) 論論第六節(jié)第六節(jié) 用根軌跡法分析控制系統(tǒng)用根軌跡法分析控制系統(tǒng)利用繪制的根軌跡進行系統(tǒng)

13、分析利用繪制的根軌跡進行系統(tǒng)分析C 穩(wěn)定性穩(wěn)定性C 動態(tài)性能動態(tài)性能C 穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差利用繪制的根軌跡進行系統(tǒng)設(shè)計利用繪制的根軌跡進行系統(tǒng)設(shè)計C根據(jù)性能指標(biāo)要求確定系統(tǒng)參數(shù)根據(jù)性能指標(biāo)要求確定系統(tǒng)參數(shù)1. 1. 用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關(guān)參數(shù)用根軌跡法確定系統(tǒng)中的有關(guān)參數(shù)圖圖4-35 4-35 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 試用選擇參數(shù)試用選擇參數(shù)K K1 1和和K K2 2以使系統(tǒng)滿足下列性以使系統(tǒng)滿足下列性能指標(biāo)能指標(biāo) sss r tt;e0.351 2 t3s 121210.35ssvK KeKK 解解 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 112Gs2oKs sK K 系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)系統(tǒng)

14、的靜態(tài)速度誤差系數(shù) 1122vKKK K 若要滿足系統(tǒng)誤差的要求，若要滿足系統(tǒng)誤差的要求，K K1 1必須取值必須取值較大，較大，K K2 2必須取值較小。必須取值較小。由題意得由題意得 為了同時滿足為了同時滿足 的要求，閉環(huán)極點必的要求，閉環(huán)極點必須位于圖須位于圖4-364-36所示的所示的陰影區(qū)域內(nèi)。陰影區(qū)域內(nèi)。在在S左半平面上左半平面上,過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸成成45角的射線角的射線,如圖如圖4-36所示所示圖4-36 在S平面上希望極點的區(qū)域s44 t34 3ns 因即st 和設(shè)設(shè) ，則式（，則式（4-574-57）變?yōu)椋┳優(yōu)榱盍?，則圖，則圖4-35所示系統(tǒng)所示

15、系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為的閉環(huán)特征方程為作出以 為參變量的根軌跡如圖4-37所示。 2 s2s0 10 4-58s s2 或（）121KK K ， 2120 4-57G ssss 0 為了滿足靜態(tài)性能的要求，試取為了滿足靜態(tài)性能的要求，試取則式（則式（4-57）可寫為）可寫為1=20K 2s10 4-59 s2s20 圖4-37 式（4-58）的根軌跡式中開環(huán)傳遞函數(shù)的極式中開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為點為-3.15-3.15j3.17j3.17。以以為參變量的根軌跡如圖為參變量的根軌跡如圖4-384-38所示所示, ,該圖該圖與由過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸成與由過坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸成4545角的角的直線；

16、并與根軌跡相交于直線；并與根軌跡相交于-3.15-3.15j3.17j3.17。由根軌跡幅值條件求得由根軌跡幅值條件求得=4.3=20K=4.3=20K2 2 ；即；即 K K2 2=0.215=0.215因為所求閉環(huán)極點實部因為所求閉環(huán)極點實部=3.15;=3.15;因而因而121441.2733.152220 0.2150.3150.3520ssstssK KeK 圖4-38 式（4-59）的根軌跡2. 2. 確定指定確定指定K0 0時的閉環(huán)傳遞函數(shù)時的閉環(huán)傳遞函數(shù) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)零點由開環(huán)傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)零點由開環(huán)傳遞函數(shù)中中G(s)G(s)的零點和的零點和H(s)H(s)的極點組

17、成，它們的極點組成，它們一般均為已知。系統(tǒng)的閉環(huán)極點與根軌一般均為已知。系統(tǒng)的閉環(huán)極點與根軌跡的增益跡的增益Ko有關(guān)。如果有關(guān)。如果Ko已知，就可以已知，就可以沿著特定的根軌跡分支，根據(jù)根軌跡的沿著特定的根軌跡分支，根據(jù)根軌跡的幅值條件，用試探法求得響應(yīng)的閉環(huán)極幅值條件，用試探法求得響應(yīng)的閉環(huán)極點。點。求K0=0.5時的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解 在分離點S=-0.423處，由幅值條件求得K0=0.385由此可知，K0=0.5時，系統(tǒng)有一對共軛復(fù)根和一個實根，經(jīng)試樣法確定，當(dāng)s3=-2.192時，K00.5 012KG s H ss ss 例例 已知圖4-39 根軌跡圖 220.52.1920.4040

18、.256C sR sss 一對共軛極點的對應(yīng)的多項式為一對共軛極點的對應(yīng)的多項式為 322120.5320.52.1922.192 0.8080.229s sssssssss 22,3 0.8080.22900.4040.256sssj 令得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 根據(jù)指定的阻尼比 值，由根軌跡圖的坐標(biāo)原點作一與負(fù)實軸夾角為 的射線。該射線與根軌跡的交點就是所求的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點，由幅值條件確定這對極點對應(yīng)的Ko值，并據(jù)此確定閉環(huán)的其他極點。3. 3. 確定具有指定阻尼比確定具有指定阻尼比 的閉環(huán)極點的閉環(huán)極點和單位階躍響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)=arccos 1）閉環(huán)極點和相應(yīng)的增益2）單

19、位階躍信號作用下的輸出響應(yīng) 1,21233302222arccos0.5600.330.580.330.580.330.583s2.34 1.051.051 ; 2.340330.581.052.340330.58010.1 0.92.34sjsssjjsKC sR ssR sssC ss sssss 令 222.340.33330.580330.5810.10.9cos0.58sin0.58ttsC teett 仍以圖4-8所示系統(tǒng)為例，令 ，試求=0.5 4. 4. 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析思路：關(guān)鍵點，根軌跡與虛軸的思路：關(guān)鍵點，根軌跡與虛軸的交點交點。)22)(3()2()(2sssssK

20、sGgo例：例： 利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的取值范利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的取值范圍。圍。系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)傳函為 參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值才能穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。條件穩(wěn)定系統(tǒng)可利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)。條件穩(wěn)定系統(tǒng)可利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)（根軌跡增益）的取值范圍。穩(wěn)定時參數(shù)（根軌跡增益）的取值范圍。 0 j s 平面 1.6j (Kg=7.0) 1.6j 解解: :繪制根軌跡如圖繪制根軌跡如圖0 kg 7 系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的取值范圍為系統(tǒng)穩(wěn)定時根軌跡增益的取值范圍為22(24)( )(4)(6)(1.41)oK ssG ss ssss例：例：系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)傳函為試作穩(wěn)定性分析。試作穩(wěn)定性分析。解解: :畫出以下根軌跡：畫出以下根軌跡：由圖可見，由圖可見，當(dāng)當(dāng)0K14及及64K195時，時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)當(dāng)14K195時，時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。5. 5. 暫態(tài)性能分析暫態(tài)性能分析 利用