【高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)突破】解不等式(2020-2021)

1、備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 難點(diǎn)佃解不等式 不等式在生產(chǎn)實(shí)踐和相關(guān)學(xué)科的學(xué)習(xí)中應(yīng)用廣泛， 又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要工具，所以 不等式是高考數(shù)學(xué)命題的重點(diǎn)， 解不等式的應(yīng)用非常廣泛，如求函數(shù)的定義域、值域， 求參 數(shù)的取值范圍等，高考試題中對(duì)于解不等式要求較高，往往與函數(shù)概念，特別是二次函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等有關(guān)概念和性質(zhì)密切聯(lián)系， 應(yīng)重視；從歷年高考題目看，關(guān)于解不等 式的內(nèi)容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的則是間接考查解不等式 難點(diǎn)磁場 a(x 1) ()解關(guān)于 x的不等式 1(a豐1). x -2 案例探究 例 1 已知 f(x)是定義在1, 1上的奇函數(shù)，

2、且 f(1)=1，若 m、n 1, 1 , z f (m) + f (n)- m+ nM0 時(shí) 0. m (1) 用定義證明 f(x)在1, 1上是增函數(shù)； 1 1 解不等式：f(x+ )v f( )； 2 x 1 若 f(x)wt2 2at+1 對(duì)所有 x 1, 1:, a 1, 1 恒成立，求實(shí)數(shù) t 的取值范 圍 命題意圖：本題是一道函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目，考查學(xué)生的分析能力與化歸能力， 屬級(jí)題目. 知識(shí)依托：本題主要涉及函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性， 而單調(diào)性貫穿始終， 把所求問題分解 轉(zhuǎn)化，是函數(shù)中的熱點(diǎn)問題；問題的要求的都是變量的取值范圍， 不等式的思想起到了關(guān)鍵 作用. 1 1 錯(cuò)解分

3、析：問中利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式時(shí)， x+ 1, 1 , 1, 1 2 X1 必不可少，這恰好是容易忽略的地方 技巧與方法：(1)問單調(diào)性的證明，利用奇偶性靈活變通使用已知條件不等式是關(guān)鍵， 問利用單調(diào)性把 f(x)轉(zhuǎn)化成“1”是點(diǎn)睛之筆. (1) 證明：任取 X1 0,又 X1 X2 0 , X1 _x2 二 f(X1) f(X2) 0,即 f(x)在1, 1 上為增函數(shù). 解： f(x)在1 , 1上為增函數(shù)，備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 _1蘭x +丄蘭1 一 2 - 1 3 *1 蘭- 1 解得：x|w xv 1, x R x -1 2 1 1 x +- 1 成立，故

4、 t2 2at0,記 g(a)=t2 2at,對(duì) a 1, 1 , g(a)0，只需 g(a)在1, 1 上的最小值大于等于 0, g( 1) 0, g(1)0，解得，tw 2 或 t=0 或 t2. t 的取值范 圍是：t|tw 2 或 t=0 或 t 2. 例 2設(shè)不等式 x2 2ax+a+2w 0 的解集為 M，如果M5 : 1, 4,求實(shí)數(shù) a 的取值 范圍 命題意圖：考查二次不等式的解與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系， 屬*級(jí) 題目 知識(shí)依托：本題主要涉及一元二次不等式根與系數(shù)的關(guān)系及集合與集合之間的關(guān)系， 以 及分類討論的數(shù)學(xué)思想 錯(cuò)解分析：M=._是符合題設(shè)條件的情況之一， 出

5、發(fā)點(diǎn)是集合之間的關(guān)系考慮是否全面， 易遺漏；構(gòu)造關(guān)于 a 的不等式要全面、合理，易出錯(cuò) 技巧與方法：該題實(shí)質(zhì)上是二次函數(shù)的區(qū)間根問題，充分考慮二次方程、二次不等式、 二次函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是關(guān)鍵所在；數(shù)形結(jié)合的思想使題目更加明朗 解：M5 : 1 , 4 有 n種情況：其一是 M=._ ,此時(shí) v 0;其二是 M 工._ ,此時(shí) 0,分三種情況計(jì)算 a 的取值范圍 設(shè) f(x)=x2 2ax+a+2，有 =( 2a)2 (4a+2)=4(a2 a 2) (1) 當(dāng) 0 時(shí)，av 1 或 a 2.設(shè)方程 f(x)=0 的兩根 X1, X2，且 X1V X2,那么 M=:禺, a +30 18 -

6、7a 0 a 0 a 1 或 a 2 M 5 : 1, 4時(shí)，a 的取值范圍是(一 1, ). 7 錦囊妙計(jì) 解不等式對(duì)學(xué)生的運(yùn)算化簡等價(jià)轉(zhuǎn)化能力有較高的要求， 隨著高考命題原則向能力立意 的進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，對(duì)解不等式的考查將會(huì)更是熱點(diǎn)，解不等式需要注意下面幾個(gè)問題： (1) 熟練掌握一元一次不等式 (組)、一元二次不等式(組)的解法. (2) 掌握用序軸標(biāo)根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法 . X2, M 1, 4 ：= 1 w x1 v x2w 4：= J (1) =0,且f(4) A0 J蘭a蘭4,且人0 ，解得: 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 (3)

7、 掌握無理不等式的三種類型的等價(jià)形式，指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式的幾種基本類型的解法 (4) 掌握含絕對(duì)值不等式的幾種基本類型的解法備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 (5) 在解不等式的過程中，要充分運(yùn)用自己的分析能力，把原不等式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為易解 的不等式 (6) 對(duì)于含字母的不等式，要能按照正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行分類討論 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 (x+1)2(x 蘭1) %)設(shè)函數(shù) f(x)= $2x+2(1 X1)，已知 f(a) 1,則 a 的取值范圍是( 1 1(x1) 1 A.( a, 2) U (- , +m) 2、填空題 2 、 a2 ?()已知 f(x)、g(x)都是奇函

8、數(shù)，f(x) 0 的解集是(a ,b),g(x)0 的解集是(三, -)，貝 U f(x) g(x)0 的解集是 _ . 2 3.( )已知關(guān)于 x 的方程 sin2x+2cosx+a=0 有解，則 a 的取值范圍是 _ 三、解答題 )已知適合不等式 x2 4x+p|+|x 3|w 5 的 x 的最大值為 3. (1)求 p 的值； x 的不等式 C 1(x) log p1 x(k R+) k 2 7 5. ( )設(shè) f(x)=ax +bx+c,若 f(1)=，冋是否存在 a、b、c R，使得不等式： 1 3 x2+ - w f(x) w 2x2+2x+ -對(duì)一切實(shí)數(shù) x都成立，證明你的結(jié)論.

9、 2 2 6. ( )已知函數(shù) f(x)=x2+ px+q,對(duì)于任意 0 R，有 f(sin 0 )w 0,且 f(sin 0 +2) 2. (1)求 p、q 之間的關(guān)系式； 求 p 的取值范圍； 如果 f(sin 0 +2)的最大值是 14,求 p 的值.并求此時(shí) f(sin 0 )的最小值. 1 ?.()解不等式 loga(x ) 1 x &.()設(shè)函數(shù) f(x)=ax滿足條件：當(dāng) x ( , 0)時(shí)，f(x) 1;當(dāng) x (0, 1時(shí), 不等式 f(3mx 1) f(1 + mx x2) f(m+2)恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍. 參考答案 難點(diǎn)磁場 7)0,解：原不等式可化為

10、： (a T)x (2 1 C.( , 2) U ( , 1) 2 1 D.( 2， )U (1 , + ) 2 x 1 若f(x)=，解關(guān)于 x -2 1 2 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 即(a - 1)x+(2 - a) (x 2) 0. a _2 當(dāng) a 1 時(shí)，原不等式與(x- )(x- 2) 0 同解. a _1 若匚2 2,即 0W av 1 時(shí)，原不等式無解；若 土三v 2，即 av 0 或 a 1,于是 a a -1 a _1 a _ 2 1 時(shí)原不等式的解為(一a, ) U (2 , + m). a _1 當(dāng) av 1 時(shí)，若 av 0,解集為, 2);

11、若 0vav 1,解集為(2, 匸2 ) a 1 a _1 a _2 a _ 2 綜上所述：當(dāng) a 1 時(shí)解集為(一m, )U (2, + m)；當(dāng) 0v av 1 時(shí)，解集為(2,- )； a 1 a _1 a _2 當(dāng) a=0 時(shí)，解集為.;當(dāng) av 0 時(shí)，解集為(二2 , 2) a 1 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1解析：由 f(x)及 f(a) 1 可得： a Z1 或丿1 丄_1 1 a 1 解得 av- 2,解得一 v av 1,解得 x 2 1 a 的取值范圍是(一m, 2) U (- - , 1) 2 答案：C 2解析：由已知 b a2 f(x), g(x)均為奇函數(shù)， 、 b a2

12、的解集是(, ).由 f(x) g(x) 0 可得： 2 2 a 1 2a +2 1 f(x) v 0 的解集是(一 b,- a2), g(x)v 0 或 0(x) 0 f(x) 0 0(x) 0,其解集不可能為x|x 3的子 集， lx2 4x+p|=x2 4x+p. 原不等式為 x2 4x+p+3 x 0, 即卩 x2 5x+p 2Iog8 , Iog8(1 x) v Iog8k,. 1 xv k,. x 1 k. 1 X k 1v xv 1, k R+，當(dāng) 0v kv 2 時(shí)，原不等式解集為x|1 kv xv 1；當(dāng) k2 時(shí), 原不等式的解集為x| 1v xv 1. 2 3 2 3 *

13、 X+ =2x +2x+ x= = 1,由 f(x) w 2x +2x+ 推得 2 3 f( 1) w . 2 2 1 3 3 由 f(x) x2+-推得 f( 1) , f( 1)=- 2 2 2 5 口，* “、 2 5 2(a+c)=5 , a+c= 且 b=1 , f(x)=ax +x+(- 依題意：ax2+x+(5 a) x2+1 對(duì)一切 x R 成立， 2 2 1 且厶=1 4(a 1)(2 a) w 0,得(2a 3)2w 0, 3 2 f(x)= x +X+1 2 易驗(yàn)證：3 x2+x+1 w 2x2+2x+ 對(duì) x R 都成立. 2 2 存在實(shí)數(shù) a= 3 , b=1 , c

14、=1，使得不等式：x2+- w f(x)w 2x2+2x+ -對(duì)一切 x R 都成 2 2 2 立. 6.解：(1)T 1 w sinB w 1, 1 w sinB +2w 3,即當(dāng) x : 1, 1時(shí)，f(x)w 0,當(dāng) x 1, 3時(shí)，f(x) 0，二當(dāng) x=1 時(shí) f(x)=0. 1 + p+q=0,. q= (1 + p) 2 (2) f(x)=x+px (1 + p), 當(dāng) sin 0 = 1 時(shí) f( 1) w 0 , 1 p 1 pw 0 , p0 (3) 注意到 f(x)在1, 3上遞增， x=3 時(shí) f(x)有最大值.即 9+3p+q=14 , 9+3p 1 p=14 , p

15、=3. 3 25 此時(shí)，f(x)=x2+3x 4,即求 x 1 , 1 時(shí) f(x)的最小值.又 f(x)=(x+)2 ，顯然 2 4 此函數(shù)在1, 1 上遞增. 當(dāng) x= 1 時(shí) f(x)有最小值 f( 1)=1 3 4= 6. 盧 1 5解：由 f(1)=-得 a+b+c=7，令 2 2 3 ” a b+c= ，故 2 a). 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 1-10 7. 解：(1)當(dāng) a 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組 x 1丄a L. X備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 備戰(zhàn) 2020-2021 高考數(shù)學(xué) 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范 2 2mxf(1 + mxx2) f(m+2) 恒成立，m 的取值范圍是(1, 0) 1 由此得 1 a .因?yàn)?1 a v 0，所以 xv 0, x (2)當(dāng) 0 v a v 1 時(shí)，原不等式等價(jià)于不等式組: v x v 0. 1 -a 1 -0 : 1 - ： a x 1 由得 x 1 或 xv 0,由得 0 v xv - 1 -a 1 綜上，當(dāng) a 1 時(shí)，不等式的解集是x|v 1 a 1 v xv 1 -a XV 0，當(dāng) 0v av 1 時(shí)，不等式的解集為 1 x|1