導(dǎo)數(shù)與定積分知識(shí)匯總(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高考數(shù)學(xué)-導(dǎo)數(shù)、定積分知識(shí)清單一 、導(dǎo)數(shù)的概念 （一）導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x0到x0+x之間的平均變化率，即= 。如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f （x）或y | x = x0即f （x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（例如：函數(shù)y = |x|在x = 0處得左極限與右極限不相等，所以函數(shù)y = |x

2、|在x = 0處不存在極限，所以在x = 0處不可導(dǎo)）（2）是自變量x在x處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟： 求函數(shù)的增量=f（x+）f（x）； 求平均變化率=； 取極限，得導(dǎo)數(shù)f (x)=。 （二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率 。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0）處的切線的斜率是f （x0）。相應(yīng)地，切線方程為yy0 = f （x0）（xx0）。 例題：1、已知曲線的一條切線方程是，則的值為 （ ） 或 或 2、若曲線的一條

3、切線與直線垂直，則的方程為 （ ） A B C D （三）幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ; ; ; ; . （四）兩個(gè)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 1.函數(shù)和（或差）的求導(dǎo)法則 設(shè)是可導(dǎo)的，則. 即兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù)等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差），該法則也可以推廣 到任意有限個(gè)函數(shù)， 即： 2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則 設(shè)是可導(dǎo)的，則，即兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo) 數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 特例：若C為常數(shù),則. 即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則 設(shè)是可導(dǎo)的，且，則. （簡(jiǎn)記為 （） ） 即兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于等于分子的導(dǎo)

4、數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積， 再除以分母的平方二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）確定函數(shù)的單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間） 1. 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果 ，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。 2. 如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)； 注： f（x）0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有f（x）0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f（x）0是f（x）遞減的充分非必要條件. 一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，在其余各點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例題：求的單調(diào)區(qū)間（二）極點(diǎn)與極值： 1. 曲線

5、在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜 率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；2. 極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù) 的極大值，極小值同理） 求函數(shù)極值的步驟: 求導(dǎo)數(shù) 求方程的根 列表 下結(jié)論。 3. 當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)， 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極大值； 如果在x0附近的左側(cè)0，右側(cè)0，那么是極小值.也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是=0 -（1）. 亦即 是極值點(diǎn) 此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn) -（2） 當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不

6、確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）. 注 （1）若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則 ，但反過來不一定成立。 例如：函數(shù)y = x3 在x =0處的導(dǎo)數(shù)為0，但是函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則x =0 不是函數(shù)的極值點(diǎn) （2）例如：，在點(diǎn)x=0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x=0是函數(shù)的極小值點(diǎn). 例題：1、函數(shù)，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則值為 A2 B.-2 C. D.4 2、設(shè)函數(shù)f(x)= （）求f(x)的單調(diào)區(qū)間； （）討論f(x)的極值。 解：由已知得，令，解得 。 （）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值 從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在

7、上 單調(diào)遞增。 （）由（）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。（三）最值： 最值定理：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f（x）在a，b上必有最大值與最小值。求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上的最值的步驟： 求函數(shù)f（x）在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù)f（x）在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)； 將函數(shù)f（x）的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。三、定積分的知識(shí)梳理 （一）定積分 1. 概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間 a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間

8、xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式:f (i)x（其中x為小區(qū)間長(zhǎng)度。在等分情況下，x = ），把n即x0時(shí)，和式的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即f (i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函 數(shù)，x叫做積分變量，f(x) dx叫做被積式。 2. 基本的定積分公式： （1）（2）（C為常數(shù)） （3）（4）（5） （6） （7） 練習(xí)（1） （2） （3） 解：（1） （2） （3） 3. 定積分的性質(zhì) （1）； （2） （3）。 （二）定積分的應(yīng)用 要點(diǎn)一：求平面圖形的面積 1. 由直線，軸及曲線所圍成的

9、曲邊梯形的面積. 若在上，如下左圖，則； 此時(shí)，定積分的幾何意義：直線，軸及曲線所圍成的曲 邊梯形的面積。（如下左圖） 若在上，如上中間圖，則; 此時(shí)，定積分的幾何意義：直線，軸及曲線所圍成的曲 邊梯形的面積的相反數(shù)。（如上中間圖） 如上右圖，由曲線，及直線x=a，x=b（ab）， 圍成圖形的面積公式為：.2. 由直線及曲線圍成的平面圖形的面積： （同1條中的）3. 任意平面圖形的面積 由任意曲線圍成的平面圖形總可以分割成若干個(gè)曲邊梯形，應(yīng)用定積分解決了求曲邊梯形 的面積問題，在理論上就解決了求任意平面圖形的面積問題.4.求由兩條曲線圍成的平面圖形的面積的解題步驟 （1）畫出圖形. （2）確定

10、圖形范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，定出積分上、下限.（3）確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置（積分變量為x） 或左、右位置（積分變量為y）. （4）寫出平面圖形面積的定積分表達(dá)式. （5）運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積. 例1：計(jì)算由曲線和直線所圍成的圖形的面積. （） 解法一 畫圖如下左圖，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），（8,4） （II） 解法二 畫圖如上右圖，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2），（8,4） （ 以y為積分變量） 例2：計(jì)算由曲線圍成的圖形的面積. 解：畫圖，求得交點(diǎn)（-1，1）及（3,9） 例3.計(jì)算由曲線圍成的圖形的面積. 解法一： （積分變量

11、為x） 解法二: （積分變量為y） 要點(diǎn)二：定積分在物理中的應(yīng)用 1. 物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的位移：做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的位移，等于其速度 在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即. 2. 變力做功：一物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且物體沿著與相同的方向從 移動(dòng)到，可以得到變力做的功. 例4：一輛汽車的速度-時(shí)間曲線如圖所示，求汽車在這1min內(nèi)行駛的路程解： 例5：如右圖，陰影部分面積為（ B ） Adx Bdx Cdx Ddx 例6：求函數(shù)的最小值解： 當(dāng)a = 1時(shí)f (a)有最小值1練習(xí)題 1. 若點(diǎn)P是曲線yx2ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線yx2的最小距離為 A1 B. C. D.解析：過點(diǎn)P作yx2的平行直線，且與曲線yx2ln x相切，設(shè)P(x0，xln x0)，則ky|xx02x0，2x01，x01或x0(舍去)P(1,1)，d.2. 若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為()A4xy30 Bx4y50 C4xy30 Dx4y30解析：y4x34，得x1，即切點(diǎn)為(1,1)，所以過該點(diǎn)的切線方程為y14(x1)，3、曲線yex在點(diǎn)(2，e