上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期(4月)模擬數(shù)學(xué)試題

1、上海市浦東新區(qū)建平中學(xué)2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期（4月）模擬數(shù)學(xué)試題學(xué)校:姓名：班級：考號：,21 .已知 A x| 1 , B x|log2(x 1) 1,則 AI B x2 .函數(shù)f (x) 3tan( 2x)的最小正周期為 .3.計(jì)算:limn3n ( 2)n3n 1 2n試卷第3頁，總4頁1024 .直線l的方程為x23y 1 25 .若實(shí)數(shù)a, b, m滿足2a5b6 .設(shè)常數(shù)a R ,命題存在x0,則直線l的一個法向量是.m，且2 1 2,則實(shí)數(shù)m值為a bR ,使x2 ax 4a 0"為假命題，則a的取值范圍為.7 .某微信群中四人同時搶 3個紅包（金額不同），假

2、設(shè)每人搶到的幾率相同且每人最多搶一個，則其中甲、乙都搶到紅包的概率為 .48 .如果函數(shù)y 3cos（2x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（一,0）中心對稱，那么| |的最小值為 .39 .如圖，在半徑為3的球面上有A、B、C三點(diǎn)， ABC 90°, BA BC ,球心O到平面ABC的距離是3匹，則B、C兩點(diǎn)的球面距離是 .2x 2 cosy10.設(shè)P x,y是曲線C :（為參數(shù)，02 ）上任意一點(diǎn)，則上y sinx的取值范圍是.402.4011 .已知 2x 3a1 a2x a3x La41x ,右數(shù)列 a1、a2、L、ak 1 k 41,k N是一個單調(diào)遞增數(shù)列，則 k的最大值為一. 1 ,12

3、.函數(shù)y 的圖象與函數(shù)y 2sin（x k 2,k 4, k Z）的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 2012,則滿足條件的整數(shù) k的值是.13 .已知“：區(qū)間a,b內(nèi)恰含兩個整數(shù).則以下結(jié)論正確的是（）A. b a 1”是“成立的充分條件B. b a 1”是“成立的必要條件C. b a 2”是“成立的充分條件D. b a 2”是“成立的必要條件14 .在空間給出下列四個命題：如果平面內(nèi)的一條直線a垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則 ! ；如果直線a與平面內(nèi)的一條直線平行，則 a /；如果直線a與平面內(nèi)的兩條直線都垂直，則 a ± ；如果平面內(nèi)的兩條直線都平行于平面，則a /.其中正確的個數(shù)

4、是A. JB. 2C. 3D, 415 .已知關(guān)于黑的一元二次不等式_二-64+廿£0的解集中有且僅有 3個整數(shù)，則所有符合條件的整數(shù)2的值之和是（）A . 13B. 18C. 21D. 2616 .已知點(diǎn)B（4,0），點(diǎn)P在曲線y2 8x上運(yùn)動，點(diǎn)Q在曲線（x 2）2 y2 1上運(yùn)動，ipbi2|PQ|則LPB-L的最小值為（）B. 4D. 617 .如圖，三棱柱中 ABC AB1cl，它的體積是15百,底面 ABC中，/ BAC=90° ,AB=4, AC=3, Bi在底面的射影是 D,且D為BC的中點(diǎn).(1)求側(cè)棱BBi與底面ABC所成角的大?。?2)求異面直線BD與

5、CAi所成角的大小.18 .四邊形ABCD如圖所示，已知 AB BC CD 2 , AD 2 73.(1)求 73cosA cosC 的值;(2)記4ABD與VBCD的面積分別是S,與S2,求S2 S22的最大值. 22219 .已知橢圓C：與-yy 1(a b 0)經(jīng)過定點(diǎn)E 1,，其左右集點(diǎn)分別為Fi, a2 b22F2且EF1EF22 J2 ,過右焦F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圈交于P, Q兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程：(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在線段OF2上是否存在點(diǎn)M (m,0)，使得以MP , MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.20 .對定

6、義在0, 1上的函數(shù)f (x),如果同時滿足以下三個條件：對任意xC 0, 1,總有f (x)刊f (1) =1;若 X1>Q X2>Q X1+X2W,有 f(X1+X2)> f(X1) +f ( X2)成立.則稱函數(shù)f (X)為理想函數(shù).(1)判斷g (x) =2X- 1(XC0, 1)是否為理想函數(shù)，并說明理由；(2)若f(X)為理想函數(shù)，求f (x)的最小值和最大值；(3)若f (x)為理想函數(shù)，假設(shè)存在xoC 0, 1滿足ff (xo) =xo, f (x0 ) =x 0 21 已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為Sn ，且滿足a1a a 3 ， an 1 Sn 3n ，

7、設(shè)bnSn 3n， n N* .(I )求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(n )若an 1 an , n n* ,求實(shí)數(shù)a的最小值；3,n 1(出)當(dāng)a 4時，給出一個新數(shù)列en ,其中en,設(shè)這個新數(shù)列的前n項(xiàng)bn,n2和為Cn,若Cn可以寫成tp (t, p N且t 1, p 1)的形式，則稱Cn為指數(shù)型和 ”. 問 Cn 中的項(xiàng)是否存在 “指數(shù)型和 ” ，若存在，求出所有 “指數(shù)型和” ；若不存在，請說明理由 .試卷第 4 頁，總 4 頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考答案第11頁，總16頁【解析】【分析】求出A與B中不等式的解集分別確定出A與B ,找出兩集合的交集即可.集合

8、A中不等式，當(dāng)x0時，解得:當(dāng)x 0時，解得：xA x|0 x 2,集合B中不等式變形得:10g2(x 1)1 log2 2 ,即 0 x 1 2,解得：1x 3 ,即 B x|1 x 3,則AI Bx|1 x2.故答案為:x |1 x2.本題考查不等式的求解、集合的交運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.冗2.一2【解析】首先化簡f(x) 3tan( 2x)3tan 2x .再根據(jù)公式T 即可求出最小正周期.因?yàn)楹瘮?shù)f (x) 3tan( 2x)3tan2x .所以最小正周期為:故答案為:本題主要考查了正切函數(shù)的最小正周期的求法，屬于基礎(chǔ)題13. 一3【解析】將原數(shù)列極限變成limn根據(jù)lim

9、nlimnn0 ,從而可求出原數(shù)列極限的值.limn3n( 2)n3n 12nlimn23n23故答案為:本題主要考查了求極限，解決此類問題關(guān)鍵是化簡，屬于基礎(chǔ)題4. (1,2)【解析】【分析】先將三階行列式化簡得出直線的一般式方程，再求出直線l的一個法向量即可.【詳解】1 0 2由x 2 3 0得直線的一般式方程為：2x 4y 7 0 ,所以直線l的一個法向量為y 1 2(1,2).故答案為：(1,2).【點(diǎn)睛】本題主要考查三階行列式的運(yùn)算和直線白法向量的問題，屬中等難度題5. 2拆【解析】【分析】2 1現(xiàn)結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的互化公式，表不出a,b,再結(jié)合換底公式表不出 一一 2,最后結(jié)合a b

10、對數(shù)運(yùn)算即可求解【詳解】b1._ 1,_21-由25m 可得alog 2 m,blog5mlogm2,-logm5,又一一2,即abab2logm 210gm5log m202,求得m2后故答案為：2、5【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)的互化，換底公式的用法，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題6. （ 16,0）【解析】【分析】將條件轉(zhuǎn)化為任意x R , x2 ax 4a 0恒成立，此時有，從而解出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】命題：存在x R ,使x2 ax 4a 0"為假命題，即x2 ax 4a 0恒成立，必須 ，即：a2 16a 0,解得 16 a 0,故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（16,0）,故答案為

11、：（16,0）.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，屬于中等題17.2【解析】【分析】 3221先求出基本事件總數(shù) n A4,其中甲、乙都搶到紅包包含的基本事件個數(shù)m C3A2A2,由此能求出其中甲、乙都搶到紅包的概率.【詳解】某微信群中四人同時搶 3個紅包（金額不同），假設(shè)每人搶到的幾率相同且每人最多搶一個,3則基本事件總數(shù)n A3 ,其中甲、乙都搶到紅包包含的基本事件個數(shù)mC32A；A；,22 1，其中甲、乙都搶到紅包的概率mC3 A2 A232213-n A44322- -1故答案為：-.2【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題8.4 一由y 3cos 2x得圖象

12、關(guān)于點(diǎn),0中心對稱知,34r 8f 0,即8-k kZ,3328即 k 一k Z .因此，的最小值為32| |mink 2 .6 min 6故答案為：一69.【解析】試題分析：由已知， AC是小圓的直徑.所以過球心。作小圓的垂線，垂足 O是AC的中點(diǎn).0c J（，3）2 （矩）2 也,222AC=3 &，BC=3 ,即 BC=OB=OC ./ BOC=,則B、C兩點(diǎn)的球面距離=一 x 3=.?？键c(diǎn):3球的幾何特征，球面距離.點(diǎn)評:10.3 .33 , 3中檔題，解有關(guān)球面距離的問題，最關(guān)鍵是突出球心，找出數(shù)量關(guān)系.x 2 coso o試題分析：曲線曲線C :可化為(x 2) y1 ,可

13、得曲線表示以C( 2,0)y sin為圓心，半徑為1的圓，又P x,y是曲線上一點(diǎn)，則上kOP ,即點(diǎn)O,P兩點(diǎn)連線的斜率， x當(dāng)p的坐標(biāo)為(°,'3)時，工有最小值為-當(dāng)p的坐標(biāo)為(,“3)時，y有最 2 2 x322 x大值為3,所以y的取值范圍為上,-i考點(diǎn)：簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，圓的參數(shù)方程.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了曲線的參數(shù)與普通方程的聯(lián)系，兩者可進(jìn)行互化，可根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，同時考查簡單的線性規(guī)劃求最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，屬于中檔試題，本題的解答中求出圓的普通方程，利用 y的幾何意義，轉(zhuǎn)化為圓上x的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間連線的斜率問題，求出

14、直線的斜率的范圍，即可得到結(jié)論.11. 17【解析】【分析】ak ak 1 一先由展開式通項(xiàng)求得 a根據(jù)可得ak最大，由此求得 k的最大值.ak ak 1【詳解】40Q 2x 3a1a2x2a3x40a4ix，展開式通項(xiàng)為Tki340 k2xk Ck0 340 k 2k xk, akk 141 k k 1C40 32,由于數(shù)列&、a2、L、41，k N是一個單調(diào)遞增數(shù)列,akak iakak iCk0，即40C40341 k341 k2k2kCk 2 342 k 2k 2C40 340 k 2k因此，k的最大值為17.故答案為：17.本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查項(xiàng)的系數(shù)最大值的求

15、法,屬于中檔題.12. 1002或 1003【解析】【分析】 1由題意可得函數(shù)y 的圖象與函數(shù)y 2sin <( 3 x 5)的圖象所有交點(diǎn)成對出現(xiàn),1 x且每一對關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，結(jié)合所有橫坐標(biāo)之和等于2012即可得到k的值.一.1解：函數(shù)y 的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，函數(shù)y 2sinx( k 2 x k 4)的圖象也1 x關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，如圖所示:1故函數(shù)y 的圖象與函數(shù)y 2sin 7x( k 2 x k 4)的圖象所有交點(diǎn)成對出現(xiàn),1 x且每一對關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，因?yàn)樗麄兊臋M坐標(biāo)之和為2012,當(dāng)x 1時，它們共有1006對交點(diǎn)，所以 k 4 1006或 k 4

16、1007解得k 1002或1003故答案為：1002或1003.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，屬于中等題13. B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，利用排除法進(jìn)行判斷即可【詳解】,1,313,一 當(dāng)a一，b，滿足b a 1成立，但在區(qū)間一，一內(nèi)只有一個整數(shù)1,故充分性不成2 22 2立，則A錯誤，,131 3當(dāng)a ,b,滿足b a2成立，但在區(qū)間一,內(nèi)只有一個整數(shù)1,故充分性不3 22 2成立，則C錯誤，若區(qū)間a,b內(nèi)恰含兩個整數(shù)，則滿足 b a 1,故B正確，當(dāng)a 0, b 2時，滿足b a 2成立，但在區(qū)間0,2內(nèi)有3個整數(shù)0, 1, 2,故必要性不成立，則D錯誤

17、，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題14. A【解析】本題考查空間線面關(guān)系的判定和性質(zhì).解答：命題 正確，符合面面垂直的判定定理.命題不正確，缺少a 條件.命題不正確，缺少兩條相交直線都垂直的條件.命題不正確，缺少兩條相交直線的條件.15. C若關(guān)于x的一元二次不等式x2 6x a 0的解集中有且僅有3個整數(shù)，則f 2 , 022 6 2 a, 02,f 1012 6 1 a 0解得 5<a?8,又 aC Z,，a=6, 7, 8.則所有符合條件的 a的值之和是6+7+8=21.故選C.16. B【解析】【分析】IPB |2.設(shè)圓心為F,可知F為拋物線v 8x

18、的焦點(diǎn)，并且最小時，pb經(jīng)過圓心F,設(shè) |PQ|P(x, y),則 |PB |2 (x 4)2 v2 (x 4)2 8x x2 16, |PQ| x 2 1 x 3,22-一|PB| x 16可得JL ,換兀后利用基本不等式求最值即可| PQ | x 3【詳解】解：設(shè)圓心為F,則F為拋物線y2 8x的焦點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線方程為 x2,設(shè)P(x,y), - IPB 12| PQ |需最大,由拋物線的定義：|PF | x 2,要使1PB-L最小，則IPQI如圖|PQ|最大時，經(jīng)過圓心 F,且圓F的半徑為1,.|PQ|PF| 1 x 3,且 |PB| 而 4)2y2 Jx2 16.22-|PB|2

19、x2 16' J,|PQ | x 3令 x 3 t(t 3),則 x t 3,2|PB|PQ|t 25 6t4 ,當(dāng)t 5時取“二；'此時x =2.| PB |2. LPB-L的最小值為4.|PQ|故選：B.本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)公式、準(zhǔn)線方程、拋物線的定義、圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程，屬于中等題.17.1 2 36【解析】【分析】1 B1D 面ABC, BBD就是側(cè)棱BB1與底面ABC所成的角，運(yùn)用棱柱的體積公式和 解直角三角形，即可得到所求值.本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考2取BiCi的中點(diǎn)E,連接EC, AE ,則ECAi（或其補(bǔ)角）為所求的異面

20、直線所成角的大小運(yùn)用解直角三角形，計(jì)算即可得到所求值.【詳解】作圖如下：答案第I0頁，總I6頁1依題意得BD 面 ABC,BiBD就是側(cè)棱BBi與底面ABC所成的角由 VABC A1B1cl S ABC B1D則 B1D 5V3, 2由D為BC中點(diǎn)，-4 3 B1D 15.3, 2BC "2 325,一 .5即有BD -. 2小一一5由 BD BD tan-tan2即有 tan 3 ,所以 -.3即側(cè)棱BBi與底面ABC所成角為-.32取BiCi中點(diǎn)E,連接EC、AE,則 ECAi（或其補(bǔ)角）為所求的異面直線所成角的大小本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考由BQ 面AB

21、C,BD PCE面 ABC P面 A1B1C1,所以CE 面A1B1C1, 故 CE A1E,一 AE tan ACE EC5_23K三,所以所求異面直線 B1D與CA1所成角為一.6【點(diǎn)睛】本題考查空間角的求法.主要考查直線和平面所成的角和異面直線所成的角的求法；考查直線與平面的位置關(guān)系；屬于中檔題；線面角和異面直線所成角的求解步驟：1作出所要求的角2證明所作的角即為所求的角(或其補(bǔ)角)3在三角形中，通過解三角形求角的大小或其角的三角函數(shù)值18. (1) 73 cos A cosC 1 (2)最大值為 14【解析】【分析】(1)利用余弦定理，求出 BD,即可求J3cosA cosC的值;(2

22、)求出S2 S；的表達(dá)式，1 cosC 后 1,即可求S2 S2的最大值.解：(1)在4ABD中，由余弦定理得cos AAB2 AD2 BD22AB ADBD ,16 8 石 cosA,答案第13頁，總16頁在VBCD中，同理可得DB 。8 *8cos C ,所以 16 8.3 cos A 8 8cosc 、3 cos A cosC 1.(2)依題意 S2 12 12cos2A, S2 4 4cos2C ,所以 2S2 S2 12 12cos2 A 4 4cos2 C8cos2 C 8cosC 128 cosC -14,2因?yàn)?2J3 2 BD 4,所以 8cosC (16 8席,16).22

23、122解得1 cosC 33 1,所以S2 S1 14,當(dāng)cosC時取等號，即S2 S2的最大2值為14.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形，解三角形是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，正確變形合理轉(zhuǎn)化， 把涉及到的量轉(zhuǎn)化到一個三角形內(nèi)求解，涉及求最值時可以適當(dāng)?shù)剡x取變量，把所求最值用變量表示，屬于中等題.X22119. (1) 一 y 1 (2)存在，m的取值氾圍為 。，二22【解析】【分析】(1)由橢圓的定義可求出 a的值，再把點(diǎn)E的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可求出b的值，從而得到橢圓C的方程；(2)先設(shè)點(diǎn)P, Q的坐標(biāo)以直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到 P, Q橫坐 標(biāo)的和與積，再利用菱形的對角線

24、垂直得到向量數(shù)量為 0,將坐標(biāo)代入后化簡得到 m與k的 關(guān)系式，可求出 m的取值范圍.【詳解】解：(1) .點(diǎn)E在橢圓上，且 EF1 EF2 242, 2a 2 2' a 、.2 ,211又定點(diǎn)£ 1,在橢圓上，T 1,2a2 2b2b 1 ,本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考2.橢圓C的方程為： y2 i ；2(2)假設(shè)存在點(diǎn)M (m,0)滿足條件,設(shè) P(xi, yi) , Q(x2,y2),直線 I的方程為：y k(x i),聯(lián)立方程y k(x2X 27 yi),消去y得: i(12k2)x24k2x 2k2 2 0,XiX24k22k2X|X22k2i

25、 2k28k28 0,LUIT 又MPm,yiUUUU ，MQX2m, V2UHTPQX2 xlyi ，LUITMPuuuuMQXiX2 2m, yiy2 ，由題意知LUIT UUUT LULT .(MP MQ) PQ(X2x1 2m)(X2Xi) (yi y2)(y2 yi)(X2Xi2m)(X2 Xi)(yiy2)0,XiX2x2 xi 2mk(yiy2) 0,即X2Xi2mk2Xi X20,4k22k12mk24k2i 2k20,k2m2m0, 0故存在點(diǎn)M (m,0)，使得以MP ,.一. iMQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，m的取值范圍為 0,-.本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓

26、，解決此類問題的關(guān)鍵是把直線代入橢圓利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化成向量之間的關(guān)系,屬于中等題20. (i)是；(2) f (x)取得最小值2, f (x)取得最大值3; (3)見解析.【詳解】答案第i3頁，總i6頁本卷由系統(tǒng)自動生成，請仔細(xì)校對后使用，答案僅供參考(1)顯然 f (x) =2X- 1 在0,1上滿足 f (x)f (1) =1.若 X1 >0, X2>Q 且 X1+X2W1,則有 f(X1+X2) f (X1)+f (X2)=2x1+x2 - 1 - (2X1 - 1) + ( 2X2 - 1) = (2X2 - 1) (2X1 - 1)故f (x) =2X-1滿足條件,所以

27、f (x) =2X- 1為理想函數(shù),(2)設(shè) X1 , X2C0, 1, X1VX2,貝U X2 X1 e (0, 1f(X2) =f(X2 X1)+X1 > f(X2 X1)+f(X1)2f (X2) f(X1)> f ( X2 - X1 )【詳解】答案第15頁，總16頁 f(X1) Wf(X2),則當(dāng) 0WXW時,f (0) Wf(x) Wf(1),在中，令 X1=X2=0,得 f (0) <2,由得f (0) >2,.f (0) =2,當(dāng) x=1 時，f (1) =3,當(dāng)x=0時，f (x)取得最小值2,當(dāng)x=1時，f (x)取得最大值3,(3)由條件知，任給m、nC 01,當(dāng) mvn 時，由 mvn知nme0, 1,- f (n) =f (nm+m) >f(n - m)+f (m) > f( m).(X0)> X0,則 f(X0)Wff(X0)=X0,前后矛盾;若:f (X0)VX0,則 f(X0)> ff(X0)=X0,前后矛盾.(X0)=X0.21.(I)詳見解析；(II)9;(III) C3為指數(shù)型和.