2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試owrd版

1、2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷解析1.若實數(shù)3滿足1隼2丫=】。84(2%)+ 1。§8(4%)，則；'：=.答案：128.解：由條件知1 12 1log2 兀=log, 2 十 Iog4/ + l°gg4 十 logg X =一十一log x+ -+ -log2 X，2 23 3解得臉工=7,故x=128.2 .在平面直角坐標(biāo)系宜萬中,閱。經(jīng)過點(0,0),(2,4), (3,3),則廁。上的點 到原點的距離的最大值為.答案：2#.解：記4(2. 4),3(3.3),圓。經(jīng)過點0,4 8.注意到/。以 = 90° (直線08 與的斜率分別為1和I),故3

2、為圓。的直徑.從而圓。上的點到原點O 的距離的最大值為|可| = 26.3 .設(shè)集合X = 1,2,.20), 4是X的子集，的元素個數(shù)至少是2,且/的 所有兀素可排成連續(xù)的正整數(shù)，則這樣的集合/的個數(shù)為.答案：190.解：套個滿足條件的集合N可由其最小元素。與最大元素力唯一確定，其中 。兒 這樣的(外b)的取法共有V。-190種，所以這樣的集合力的個數(shù) 為 190.4 .在三角形 4SC 中,BC 4. CA 5. AB 6 , W1 siii6 + cos6 =.22答案：S 64解：由余弦定理得8"=土逐產(chǎn)-妥£=%力圖均自招i 3 , 2 4 =1 sin A。14

3、1 , 32 / 43I cos A 4 4645.設(shè)9兀集合力=十叫aZ>£1.2.3, i是虛數(shù)單位.a二仿白,)是 4中所有元素的一個排列，滿足引五區(qū)，則這樣的排列a的個數(shù) 為.答案：8.解：由于|l+ik|2+i|=|l+2i|<|2+2i|c|3+i|=|l + 3ik|3+2i|=|2+3i|v|3+3ib故 z1 =1+L z2.z3 = 2+L l + 2i).z4 = 2 + 2Lz5, z6=3+ij+3i), "J = 3 + 2i,2+3i，4 =3+3i,由乘法原理知，滿足條件的排列a的個數(shù)為爐=8.6,已知一個止二棱柱的各條樓長均為3

4、,則其外接球的體積為.答案：孝穴解：如圖，設(shè)面49。和面48G的中心分別為。和。I，記線段。的中點為 P,由對稱性知，尸為止三棱柱外接球的球心，刃為外接球的半徑.易知PO_L4。，所以PA=PO2 +AO2 =二,丁二與自與故外接球的體積為?7.在凸四邊形.458中，BC2AD ,點P是四邊形4BCD所在平面上一點， 滿足力4 2020為卜PC F 2Q20PD = 6 .設(shè)分別為四邊形.方8與的面積, 則L.S解：不妨假設(shè)")= 2.3C=4.記".N.X.y分別是3.8.m.2。的中點, 則M.X.KN順次共線并且拉¥= XT YN 1.由于PAPC = 2P

5、Y 9 PB + PD= 2PX ,故結(jié)合條件可知PY + 2020尸才二0.故點P在線段XT上Rer = 1.設(shè)乂到 2021MV的距離為，由面積公式可知N7dI 二 Srs PM,h PM/、/'s S mg2MNm/Vy嘉3/72x320218 .已知首項系數(shù)為1的五次多項式/(x)滿足：，® = 8%/i = l,2,5,則f(x)的一次項系數(shù)為.答案：282.解：令g(x) = M-8.x,則g)也是一個首項系數(shù)為1的五次多項式,且g() = /(")-8"=0. = L 2. 5 ,故g(x)有5個實數(shù)根1,2,5 ,所以g(*)=(x- 1)

6、(叔一2)于是/(x) = (x-lXx-2)-(-5) + 8x,所以八>)的一次項系數(shù)等于11 +!+,+ ' + ')5! + 8 = 282.2 3 4 5；二、解答題，本大題共3小題，滿分56分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過 程或演算步驟.9 .(本題滿分16分)在磐空，,絲油的一個端點，3為短軸的一個 端點,3凡為兩個焦點.若斯.NX +麗.航 =0，4< tan /ABK . tan ZABF2 值嵬黃與自招解：由對稱性，設(shè)橢圓的方程為二十七二l(ab>0), /(小0)：8(02)， dT O氣(_qO),用©0),其中c =后二F.由

7、條件知： BFyBF2 (ca)(c - a) + (-c2=a2 +52 -2c2 0.4分所以 q? R - 2c2 = -a，- 3b, = 0 ,隨 a = £b, c - ySlh . 8分記。為坐標(biāo)原點，則tan/ABO 石,= tail / OBF2 = y/2 .bb12分 所以tan /HBF tan /ABF tan /ABO 4 / OB耳) taii(ZABO Z OBF# + 0 6-0 _ 116分l-y/i-yfz l + V3 V2 5、.竟費與自招10.（本題滿分20分）設(shè)正實數(shù)。力了滿足=46+1202,求的最小值.a h c解：由題設(shè)條件得J +

8、（2Z>-1）2 +（3c 2）2 = 3 ,5 分由柯西不等式得3a2+（2Z>-l）2+（3c-2）2j>（a + 2Z>-l + 3c-2）2, 即（a+2b+3c 349,故10分又由柯西不等式得2 3 I0一 +二 +二小2b+3c”（l + 2+3）, a b c J所以1 2 336715分十 + 一 士之 6,a b c 。+2。+ 3c當(dāng)a = b = c = 時等號成立.故上+二+之的最小值是6.20分a b c11.（本題滿分20分）設(shè)數(shù)列,，的通項公式為證明：存在無窮多個正整數(shù)加，使得% 4%-1是完全平方數(shù)、克英與白招證明：記% = H三叵.q

9、?=二，則 T02=L%= 1，于是 22所以q=1,“2 = 1. 乂注意到= f（i = L2）,有1 -02 1 +卡 01-2球2-蜷”，即q；2+1 Qi - +1%-2 =冊+1 + 4,篦= L2,，5 分由此易知，數(shù)列勺 的每一項都是正整數(shù).由計算易得端+城=7,故c c1 一 1-2" 3-2”+31 -In 1 c 2a l 142n.3%1一/ f2 .忑/ 一英 T沔元赍與自招%"一+城" 2_ qqj" '" 夕闖2 " "I22rr 12力 I2=而% -%=2-'15分所以，對任

10、意正整數(shù)，4“3。加-1都是完全平方數(shù).于是對于止奇數(shù)小，、二：競愛盲因目%74-1均為完全平方數(shù)一、（本題滿分40分）如因，兒治。,。后是圓。上順次的五點，滿足NPAQ = /_PEQ./8。一刀。一。后，點P,。分別在錢段4D,8E上，且P在線段。上.證明:證明：記S為4D與8E的交點，/為C。延長線與圓0的交點.注意到/I8C=BCO = COE,可設(shè)“尻CD所對的咧周角均為c , 8C, DE所 對的圓周角均為8.于是乙70 = 47。= .+凡/PZE = NCTEm + 6,NPSQ = ABDA + NDBE = c + 0 .20 分元貫習(xí)目招解：答案是肯定的. 設(shè) S2= l

11、,2,x,y ,2<x<j<19,10 分則 1 + 2+ +19 12xy = 2孫，所以2沖+K + y = 187 120 分故.（2x + l）（2y+l） = 375=15x25, 所以x = 7,y = 12是一組解.30分故取$= 3,4,5,6,7,8,10L13,14J5/6,17,18,19 ,S2= 1.2.7.12，則這樣的 £,S2滿足條件.40分注：直接給出例子并驗證給40分.三、（本題滿分50分）給定整數(shù)”22.設(shè)外出屹2>0,滿 足4+%+。=a +&+%且對任意i, j （1 <« < J <

12、; /i），均有a,%之,求“i十生Hra的最小值.解：記 S _ % +a2 H0,二 b 血.由條件知£ aiaj 2 £（4 + 4）=（« i）s.io 分LSi<J<n 1#於*又 E E卓=7±小2。分于是片=W>"2 £叫z廣廣？ E也N”竟貴與自招 r-lf=lu 1/ <i<j<n 于是S2=aJ=a； + 2 £ %aQ - + 2 £ a,aQ 2s 15-1） i-l少 1一1 八三640分 注意S>0,故S22.另一方面，當(dāng)=4 = 2（i = L

13、2,時，條件滿足，US 2n. 綜上，5 =。 + /+- +2的最小值為2萬.50分四、（本題滿分50分）設(shè)4”為不超過12的正整數(shù)，滿足：存在常數(shù)C,使 得a“+b”叫C（modl3）對任意正整數(shù)成立.求所有滿足條件的有序數(shù)對（%）. 解法1：由條件知，對任意正整數(shù)，有/ +/9 =。”門 +產(chǎn)（1110（113） .注意到13為素數(shù),4 b均與13互索,由費馬小定理知L三盧三i（m°dl3）. 因此在中取"=12,化簡得1+宜三爐+i（modi3）,故d =d3（modl3）.代入，得。”+。辦.三川2三a'S + bYmodis）,即（an - 方”）（1

14、，） = 0（modl3）.i20 分分兩種情況討論.一.與一招(i)若/三 i(mod 13), JUiJ b3 = a3b3 = b12 = 1 (mod 13) , 乂 1,2,，12, 經(jīng)檢驗可知G,bWl, 3,9.此時a" - b" °三a"十b"(mod 13).由條件知a十。三十三2(mod 13),從而 只能是a = b = 1.經(jīng)檢驗，當(dāng)®,與一(1,1)時，對任意正整數(shù)“，"十b"9模3余2為常數(shù), 滿足條件.30分(ii)若一至l(modl3),則由知，對任意正整數(shù)，有/三b”(modl3).特別地,a = d(modl3),故a - b .所以成三"二 a(modl3),即/(/ 1)( 4)三 o(iUodi3),故/ = -l(modl3).通過檢驗。=±124.，士6(111。(113),可知4 4,10,12 .經(jīng)檢驗，當(dāng)Q力=(4,4),(10,10).(12,時,對任意正整數(shù)，有/ + 葉 9 = a” + 廣9 = / Q +(/ 力三 0(口 13), 滿足條件