結(jié)構(gòu)力學(xué)-6章 位移計(jì)算課件

1、Displacement of Statically Determinate Structures AAAAAxAyPAxAy AHBxPPAHBHABABABBHAHAB相對(duì)線位移相對(duì)線位移BAAB相對(duì)角位移相對(duì)角位移 AAAPAxAyt 鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。 最大層間位移最大層間位移

2、1/800 層高。層高。(2) 超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求）施工要求（3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation), (Dummy-Unit Load Method) (Principle of Virtual Work)二、廣義力二、廣義力(Generalized force)、廣義位移、廣義位移(Generalized displacement) P PWMW MABMM

3、MMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(（1）剛體系的虛位移）剛體系的虛位移(功功)原理原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：要和充分條件是： 對(duì)于任何對(duì)于任何可能可能的的虛位移，作用于剛虛位移，作用于剛體系的所有外力所體系的所有外力所做虛功之和為零。做虛功之和為零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP1c2c3cKKKC1K1R2R3R剛體虛功方程為剛體虛功方程為:W =00 =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3計(jì)算公式為

4、計(jì)算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求1 局部變形時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算1K同1KMBKM 已知K點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)角，求B端位移1KM KKM0M1KB已知K點(diǎn)發(fā)生剪切位移，求B端位移K1K1KKKQQ01-適用于各種桿件體系適用于各種桿件體系(線性線性,非線性非線性

5、).對(duì)于由對(duì)于由線彈性線彈性直桿直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：組成的結(jié)構(gòu)，有：EIMGAkQEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 適用于線彈性適用于線彈性直桿體系直桿體系,dsMQNiiii 單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故也稱為提出，故也稱為Maxwell-Mohr MethoddsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 3.3 荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算一一.單位荷載法單位荷載法1.梁與剛架梁與剛架二二.位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式dsEIM

6、MiPip 2.桁架桁架dsEANNiPip EAlNNiP3.組合結(jié)構(gòu)組合結(jié)構(gòu) EIlNNdsEIMMiPiPip4.拱拱dsEANNEIMMiPiPip解：解：例例:求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA練習(xí)練習(xí):求圖示桁架求圖示桁架(各桿各桿EA相同相同)k點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEAqPQPM1 PiQiMxl dsEIMMGAQk

7、QEANNiPPPipii 例例 1：已知圖示粱的：已知圖示粱的E 、G,求求A點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi1Px2/)()(,)(2xlqxMlxxMPilhbqAdxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24設(shè)24GAlEIkMQ1001MQ 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì)形相比可略去

8、不計(jì).例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.解解:sEIMMPBydPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll例例 2：求曲梁：求曲梁B點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移(EI、EA、GA已知已知)ROBAP解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示解：構(gòu)造虛設(shè)的力狀態(tài)如圖示RddsNPNQPQRMPRMiPiPiPsin,sincos,cossin,sinP=1RPRPMPNPQdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii )(4443EIPRGAkPREAPR)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3鋼砼GERhkbhIbhAEAPRGAkPRE

9、IPRNQM4,4,4:3設(shè)12001MN4001MQ 小曲率桿可利用直桿公式近小曲率桿可利用直桿公式近似計(jì)算似計(jì)算;軸向變形軸向變形,剪切變形對(duì)位剪切變形對(duì)位移的影響可略去不計(jì)移的影響可略去不計(jì)例例: 1)求求A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 3.3 荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算一一.單位荷載法單位荷載法二二.位移計(jì)算公式位移計(jì)算公式 所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng)所加單位廣義力與所求廣義位移相對(duì)應(yīng),該單位該單位廣義力在所求廣義位移上做功廣義力在所求廣義位移上做功.三三.單位力狀態(tài)的確定單位力狀態(tài)的確定PAB2)求求A截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角3)求求AB兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移4)

10、求求AB兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角1P1P1P1PBA?AB(b)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1AB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力。 在桿件數(shù)量多的情況下在桿件數(shù)量多的情況下,不方便不方便. 下面介紹下面介紹計(jì)算位移的圖乘法計(jì)算位移的圖乘法. EIsMMPiPd (Graphic Multiplication M

11、ethod and its Applications)剛架與梁的位移計(jì)算公式為：剛架與梁的位移計(jì)算公式為：一、圖乘法sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(對(duì)于等對(duì)于等截面桿截面桿)(對(duì)于直桿對(duì)于直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為: EIycip 圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么?圖乘法是圖乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的的學(xué)生學(xué)生。例例. 試求圖示梁試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角端轉(zhuǎn)角.解解:sEIMMPB

12、dEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(1612142112EIPlPllEI為什么彎矩圖在為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正果為正?例例. 試求圖示結(jié)構(gòu)試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.解解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBEIll二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法二、幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法二次拋物線二次拋物線三角形三角形l/32l/3M圖圖21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM圖圖281qlBAq1例例:求圖示梁求圖示梁(EI=常

13、數(shù)常數(shù),跨長(zhǎng)為跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角B解解:三、圖形分解三、圖形分解MPMiabdc12dsMMMEIdsEIMMiiP)(121)(121dsMMdsMMEIii)3132(21)3132(21(1cddldcalEIa1b2Mi三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMiABmkN 20ABmkN 4040203/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(350

14、0)322020(110211EIEIB 當(dāng)兩個(gè)圖形均當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)為直線圖形時(shí),取那取那個(gè)圖形的面積均可個(gè)圖形的面積均可.4/PlMP三、圖形分解三、圖形分解B求求1Mi)(16)21421(12EIPlPllEIB 取取 yc的圖形必的圖形必須是直線須是直線,不能是曲不能是曲線或折線線或折線.AB2/ lEI2/ lP2/1能用能用 Mi圖面積乘圖面積乘MP圖豎標(biāo)嗎圖豎標(biāo)嗎?三、圖形分解三、圖形分解B求求1ABmkN 20mkN 40m10EIMPMi)(100)203260(110211EIEIB)(100)21102032601021(1EIEIB402060204020)(

15、100)21102032601021(1EIEIB三、圖形分解三、圖形分解B求求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql三、圖乘法小結(jié)三、圖乘法小結(jié)1. 圖乘法的應(yīng)用條件：圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，）等截面直桿，EI為常數(shù)；為常數(shù)；（2）兩個(gè)）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。應(yīng)取自直線圖中。cy2. 若若 與與 在桿件的同側(cè)，在桿件的同側(cè)， 取正值；取正值；反之，取負(fù)值。反之，取負(fù)值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖

16、形. 例例 1. 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。CD 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD 解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖 例例 2. 已知已知 EI 為常數(shù)，求鉸為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角 。C三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2qlAlP

17、BlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 圖示結(jié)構(gòu)圖示結(jié)構(gòu) EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求AB兩點(diǎn)兩點(diǎn)(1)相對(duì)豎向位相對(duì)豎向位移移,(2)相對(duì)水平位移相對(duì)水平位移,(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角相對(duì)轉(zhuǎn)角 。iMMP 練習(xí)練習(xí)11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB對(duì)稱彎矩圖對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘其反對(duì)稱彎矩圖圖乘,結(jié)果結(jié)果為零為零.1111iM 作變形草圖作變形草圖PPPl1111繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)

18、的利用。如：反彎點(diǎn)的利用。如：求求B點(diǎn)水平位移。點(diǎn)水平位移。練習(xí)練習(xí)解：解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意注意:各桿剛度各桿剛度可能不同可能不同iMl 練習(xí)練習(xí) 已知已知 EI 為常數(shù)，求為常數(shù)，求A點(diǎn)水平位移點(diǎn)水平位移 。Al1liMEIqlllqlEIEIycA2428132142解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqBlAMPq2ql)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解

19、：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求求B點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)。常數(shù)。AlPBllMPPlPl2A1Bl 2MPl 例例 已知：已知： E、I、A為常數(shù)，求為常數(shù)，求 。Cy ABCP2l2laD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖)(4482211432)4221(23EAPaEIPlaPEAlPllEICyABCP2laD4PlPM2/PNP2lABC12laD4lM2/1iN2l4. 5 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算 (Analysis of Displacements in a Statica

20、lly Determinate Structures Induced by Temperature Changes)4. 5 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算溫度作用溫度作用求求K點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.Wi =Nit + Qit +Mikt ds 關(guān)鍵是計(jì)算微關(guān)鍵是計(jì)算微段的溫度變形段的溫度變形dsMQNiiii 設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫設(shè)溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度度 ，上、下邊緣的溫差，上、下邊緣的溫差 ,線膨脹系數(shù)線膨脹系數(shù)為為 .0tt 12tttstutdd0 hththtthhtt211212110 )(微段的溫度變形分析微段的溫度變形分

21、析hsttdd 無(wú)剪應(yīng)變無(wú)剪應(yīng)變hsMtsNthstMstNdskMQNiiitttKydddd)(iitii00若若,/221hhh2120/ )(tttMiithtlNt)(0溫度引起的位移計(jì)算公式溫度引起的位移計(jì)算公式:hsMtsNtiitddi0對(duì)等對(duì)等 截截 面面 直直 桿桿:上式中的正、負(fù)號(hào)：上式中的正、負(fù)號(hào)：若若 和和 使桿件的同一邊使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。 Mt 例：例： 剛架施工時(shí)溫度為剛架施工時(shí)溫度為20 ，試求冬季外側(cè)溫度為，試求冬季外側(cè)溫度為 -10 ，內(nèi)側(cè)溫度為，內(nèi)側(cè)溫度為 0 時(shí)時(shí)A點(diǎn)的豎向位移點(diǎn)的豎向位移 。已知。已知 l

22、=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)CtCt0001030202522002010)(,)()(iiAyhtlNt0lMi1Nil )(125llhllh10121101)(.m0050例：例： 求圖示桁架溫度改變引起的求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)lNtiAB0Ni41aat)/(a4ttttaABa21a210a/1a/1a/1a/1a/1)( t 4(Analysis of Displacements in a Statically Determ

23、inate Structures Induced by Support Movement)1c2c3cKKKC1K1R2R3R變形體虛功方程為變形體虛功方程為:We =Wi We =1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3Wi =0 其中其中:計(jì)算公式為計(jì)算公式為:iiicCR例例1：求：求?CxCBAP=11AX1CY1AY解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)1c2c3cCBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)解：構(gòu)造虛設(shè)力狀態(tài)( )rad .)(00750211BxByiiAhlcR例例 2：已知：已知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0B

24、x m 06. 0By ?A , 求求制造誤差引起的位移計(jì)算制造誤差引起的位移計(jì)算)(.)(mmA272348118每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)8mm,求求由此引起的由此引起的A點(diǎn)豎向位移點(diǎn)豎向位移.118/mm4886m11A1118/118/118/lN原理的表述：原理的表述： 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功在虛位移上所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和功之和Wi。也即恒有如下虛功方程成

25、立。也即恒有如下虛功方程成立We = =Wi變形體的虛功原理變形體的虛功原理 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算利用變形連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力

26、功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計(jì)算利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wi

27、abab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功We,恒恒等于變形體各等于變形體各微段外力微段外力在微段在微段變形位移變形位移上作的虛功之和上作的虛功之和Wi。變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明: xq1.1.利用變形連續(xù)性條件計(jì)算利用變形連續(xù)性條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力分微段

28、外力分為兩部分為兩部分體系外力體系外力相互作用力相互作用力微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分體系外力功體系外力功d dWe相互作用力功相互作用力功d dWn微段外力功微段外力功 d dW= d dWe+d+dWn所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWe+ +d dWn =d dWe =We2.2.利用平衡條件條件計(jì)算利用平衡條件條件計(jì)算 所有微段的外力虛功之和所有微段的外力虛功之和 W微段外力功微段外力功分為兩部分分為兩部分在剛體位移上的功在剛體位移上的功d dWg在變形位移上的功在變形位移上的功d dWi微段外力功微段外力功 d dW= d dWg+d+dWi所有微段的外力功之和所有微段的外力功之和: : W=d dWi =Wiabab微段位移分微段位移分為兩部分為兩部分剛體位移剛體位移變形位移變形位移baab baba 故有故有We= =Wi成立。成立。abab b幾個(gè)問題幾個(gè)問題:1. 虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是條件。因此原理僅是必要性命題必要性命題。2. 原理的證明表明原理的證明表明:原理適用于原理適用于任何任何 (線性和非線性線性和非線性)的的變形體變形體，適用于，適用于任何結(jié)構(gòu)任何結(jié)構(gòu)。3.