南京仁輔教育高等數(shù)學試題函數(shù)與極限

1、第一章 函數(shù)與極限 一、 填空題1已知=1+cosx，則= 。2，則連續(xù)區(qū)間為 ，= ，= 。3 = 。4時，是的 階無窮小。5=0成立的為 。6 。7，在=0處連續(xù)，則= 。8 。二、 單項選擇題1設、是上的偶函數(shù)，是上的奇函數(shù)，則 所給的函數(shù)必為奇函數(shù)。（A）；（B）；(C)；（D）2，則當時有 。（A）是比高階的無窮??； （B）是比低階的無窮?。唬–）與同階無窮小，但不等階；（D）3函數(shù)在x=0處連續(xù)，則= 。（A）； （B）； （C）1； （D）0。4數(shù)列極限 。（A）1； （B）-1； (C) ； (D)不存在但非。5則是的 。（A） 連續(xù)點； （B）可去間斷點； （C）跳躍間斷點；

2、 （D）振蕩間斷點。三、 計算下列極限1 2 3 4 5 6 7 8 四、 用極限定義證明。五、 試確定、之值，使 六、 利用極限存在準則求極限1。2設，且證明存在，并求此極限值。七、 討論函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出其類型。八、 設在上連續(xù)，且，證明在內至少有一點，使。第二章 導數(shù)與微分 一、填空題1已知，則= 。2存在且，則= 。3，則= 。4二階可導，則= ；= 。5曲線在點 處切線與連接曲線上兩點（0，1）（1，e）的弦平行。6，則 。7，則 ，= , 。8若，則= 。二、單項選擇題1設曲線和在它們交點處兩切線的夾角為，則= 。 （A）-1； （B）1； （C）-2； （D）3。2設

3、在的某個鄰域內有定義，則在=處可導的一個充分條件是 。（A）存在； （B）存在；（C）存在； （D）存在。3已知為可導的偶函數(shù)，且，則曲線在處的切線方程是 。（A）； （B）； （C）； （D）。4設可導，則= 。（A）0； （B）； （C） （D）5函數(shù)有任意階導數(shù)，且，則= 。 （A）； （B）； （C）； （D）三、計算下列各題1，求。2求。 3，求。4，求。 5，求。6，求。7，在處有連續(xù)的一階導數(shù)，求、。8設在處有連續(xù)的一階導數(shù)，且，求。四、試確定常數(shù)、之值，使函數(shù)處處可導。五、證明曲線與（為常數(shù)）在交點處切線相互垂直。六、一氣球從距離觀察員500米處離地勻速鉛直上升，其速率為140

4、米/分，當此氣 球上升到500米空中時，問觀察員視角的傾角增加率為多少？七、若函數(shù)對任意實數(shù)、有，且 證明 。第三章 中值定理與導數(shù)應用 一、填空題1= 。2函數(shù)在區(qū)間 單調增。3函數(shù)的極大值是 。4曲線在區(qū)間 是凸的。5函數(shù)在處的階泰勒多項式是 。6曲線的拐點坐標是 。7若在含的（其中），恒有二階負的導數(shù)，且 ，則是在上的最大值。8在內有 個零點。二、選擇題1函數(shù)有連續(xù)二階導數(shù)且，則= 。 （A）不存在； （B）0； （C）-1； （D）-2。2設，則在內曲線 。（A） 單調增凹的；（B）單調減凹的； （C）單調增凸的； （D）單調減凸。3在內連續(xù)，則在處 。（A）取得極大值； （B）取得極

5、小值；（C）一定有拐點； （D）可能取得極值，也可能有拐點。4設在上連續(xù)，在內可導，則：在內，與：在上之間關系是 。（A）是充分但非必要條件。 （B）是必要但非充分條件。（C）是充分必要條件。 （A）不是充分條件，也不是必要條件。5設、在連續(xù)可導，且，則當，則有 。（A）； （B）；（C）； （D）。6方程在區(qū)間內 。（A） 無實根； （B）有唯一實根； （C）有兩個實根； （D）有三個實根。三、求下列函數(shù)極限1 23 4四、證明下列不等式1 設，證明。 2 2. 當時，有不等式。五、已知，利用泰勒公式求。六、試確定常數(shù)與的一組數(shù)，使得當時，與為等價無窮小。七、設是滿足的實數(shù)，證明：方程在內至

6、少有一個實根。八、設函數(shù)和在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導， 且。證明：至少存在一點，使 九、設在上可導，試證存在， 使 。十、設在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，試證：存在 ，使得 。十一、作半徑為的球的外切正圓錐，問此圓錐的高為何值時，其體積V最小，并求出該體積最小值。第四章 不定積分 一.填空題1. 2.3. 4. 5已知'(x)=x,且，則(x)=_。6 _。二.單項選擇題1. 對于不定積分 ,下列等式中 是正確的. (A)； (B)； (C)； (D)；2. 函數(shù)在上連續(xù),則等于_. (A)； (B)； (C)； (D) 3. 若和都是的原函數(shù),則_. (A)； (B)； C),

7、(常數(shù))； (D),(常數(shù))；三.計算下列各題 1.； 2. ；3.； 4.；5.； 6.7. 8.9. 10.11. 12.13. 14. 15設 ，求 。四設,當0<x<1時求.五設為的原函數(shù),當時有,且, ,試求.六確定,使下式成立：七設的導函數(shù)的圖象為過原點和點(2,0)的拋物線,開口向下,且 極小值為2,極大值為6,求.第五章 定積分（1）一、 填空題1設函數(shù)在()上連續(xù)，則 。2設函數(shù)在0,4上連續(xù)，且，則f(2)= 。3 。4 。5 。6 。7 。8 。9= 。10函數(shù)= 則= 。二、 單項選擇題1 （A）0 （B）2 （C） （D）2若函數(shù)=，則等于 （A）、 (B

8、)、 （C）、 (D)、0.3定積分的值是 。（A）、0 （B）、2 （C）、 (D)、4設連續(xù)，且，若，則= .(A)、1/4 （B）、1 （C）、2 （D）、45若連續(xù)函數(shù)滿足關系=+ln2，則= 。（A）、 (B)、 (C)、 (D)、三、 計算下列積分。1 2. 3 3.5 6.四、 已知函數(shù)在 x=12 的鄰域內可導，且，求： 。五、 設函數(shù)在a,b上連續(xù)，且>0,=，證明： （1）.(x)2. (2).方程在區(qū)間（內有且只有一個根。六、 證明方程 =,在區(qū)間（0，+）內有且僅有兩個不同的根。七、 求函數(shù)=的極值和它的圖形的拐點。八、 證明：。第五章 定積分(2)一、 填空題1

9、 。2如果函數(shù)在上的最大值與最小值分別為M與m，則有如下估計式: 。3設m為奇數(shù)，則= 。4= 。其中= 5比較積分大小 6 二、 判斷題1 （ ）2 （ ）3 （ ）4 （ ）5由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此有 ( )三、選擇題1 （A）cosx （B） （C）-cos2x （D）2設在上連續(xù)，且 則 （A） （B）() （C） （D）3設= =,當x時，比是 無窮小（A）低階 （B）高階 （C）同階不等價 （D）等價4. = (A) (B) (C) (D)5設連續(xù)函數(shù)滿足：= 則= (A) (B)x+ (C) (D)+四、計算下列積分1 2. 3 4. 五、求連續(xù)函數(shù)滿足：六、設f（x）=試討

10、論在x=0處的連續(xù)性與可導性七、設在上二階連續(xù)可導，求證：八、設、在上連續(xù)，求證： 存在使得 第六章 定積分的應用 (1)一、 求拋物線y=-x2+4x-3及其在（0，3）和（3，0）處的切線所圍圖形的面積。二、 求雙紐線r2=a2sin2所圍圖形的面積。三、 求由x=2t-t2,y=2t2-t3所圍圖形的面積。四、 求由平面圖形y=cosx-sinx，y=0()繞X軸旋轉的旋轉體體積。五、 求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱及y=0繞X軸旋轉的旋轉體體積。六、 一立體圖形，其底面由星形線所圍成，用垂直于x軸的平面去截時，截面都是正方形，求它的體積。七、 用定積分方法證

11、明橢球的體積V=。八、 求曲線y=ln(1-x2)()的長。九、 求曲線r=asin3的長，。十、 求曲線y=1+asint,x=2+asint的長。十一、 半徑為r的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需作功多少？十二、 有一等腰梯形閘門，它的兩條邊底各長10米和6米，高為20米，較長的底邊與水面平齊，門面與水面垂直，計算閘門一側所受的水壓力。十三、 求y=在-3，3上的平均值。十四、 已知交流電流I=Imsin100在上的有效值為4，求Im.第六章 定積分的應用 (2)一、 求拋物線y2=4(x+1)與拋物線y2=4(1-x)所圍圖形的面積。二、 求兩橢圓

12、（a>0,b>0）公共部分的面積。三、 若曲線y=cosx ()與X軸，Y軸所圍成的圓形被曲線y=asinx,y=bsinx,(a>b>0),分成面積相等的三部分，試確定a,b的值。四、 設曲線y=x2-2x+4在點M（0，4）處的切線與曲線y2=2(x-1)所圍成的圖形為A求：（1） A的面積；（2） 將A繞Y軸旋轉而成的旋轉體的體積。五、 設x2+(y-a)2 16 (a>4)繞X軸旋轉一周的旋轉體的體積為160，求a .六、 證明：曲線y=sinx上相應于x從0變到的一段弧長等于橢圓：2x2+y2=2的周長。七、 已知兩點A（a,0）B(0,a)在星形線x=

13、acos3t y=asin3t ()上，求點M使 =八、 一塊邊長為3、4、5m，重500kg，面密度均勻的三角形鋼板，水平放置，求將此鋼板豎立在3m邊上需做多少功。九、 一底為8cm,高為6cm的等腰三角形膜片，鉛直地沉沒在水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面3cm，試求它每面所受的壓力。第九章 重積分一、填空題1 交換得 2 求曲線所圍成圖形的面積為 ，（a>0）3 設D為圍成閉區(qū)域，則化為化為極坐標下的二次積分的表達式為 4 設：，則= 二、 選擇題1 設積分區(qū)域D：是圓環(huán)：則二重積分= （A） （B） （C） （D） 2.下列結果中正確的是（ ）（A） 若D：，D1：，x

14、,y0則=4（B） 若D：，D1：，x,y0則=4（C） 二重積分的幾何意義是以Z=f(x,y)為曲頂，以O為底的曲頂柱體的體積。（D） ：，Z0，：，則三、 設I=，J=比較I與J的大小并說明理由。四、 計算五、 計算其中D為橢圓區(qū)域：六、 設f(x)在0,1上連續(xù)，求證：七、 求平面Z=上M0（1，-1，3）的切平面與曲面Z=所圍成的空間區(qū)域的體積。八、 計算，為平面曲線繞Z軸旋轉一周形成的曲面與平面Z=8圍成的區(qū)域。第十章 曲線積分與曲面積分 一、 填空題1設L是XOY平面上沿順時針方向繞行的閉曲線，且，則L所圍成平面區(qū)域D的面積等于 。2（）是某個二元函數(shù)的全微分，則a,b的關系為 。

15、3設L是圓周，取順時針方向，則與的大小關系是 。4設P(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域V上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，又是V的光滑邊界曲面之外側，由Gauss公式= 。5設是球面的外側，則= 。二、 選擇題1已知為某個函數(shù)的全微分，則a等于（ ）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）22設曲線積分與路徑無關，其中具有連續(xù)的導函數(shù)，且=0，則=（ ）（A） （B） （C） （D）13 設S是平面x+y+z=4被柱面截出的有限部分，則的值為（ ）（A）0 （B） （C） （D）三、計算1計算，L為（0，0）設到（2，2）的弧度。2 L為圓周，求3 計算，L為取逆時針方向。4 ，為柱面。5計算，為橢圓面的外側

16、。四、過點O（0，0）和A（，0）的曲線族中求出一條曲線L使沿該曲線從O到A的積分的值最小。五、設函數(shù)f(x)在內具有一階連續(xù)導數(shù)，L是y>0是的有向分段光滑曲線，起點A（1，2），終點B（4，），記（1）、求證：曲線積分與I的路徑無關。 （2）、計算I的值。第十一章 無窮級數(shù) 一、 判斷題1若收斂，則。 （ ）2若收斂，發(fā)散，則發(fā)散。 （ ）3級數(shù)加括號后不改變其斂散性。 （ ）4級數(shù)收斂的充要條件是前 n項和的構成的數(shù)列有界。 （ ）5若正向級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂。 （ ）6.若，且則和有相同的收斂性。 （ ）二、 選擇題1 當收斂時，與（ ） （A）必同時收斂。（B）必同

17、時發(fā)散（C）可能不同時收斂 (D）不可能同時收斂2 級數(shù)收斂是級數(shù)收斂的（ ）（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（B）充要條件 （D）既非充分也非必要條件3為任意項級數(shù)，若且，則該級數(shù)（ ）（A）條件收斂 （B）絕對收斂 （C）發(fā)散 （D）斂散性不確定4關于，則=（ ）（A） （B）2 （C） （D）0三、 填空題1 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為 。2 級數(shù)當a滿足條件 時收斂。3 冪級數(shù)的收斂半徑為 。4 若則= 。5 的麥克勞林級數(shù)為 。四、 判斷下列級數(shù)的斂散性。1 2. 3 4.五、 判斷下列級數(shù)的斂散性，如果收斂是條件收斂還是絕對收斂。1 2. 六、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間。1 2

18、. 七、 將下列函數(shù)展成在指定點的冪級數(shù)，并求出其收斂區(qū)間。1處） 2.=1處）八求級數(shù)在收斂區(qū)間內的和函數(shù)，并求的和。九 求證：十 將展成傅立葉級數(shù)。第十二章 微分方程 (1)一、 填空題1已知曲線y=y(x)過點（0， ）且其上任一點（x,y）處的切線斜率為xln(1+x2)，則f(x)= 2以為通解的微分方程是 （其中為任意常數(shù)）3。微分方程ydx+(c2-4x)dy=0的通解為 4微分方程的通解為 5已知某四階線性齊次方程有四個線性無關的解e-x,ex,sinx,cosx,則該微分方程為 二、選擇題已知函數(shù)y=f(x)在任意點x處的增量y=且當xo時，是比x更高階的無窮小量，y(o)=

19、，則y(1)等于 （A）2 （B） （C） （D）2 y=y(x)是微分方程的解，且，則f(x)在 （A） x的某個鄰域內單調增加 （B）x的某個鄰域內單調減少（C）x處的取極小值 （D）x處取極大值3一曲線通過點m(4.3),且該曲線上任意一點p處的切線在y軸上的截距等于原點到p的距離，則此曲線方程為 （A）（B）（C）（D）4下列方程中可利用,降為p的一階微分方程的是 （） （）（C） (D) 三、求解下列微分方程1.求ydx+(x2y-x)dy=0，滿足的特解，2.求的通解四、求的通解。五、已知，是某二階線性非齊次微分方程的三個解，求此微分方程。六、已知函數(shù)f(x)可微 ，且對任意實數(shù)x,y滿足：f(x+y)=,求此函數(shù)f(x).七、火車沿水平直線軌道運動，設火車質量為m,機車牽引力為F,阻力為a+bv,其中a,b為常數(shù)，