凸函數與Hadamard不等式

1、凸函數與Hadamard不等式一、引言關于凸函數的理論及應用有許多專門的研究，由于凸函數本身是用不等式來定義的，而且有許多良好的性質，利用凸函數的這些性質以及一些等價條件解決不等式問題有許多方便之處，因為利用函數的凸性可以避免關于連續(xù)性和可微性的限制。二、凸函數的定義及性質(一)定義設f(x)為定義在區(qū)間上的函數，若對I上任意兩點x1，x2和實數入G(0,1)總有f入x1+(1-入)x2W入f(x1)+(1-入)f(x2),則稱f(x)為I上的凸函數。若不等號嚴格成立，則稱f(x)為I的嚴格凸函數。(2) 凸函數的性質引理1：設f(x)是區(qū)間I上的凸函數，a，b?I，則f(x)在a,b上滿足L

2、ipsditz條件，即存在常數L>0,使得對？x1,x2Ga,b有|f(x2)-f(x1)|<L|x2-x1|由此可得f(x)在a,b上是一致連續(xù)的。引理2：積分型的Jensen不等式設f(x)是區(qū)間I上的連續(xù)凸函數，g(t):a,BT是逐段連續(xù)函數，且至多有有限多個第一類間斷點，則有以下不等式成立f(g(t)dtx)wf(g(t)dtx由于凸函數本身是用不等式來定義的，因此，可以根據前面所敘述的凸函數的定義，利用函數的凸性來證明有關的不等式。(3) Hadamard不等式設f(x)是區(qū)間a，b上的凸函數，則有以下不等式成立f()wf(x)dx<證：f(x)是區(qū)間a,b上的凸

3、函數，則對于？入(0,1),由定義得f入a+(1-入)bw入f(a)+(1-入)f(b)。令x=入a+(1-入)bGa,b,即入=,1-入=,代入上式得f(x)<f(a)+f(b)of(x)的定義域是閉區(qū)間a，b，由引理1知函數f(x)在a，b上一致連續(xù)，從而連續(xù)、可積。將上式兩端在a，b上積分可得f(x)dx<(b-x)dx+(x-a)dx=f(a)+f(b)兩端除以(b-a)得f(x)dx<下證另一個不等式也成立：在引理2的積分型Jensen不等式中，取a=a,B=b,g(t)=t可得f(tdt)wf(t)dt即f()wf(x)dx綜合以上兩式即得f()wf(x)dx&l

4、t;?，F在，我們觀察一下這個不等式的形式，它實際上給出了函數f(x)在閉區(qū)間a,b上的積分平均值f(x)dx的最大值和最小值。它的內容與數學分析中利用定積分的性質得到的估值不等式的內容有類似之處。估值不等式的內容敘述如下：若函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，M,m分別為f(x)在閉區(qū)間a，b上的最大值和最小值，則有下列不等式成立：f(x)dx<M若函數f(x)是閉區(qū)間a，b上凸函數，則可以用Hadamard不等式來代替上述的估值不等式，且前者比后者具有更精確的估值區(qū)間。我們來分析下面的一個例子。例：設A=,試估計出它的范圍。解：(1)應用估值不等式求解：設函數f(x)=,xG1,5,f'(x)=>0,xG1,5則函數f(x)=在區(qū)間1，5上單調遞增，其最大值和最小值分別為M=f(5)=勺25.0200m=f(1)=勺1.4142由估值不等式得1.4142wAW25.02000(2)應用Hadamard不等式求解f(x)=,xG1,5f'(x)=,f(x)=>0,xG1,5故f(x)=在區(qū)間1，5上是凸函數，且有f()=f(3)=勺9.0553=勺13.2171由Hadamard不等式得9.05530AW13.2171。按估值不等式解得區(qū)間的長度為d1=25.0200-1.4142=23.6058,按Ha