中考數(shù)學(xué)專題動態(tài)幾何之直角三角形存在性問題(含解析)

1、專題40動態(tài)幾何之直角三角形存在性問題數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解 這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以 動態(tài)幾何

2、問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。動態(tài)幾何形成的存在性問題是動態(tài)幾何中的基本類型，包括等腰（邊）三角形存在問題；直角三角形存 在問題；平行四邊形存在問題；矩形、菱形、正方形存在問題；梯形存在問題；全等三角形存在問題；相 似三角形存在問題；其它存在問題等。本專題原創(chuàng)編寫直角三角形存在性問題模擬題。在中考壓軸題中，直角三角形存在性問題的重點和難點在于應(yīng)用分類思想和數(shù)形結(jié)合的思想準確地進行分類。1 .如圖，RtABC中，/ACB=90, AC=BC=4cm CD=1cm若動點 E以1cm/s的速度從 A點出發(fā)，沿 著A-B-A的方向運動，至 A點結(jié)束，設(shè)E點的運動時間為t秒，連接D

3、E,當 BD弱直角三角,形時，t 的值為 秒?！敬鸢浮? V2或11J2或夜或7萬。 22【考點】 單動點問題，相等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用?！窘馕觥?RtABC中，/ACB=90, AC=BC=4cm . . / ABC=45 , AB=4<2 （cm）。BC=4cm CD=1cm 1. BD=3cm若Z DEB=9）° ,貝U BE= BD=3-2 （cm）。當 AE 時BE=AB-AE=4j7-t 5,即4虎ti B11當 BA 時, BE=AB - AE= t- AB = t- 42 , t-4 = t = -若NEDB=g(r,貝iBE=eED=?忑

4、(mh當月一B時j BE-A£-AE-4/2-t (cm),即4人-1t表鼻當 B-A時下 BE=AB -t-AB = t-4 JF , t短=3也=七=7或口綜上可得：t的值為:事種或? J2秒或0利膝7于科2 .如圖，。為坐標原點，點 B在x軸的正半軸上，四邊形 OAC更平行四邊形，反比例函數(shù) y 16在 x1第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點 A,與BC交于點F, OB=3褥，BF=qBG 過點F作EF/ OR交OA于點，點1P為直線EF上的一個動點，連接 PA POO若以P、O A為頂點的三角形是直角三角形，請求出所有點P的坐標?！敬鸢浮拷猓憾↑cA是反比例F函數(shù)y 在第一象限內(nèi)的圖象上的

5、點, x.可設(shè) A a, 16 a>0 oa四邊形 OACB平行四邊形.，BF=1BC,，F(xiàn) 3<3 -,-。22 a丁點IfTF是反比例函數(shù)y 在第一象限內(nèi)的圖象上的點,x一2a 33 - a 2、3。3 3 a22.A 2點8召F4J3,唯。33 EF/ QB,點P為直線EF上的一個動點，可設(shè) P p, 晅 。32根據(jù)勾股定理，得 0/=1°°, OP=p2 16 , AF2= 2 J3 p 2 - V 3 處p2 4< 3 p 上33333當/APO=g/時,有 0A、OPLAP“ 即一一pL-三=j333解得Pi=-=三出。二p-沔;叫端出,押)；

6、當/PAO=g(r時，有 OPOA4Api 即=蘭=FJ .3-39當/POA=90 時，有 AP2= OA2+ OP2,即 p2 4j3P 52100 P2 16 p16j3,3339P2 3人 , P3 K 產(chǎn)P4 16有 4v3。93綜上所述，滿足條件的點P的坐標為PP416<3, 話。493【考點】反比.例函數(shù)綜合題，單動點問題，曲線上點的坐標與方程的.關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用?！窘馕觥?先根據(jù)曲線上點的坐標與方程的關(guān)系和平行四邊形的性質(zhì)求出點A, F的坐標，再分別根據(jù)當/APO=90時，在 OA的兩側(cè)各有一點 P,得出Pi

7、, P2；當/ PAO=90°時，求出P3;當/ POA=90時，求出 P4 即可。3.在ABC中，C Rt ,AC 4cm, BC 5cm,點D在BC上，且以CD=3cm,現(xiàn)有兩個動點P、Q分 別從點A和點B同時出發(fā)，其中點 P以1cm/s的速度，沿AC向終點C移動；點Q以1.25cm/s的速度沿BC 向終點C移動。過點P作PE/ BC交AD于點E,連結(jié)EQ設(shè)動點運動時間為 x秒。B、D)上移動時，設(shè)為直角三角形。x(3) 2并寫出自變量/X的AR DE的長度;2EDQ的面積為y9m ) ,求y與月份x的函數(shù)關(guān)l系式,B Q D夫一JC以上：一二 /)一丁 EP | DC:.r.=

8、XWCTEA AP Bn£4x 55=Jp=l:.EA = xlDE = 5-AC 54r 44(2)= 二支.BO =2 *當點Q在ED上運動s秒后DQ二2 L 25孫則v =-xZ>2xC/= 1(4-xX2-1.25) = - -r+42-52即7與K的國ffiW析式為：二，三一gx+4,其中自變蚩的取值范圍是：O<X<LS(3)分兩種情況討論:當 EQD Rt時,顯然有 EQ PC 4 x,又Q EQ PAC, EDQ : ADCEQ DQAC DC E 目口 4 x 1.25x 2 即43J - r4P，解得 x 2.5解得 x 2.5 Q匚，C當 QED

9、 Rt時,/AQ CDA EDQ, QED C Rt , EDQ : CDAr解析】Cl)逋過AaEPsAaDCj列出比位1關(guān)系，R呵用含工的代封式表示AE、DE的長度(2) Q在BD上運動工秒后，求出DQ、CPj即可表示¥與時間工的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出日變量冗的取值范圍3 通過ZEQXKF, NQEH 分另選過三魚形相悅 列出比例關(guān)系,求出工的僅 說明AEDQ力直 角三角形.4.如圖，已知在平面直角坐標系中， 四邊形ABC端梯形，且BC/ AO其中A (6,0),B (3, J3 ) , / AOC=6 0, 動點P從點O以每秒2個單位的速度向點 A運動，動點Q也同時從點B沿B-C

10、-0的線路以每秒1個單位 的速度向點O運動，當點P到達A點.時，點Q也隨之停止，設(shè)點P, Q運動的時間為t (秒).y(1)求點C的坐標及梯形 ABCM面積；.(2)當點同一CO邊B0時，求4OPQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍； (3)以/O P, Q為頂形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請求出t.的值；若不能，請說明理由.(2)A %(t24t)22 t 3)(3)當t=1或t=2時， OPQ直角三角形【解析】試題分析：(1)作CM/L OA于點M,知CM *3 由/AOC=60易求 BM=1求出C點坐標；由B點坐標可求BC 的長，從而梯形面積可求；(2)用含有t的代

11、數(shù)式分別表示 OPQ的高和底，求出4OPQ的的面積即可表示出 S與運動時間t的函數(shù)關(guān) 系式；O)分點Q分別在邊比、配上運理寸進行討論7即可求出t的值.試題解析:(D作_Loa于點兒乙編c=qq" ,，/。制寸。 jTB (3,出，ECJ/AO, .；CM二底t殳OJTXj則箕=2九以犬=(小尸解得，。肝1, 0C-2f/.C <1, GTB 有"，BC=A'A(6,40A=6j -=三(2 十 K= 44 3(2)如圖1,當動點Q運動到OC邊時，OQ=4 t ,作 QGL OP / OQG=03°（)；又亨（t2 4t）(3)根據(jù)題意得出：0 t 3,當0 t 2時，Q在BC邊上運動，延長BC交y軸于點D,此時 0P=2t, OQ2 （J3）2 （3 t）2 , PQ2 （v13）2 2t （3 t）2/ P0& / POC=60 ,若A OPQ直角三角形，只能是/ OPQ=90或/ OQP=90 ,若/OPQ=90 ,如圖 2,貝U/ PQ=90° ,'，PQDO矩形,. OP=QD .，t=3-lQB解得t=1若/OQI,如