“折紙中的幾何學”(京教杯入圍)——北京101中學邱靜

1、北京市中小學第一屆京教杯”青年教師教學基本功展示活動教學設計折紙中的幾何學”北京市第一Q中學年級：初三 學科：數(shù)學 姓名：邱靜注：本課例是 北京教育學院教師教育數(shù)理學院2016年教師培訓項目協(xié)同創(chuàng)新”的首批示范課例，指導教師：王建明；也是市級規(guī)劃課題“基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學實驗教學研究”的 示范課例.【整體說明】 ：邱靜老師的 “折紙中的幾何學 ”一節(jié)課，是對整體把握數(shù)學課程（ UMC ）的一次非常有意義的嘗試， 是一次實踐活動課的新理解， 是一次數(shù)學核心素養(yǎng)的初 中數(shù)學教學中的很好落實。一、本節(jié)課的學科主要特點1. 本節(jié)課清晰地理解 “折紙幾何學 ”與 “歐式幾何學” 的異同。折紙幾何繼承了

2、歐式幾何的所有公理， 同時又利用折紙的具體操作， 擴大了歐式幾何的公理體系，特別是折紙幾何學中可以解決三次多項式方程的根。 本節(jié)課的三等點是折紙幾何 學與歐式幾何學尺規(guī)作圖的共同部分。2. 本節(jié)課通過在一個正方形的紙片折出 “三等分 ”點， 展現(xiàn)了經(jīng)驗幾何、 綜合 幾何與幾何代數(shù)化 （方程與函數(shù)用于幾何的研究） 的基本過程， 體現(xiàn)了學科知識 內容的縱向發(fā)展與橫向聯(lián)系。二、本節(jié)課的學生學習特點1. 學生的初次折紙（三等分點）往往都是依據(jù)直觀經(jīng)驗，在嘗試中尋找正 方形紙片邊緣的三等分點。這個學習過程與經(jīng)驗幾何的發(fā)展歷史是及其相似的。經(jīng)驗幾何與經(jīng)驗數(shù)學也是許多數(shù)學學習的開始。2. 初中學生對歐式幾何

3、公理化體系與公理化思想，已經(jīng)初步掌握。在學生實踐活動中或實踐活動后， 有些學生開始做出理性的思考： 如何用歐式幾何的公理體系，論證三分點的存在，如何用尺規(guī)作圖的方法 “折出 ”三等分點。這個過程 就是歐式幾何公理化思想運用的學習。3. 當正方形紙片邊緣的二分點與三分點都已經(jīng)折出 （或尺規(guī)作圖） 得到后，尋求正方形紙片相鄰邊緣的x分點與y分點，就是幾何代數(shù)化的學習。以上的三個階段， 學生的發(fā)現(xiàn)問題、 提出問題及解決問題的策略在不斷發(fā)展， 學生的一次 折紙活動就如一次幾何學發(fā)展歷史的濃縮版。三、本節(jié)課的數(shù)學核心素養(yǎng)六個數(shù)學核心素養(yǎng)，在本節(jié)課中主要體現(xiàn)了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模與直觀想象。1.

4、在學生第一次折出三等分點的學習中，首先是經(jīng)驗與直觀想象在發(fā)揮作 用。2. 直觀想象之后的學習，學生依據(jù)歐式幾何公里體系，把折紙抽象為正方 形的一條邊的三等分點，是建立在幾何抽象與幾何論證基礎上的。3. 在把二等分與三等分的情況，做一般化推廣后，數(shù)學模型就成為了必然的選擇 方程與函數(shù)成為了解決一般問題的基本模型。本節(jié)課的具體模型xy+x+y=1,實際上是一條雙曲線，對未來學生高中階段的函數(shù)學習提供直觀基礎。王建明教授授課題目折紙中的幾何學使用教材人教版九年級（上）授課年級初三設計思路1 .選擇 數(shù)學實驗”的原因：第一，在200萬年的發(fā)展中，可以說人類是通過動手 活動積累經(jīng)驗，再有邏輯推理；對學生

5、來說，雖然學習的幾乎都是現(xiàn)成的、理 性思維的內容，但是還應該有動手操作活動，這不僅符合課標要求，而且與人 類學觀點 爺人的發(fā)展和人類的發(fā)展是自相似的”保持一致.第二，作為北京市課題基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的數(shù)學實驗教學研究”的核心成員，進行過數(shù)學實驗的思考、嘗試，更將對數(shù)學實驗的探索和實踐作為自己的專業(yè)特色發(fā)展方向；2 .選擇 折紙活動”的原因：第一，折紙門檻低，操作方便，覆蓋面廣，第二，折紙有完整的公理體系保證，第三，期望像著名數(shù)學教育家波利亞所說的拿一個有意義又不復雜的題目， 去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題就好像通過一道門戶，把學生引入一個完成的領域.”；3 . 三條線的設計”：知識

6、技能方面：引導學生折紙得到邊的三等分的三種 方法，并感受數(shù)學實驗 思行結合”的特點；第二，通過折紙活動，初步感受幾 何學的幾個發(fā)展階段（經(jīng)驗幾何、綜合幾何、解析幾何、變換幾何等），從多角度認識幾何學的價值和多樣性；第三，在觀察、思考過程中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題，解決問題，切實培養(yǎng)創(chuàng)新意識學情分析1 .學生接觸過數(shù)學實驗（如剪紙折紙，制作模型等），但動手機會不多，動手能力不足，而且抽象思維還需加強，對數(shù)學思想方法的體會還不夠深刻；2 .雖然重點學習 古典幾何”、幾何變換”，也經(jīng)歷 幾何問題代數(shù)化”的過程，但 沒有較系統(tǒng)地了解幾何學以及數(shù)學史的發(fā)展階段，也沒有細致體會過其中的了不起的思想和價

7、值，對學科的崇拜、敬畏之心還須通過親身感受來建立教法分析為了體現(xiàn)數(shù)學實驗的特色，教學中讓學生獨立思考、充分操作；當學生思維有 障礙時，教師適時采用 啟發(fā)式”問題教學法，在學生發(fā)現(xiàn)問題之處，適當點撥，并 且進行提出問題的角度的指導，使教師一直站在學生思維的最近發(fā)展區(qū)上學法分析1 .學生利用已有的幾何知識、 代數(shù)知識、動手活動經(jīng)驗等作為研究新問題的基礎， 探究正方形的邊的三等分點，由此學生不僅會對三等分的構造有了一個新的認 識，而且期待他們對折紙問題甚至數(shù)學實驗操作活動有整體的認識和把握；2 .課堂上多次創(chuàng)造機會讓學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題，最終解決問題；3 .在今后的學習中，相信學生會更加

8、注重幾何圖形之間的關系以及與代數(shù)化解決 問題的聯(lián)系，認清幾何和代數(shù)的統(tǒng)一性和多樣性，擴寬思路，促進發(fā)散思維.教學目標1 .探究正方形的邊的三等分點的折紙方法；體會折紙等數(shù)學實驗中“思行結合” 的學習方式；2 . 了解幾何學的幾個發(fā)展階段及其特點，簡單了解其中數(shù)學史的內容；3 .培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力；了解提問題的角度等；4 .培養(yǎng)學生動手操作、推理、建模、表達及獨立思考、合作交流等能力與精神；教學重點1 .通過折正方形的邊的三等分點，讓學生了解幾何學的幾個發(fā)展階段及其特點；2 .在折紙過程中，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，并培養(yǎng)他 們的創(chuàng)新意識和能力；教學難點1

9、 .止方形的邊的二等分點的推理和構造過程；2 .幾何問題代數(shù)化的過程；3 .理解幾何學幾個發(fā)展階段之間的關系，特別是折紙幾何學與歐氏幾何學的關18 / 15系（折紙與尺規(guī)作圖的關系）主要流程在長達數(shù)千年的人類歷史長河中，可以說，幾何史就是數(shù)學史、人類文明史的縮影，無論是思想觀念的更新，亦是科學理論的創(chuàng)立，幾何學都扮演了開路先鋒的角色； 那么幾何學 的發(fā)展主要經(jīng)歷了哪些階段？代表人物和偉大的思想分別是什么？這節(jié)課， 我們就通過折紙 活動初步體會一下： 一. 環(huán)節(jié)一：問題引入1 .【問題1：對于一張正方形紙片，折疊一次，你最常見的操作是什么？（用兩張紙）? 學生（預設）：如圖1、2,對折，使相鄰頂

10、點重合，得到一個矩形；對折，使 得不相鄰頂點重合，得到一個等腰直角三角形；2 .【問題2：這些操作的數(shù)學原理是什么呢？? 學生（預設）：正方形具有對稱性.3 .教師肯定學生的回答，并提問，【問題3】對這兩種操作，從局部看，我們分別將邊和直角進行了一種分割，分別是什么呢？? 學生（預設）：邊的二等分，直角的二等分 .設計意圖:從問題1到問題3,從學生熟悉的內容入手， 一方面復習折紙的基本操作，另一方面引導學生將問題數(shù)學化；第三方面，為接下來學生提出問題，解決問題創(chuàng)設空間.4 .【問題4：我們容易分別將線段和直角二等分，你還想進行哪些操作呢？? 學生（預設）：（1）分別將邊、直角三等分，四等分，五

11、等分，黃金分割 （2）分別將任意線段、任意角二等分，三等分 、' （3）得到更豐富的封閉圖形.：等邊三角形，等腰三角形，平行四邊形，梯形 （4）? 教師總結：大家的想法非常豐富， 事實上，在原有結論和成果的基礎上提出問題的 常見角度：改變數(shù)量、改變位置、改變研究對象、改變運動的軌跡、狀態(tài)、速度等? 教師指導：按照 到易到難”的順序，這節(jié)課，我們主要研究邊的三等分點，希望學 到的技能，體會到的思想能夠幫助你解決你們提出來的其他問題設計意圖:數(shù)學實驗的設計主要注意兩點：不能為了突出數(shù)學的邏輯性而忽略學 生的差異性，也不能為了顯示實踐性而人為剔除數(shù)學的思維性.通過提出問題，分析問題，教師給出

12、提問題常見角度的指導，學生不僅有了研究的興趣，條理和方向，更重要的是在充分發(fā)揮自由想象和挖掘自己潛力的情況下，不知不覺中形成一種獨立思考的習慣二.環(huán)節(jié)二：推理操作（一）方法一：不斷嘗試【問題1】請大家回憶，你曾經(jīng)將正方形的邊三等分的方法是什么？（用第三張紙操作）? 學生（預設）：先將紙卷起，形成三層，再不斷調整，當認為調整到位時，再將紙 折平，得到邊的三等分點.? 教師鼓勵：這種方法的優(yōu)點是直觀，快速，應用性強，缺點是近似，不精確.而且這種折法再現(xiàn)了幾何發(fā)展第一個階段經(jīng)驗幾何階段，人們通過經(jīng)驗的積累產(chǎn)生了對幾何事物的簡單闡述.設計意圖一方面給這種方法一個明確的定位 一一雖不精確但快速，應用廣泛

13、；另一方 面，給出 經(jīng)驗幾何”的一個例子，為介紹幾何學的發(fā)展歷程做好鋪墊；第三，刺激學生開動 腦筋尋求精確的折法.【問題2】請同學們想一想，如何運用你的數(shù)學知識得到三等分點？（二）方法二：綜合推理1 .第一步，將問題數(shù)學化：? 教師引導學生將文字語言 三等分點”轉化為圖形語言和符號語言，如圖 3:設計意圖:學生的難點在于 不清楚已知和求證”，因此教師就此追問已知和求作分別 是什么；? 教師總結：三種語言相輔相成，各有優(yōu)勢：文字語言是母語，最為親切，便于敘述 和記憶；圖形語言直觀、生動，有利于引發(fā)形象記憶；符號語言的運用，使復雜的 數(shù)學推理成為可能，理性思維的基本品質之一是善于使用符號語言；AM

14、 1AD 31 3，.平行,MH 1BH 3 '2 .第二步，通過圖形和符號推理：【問題3】如何利用符號和圖形進行推理呢?（注：若學生反映不理想，教師可進行如下的啟發(fā)，但盡量讓學生思考和表達.）【問題】分子、分母誰更容易轉化？如何轉化？AM? 學生（預設）：利用矩形對邊相等，即 BC=AD, .比例式轉化為 BC設計意圖:這里省略了整體轉化面積等思路，目的是為了給第三種方法留出時間 【問題】如何得到這個比例式？（教師可以提示觀察這兩條線段的位置關系因此構造 叉形圖”，證明相似.）? 學生（預設）：如圖4,連接AC, BM,容易證明AAMHscbh,再構造AH 1 或者 一, "

15、;CH 3，【問題】哪個比例式容易構造？（教師提示學生觀察線段所在的長線段的位置）? 學生（預設）：第二個，前者出現(xiàn)在線段 BM上，后者出現(xiàn)在線段 ACAH 1【問題】如何得到 - -?（教師引導觀察兩條線段的位置一一共線，首尾相接）CH 3AH 1AH 1? 學生（預設）：如圖5,將 %轉化為 T ,即構造對角線的四等分點，CH3AC 4通過構造兩次線段中點即可 .A MD A MD圖4圖5設計意圖:因為有一定的操作難度，因此有些數(shù)學實驗會使學生陷入操作細節(jié)中，而 不是對整個實驗進行數(shù)學思考，不利于抓住試實驗的關鍵點.要改變這種局面，可以在學生實驗之初，教師提出圍繞目標的關鍵問題，激發(fā)學生對

16、實驗的整體思考，突出實驗的整體思維價值，這樣才能使實驗變得有章可循 學生在折三等分點時必須先思考：比例如何得到，如何轉化，如何將三等分轉化為四等分，如何折四等分 這實際上是研究三等AGAcAHAG分點的一個 遞進序列”（如圖），以此形成環(huán)環(huán)相扣的操作程序，更是培養(yǎng)學生逆向思維的 良好機會， 整體設計”可有效提升實驗的思維水平.AM _ 1 AH _ 1 AH _ 1記- 3 hC-3 AC " 43 .第三步，動手操作、總結提升、數(shù)學史話：? 教師指導：接下來我們將剛才分析的過程逆向進行，就能得到操作過程， 請大家先獨立完成，再在小組內展示交流 .（第四張紙）設計意圖無論是現(xiàn)場啟發(fā)還

17、是小組討論，亦或翻轉課堂等形式， 學生首先要獨立思考，只有獨立思考才可能產(chǎn)生見解，有見解才可能有交流的愿望， 并可能又激起新的思考； 這不僅是學習數(shù)學本身的需要，也是培養(yǎng)有獨立見解、勇于創(chuàng)新人才的需要教師總結并板書:對于邊的三等分，我們經(jīng)歷了從無到有“研究問題”的過程一一從尋常的二等分問題中發(fā)現(xiàn)可繼續(xù)探究的問題，再明確 提出探究邊的三等分問題，之后 分析解決問題，這就是有幾種方法解決問題，最后通過折紙得到邊的三等分點，即 一個完整的序列和順序；發(fā)現(xiàn)問題 提出問題 > 分析問題 .其中，分析問題過程中.用到的思考方法和知識基礎都源于公元前3世紀古希臘的歐幾里得建立的 “公理體系”，從那時開

18、始，幾何學進入 綜合幾何”時代； 最后，解決問題過程中，折紙得到邊的三等分點,又不同于折千紙鶴等按照步 驟操作，而是有思考有推理的，事實上，折紙等數(shù)學實驗通常推理和實踐相互 交織，是一種“思行結合”的學習方式；【問題4】我們再來研究問題，平面幾何中很重要的部分是幾何變換，從變換的角度，請觀察分別得到邊的二等分、三等分的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？（若學生反映不好， 可追問 分別通過哪種變換得到的？”）? 學生（預設）：分別是軸對稱變換、位似變換 .ADAMD教師指導：折紙活動蘊含幾何變換的內容 .事實上，這種折法透漏出一點 變換幾何 的味道，這是19世紀末，德國數(shù)學家克萊因創(chuàng)建的，它不僅使我們看到幾何

19、學的 一種新形象，更重要的是幾何學中對變換的研究”竟然推動了 “代數(shù)學”的發(fā)展 提問：從剛剛老師介紹的數(shù)學史的內容上，你能發(fā)現(xiàn)什么問題？學生（預設）：從公元前3世紀一直到19世紀，2000多年的時間跨度中，幾何 的發(fā)展又經(jīng)歷了哪些重要階段呢？教師引導：事實上，在 17世紀，有一位哲學家，數(shù)學家，對于平面內的線、 圖形等，竟然用方程或者函數(shù)表示出來，那他是誰呢？他天才的設想是什么呢？ 幾何學帶來怎樣的發(fā)展呢？我們通過下面的折紙活動切身感受一下；經(jīng)驗幾何古典幾何?變換幾何（動手實驗：如 測量、試驗等）古希臘歐幾里得的幾何原本 公兀前3世紀德國克萊因19世紀經(jīng)驗的積累建立公理體系變換群”的思想設計意

20、圖:本節(jié)課讓學生重點體會經(jīng)驗幾何、綜合幾何、幾何代數(shù)化這三種重要階段,變換幾何只簡單介紹，目的是試圖較為全面地展示幾何學的發(fā)展階段而已 （三）方法三：代數(shù)計算猜測 求解 證明 聯(lián)系 ' 拓展說明：對于方法三，不是直接進行代數(shù)計算，而是讓學生經(jīng)歷以上五個步驟，在 幾何問題代數(shù)化的過程中，解決三等分問題，再普遍聯(lián)系一一體會圖形、方程、函數(shù) 的統(tǒng)一性，最后拓展提升一一感受幾何問題代數(shù)化的強大功能 第一步、猜測一一在探索操作中發(fā)現(xiàn)有價值的結果：【問題1剛才我們折出了正方形的邊的二等分點與三等分點，現(xiàn)在讓這些三個分點出現(xiàn)在一個正方形中，如圖 8,你能提出什么問題？AD圖8學生（預設）：能否利用它

21、們得到的更多的圖形?若學生反應不佳，教師可提示其類比“邊的三等分點”的分析方法一一分析已知和 求作；已知是什么？（如圖 8,正方形、中點 巳 三等分點F, H）；如何利用已知？（兩點就可以連線，就可以當作折痕，就可以翻折操作）；求作什么？（得到有價值的圖形， 即直觀清晰美觀的圖通?？赡軙杏袃r值的結果）? 學生（預設）：如圖9, 10, 11, 12,分別是折疊一次，兩次，三次的結果：1）折兩次的學生甲：兩次折疊會重合，研究意義不大；2） 折兩次的學生乙：發(fā)現(xiàn) AB沿AE折疊后與AD沿AF折疊后在正方形內部重合;3）折兩次的學生丙：能折出一個直角；4）折三次的學生丁：能折兩個直角；5）折三次的

22、學生戊；能折出另一邊的三等分點；6）折三次的學生己；也能折出另一邊的三等分點；7）教師待乙敘述后鼓勵并點撥：第一、本節(jié)課只研究學生乙的發(fā)現(xiàn)，其他結果請同學們課卜研究；第二、對于學生乙的發(fā)現(xiàn)（兩條線段重合”），既可通過 經(jīng)驗幾何”來實現(xiàn)，又可 通過 綜合幾何”來證明，我們暫且將證明放下，來思考一個更為深入的問題：第二步、求解一一用 代數(shù)的”方法將求解一般化的結果：【問題2】你能將問題一般化嗎？（若回答不出，則直接問改為其他分點，若還能重合，兩個分點要滿足什么關系？ ”）學生（預設）：將問題一般化為：若 E、F不是二等分點也不是三等分點，它們滿足什么條件時，折疊之后還能使得AB和AD在正方形內部重

23、合？教師帶領學生分析“分點”的符號語言以及具體轉化方法，即在將邊長設為1的基一一 、一 1礎上，設BE 還是學生（預設）n如圖13,BE x更簡便;設正方形邊長為 1, BE=x, DF=y,在RtA ECF中，利用勾股定理得:(x y)222(1 x) (1 y),整理得：xy x y 1 ,整理得：y第三步、證明1 x;1 x通過代入一組特殊值，解決三等分問題:【問題3】借助函數(shù)關系，您能解決剛才那個學生（預設）：如圖14,當x1 I一時,2重合”的問題嗎？1y 1 ,即當點E是二等分點時,3F是DCADyF1-yG1-x C這是“芳 請同學在二等分點基礎上得到三等分點， 理”），此外還有

24、第二、第三定理,的一個三等分點.圖13? 教師介紹幾個重要內容：（1）這種折法在折紙領域的地位：實際上，賀和夫”發(fā)現(xiàn)的折法（芳賀折紙第一定們課下先查閱資料，再動手操作；（2）幾何問題代數(shù)化的理解及其意義：這種方法有別于 純幾何推理”，通過建立方程、構造函數(shù)、代入數(shù)值計算得到； 這是 幾何問題代數(shù)化”的典型做法，也是解析幾何 的主要思想一一這種想法這是法國數(shù)學家笛卡爾在17世紀創(chuàng)建的，他的偉大之處在于不僅為幾何學帶來了新的發(fā)展，而且揭示數(shù)學的內在統(tǒng)一性【問題4此后，幾何學又經(jīng)歷了怎樣的發(fā)展？請大家課下查閱資料，讓大咖們智慧之 光照耀我們學習的道路.設計意圖教師提示學生思考幾何學的發(fā)展階段，盡量展

25、示幾何學的發(fā)展的連貫性經(jīng)驗幾何古典幾何解析幾何變換幾何近現(xiàn)代幾何學（動手實驗：如 測量、試驗等）歐幾里得（古希臘）幾 何原本公元前3世紀笛卡爾（法）17世紀克萊因（德） 19世紀末?經(jīng)驗的積累建立公理體系幾何問題代數(shù)化變換群”的思想第四步，聯(lián)系 一一通過比較兩組對應值的關系，將顯性的圖形對稱性，以及隱性的方 程、函數(shù)的對稱性挖掘出來，并相互對應，揭示數(shù)、形的內在統(tǒng)一性：【問題5】對于這個圖形和函數(shù)關系? 學生（預設）：如圖15,當x是DC的一個二等分點.y ,你還能提出哪些問題？1 X1 ,1，-、一，八 L，時，y ,即當點E是三等分點時，能得到32【問題6】這是通過函數(shù) 代值”得到的結果，

26、你能從其他角度解釋這種神奇的關系嗎?學生（預設）：從圖形的角度看，正方形具有軸對稱性， AC所在的直線是正方形的 對稱軸；教師可以引導學生觀察方程，教師點撥：此外，從兩個分點x, y滿足的方程xy x y 1也能看出對稱”，左邊的代數(shù)式是對稱式”-任意交換兩個元的 位置，多項式不變，這是數(shù)與形的統(tǒng)一，數(shù)與形的結合1 x - 一，一【問題7】請同學們大膽想象，利用方程 xy x y 1得到的函數(shù)y =是否也具 1 x有對稱性呢？1 x （ 1 x） 22,一、一一 ，一 2? 學生（預設）：y （） 2 1 ,可發(fā)現(xiàn)該函數(shù)是雙曲線 y -1 x 1 x x 1x2向左、向下平移1個單位得到的，所

27、以和 y 一有相同的對稱軸y x。? 此時教師展示幾何畫板圖形中的函數(shù)圖像，以及其中一條對稱軸 y x,如圖16, 利用對稱性可知，點（x, y）與點（y, x）都在函數(shù)圖像上，從函數(shù)具有對稱性的角度給出了解釋.設計意圖:第一，向笛卡爾致敬： 笛卡爾的偉大之處是將形（包括點、線、面）和 數(shù)”兩個對立的 對象統(tǒng)一起來，建立圖形和方程、函數(shù)的對應關系，這個材料就是難得的好例子一一讓學生 體會數(shù)形結合： 對稱性”不僅是 形的”，直觀的，而且是 數(shù)的”，精確的一一既蘊含在方程1 x ,xy x y 1的 對稱式”中，又體現(xiàn)在函數(shù) y 的兩次對應值中；1 x第二，向阿蒂亞致敬： 阿蒂亞在數(shù)學的統(tǒng)一性中概

28、括說：在數(shù)學中，幾何是 視覺 思維”占主導地位，而代數(shù)則是 宥序思維”占主導地位，這種區(qū)分也許可以用另一對詞刻畫， 即洞察”對 嚴格”，兩者在真正的數(shù)學研究中起著本質的作用.我們的目標是培養(yǎng)學生發(fā)展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的.幾何并不只是數(shù)學的一個分支，而且是一種思維方式，他滲入數(shù)學的所有分支.第五步，拓展 一一讓學生體會幾何問題代數(shù)化的強大功能:【問題8繼續(xù)剛才的研究方法，你還想研究哪些問題?，21，學生（預設）：如圖17,當x 時，y即由三等分能得到五等分點;35如圖18, x如圖19, x1,3, 八廣，一、一一時，y即由四等分能得到五等分點;453 13時，y，即

29、由四等分能得到七等分點;4 7A1BA1BB3 x =-4EC 1-x圖17圖18圖19教師提示：通過函數(shù)，我們可以得到更為一般而且更為豐富的結果，這些都是幾何問題代數(shù)化的強大之處.設計意圖:思維訓練是本節(jié)課的第三條線，通常來說，發(fā)現(xiàn)問題的價值高于解決問題：先將具體的二、三等分一般化為x,y等分點，直接上升到用數(shù)學解決問題，讓學生從計算1 x中脫身出來，將精力放在思維層面；再建立函數(shù)y ,清晰明了地表示兩者；最后將1 x二、三等分作為函數(shù)的一對對應值出現(xiàn)， 通過函數(shù)的對應關系給出更多的分點關系， 既解決 了操作中的疑惑，又體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的過程和強大， 也是從操作一發(fā)現(xiàn)問題一解決問 題，從

30、特殊一一般一特殊的研究嘗試.三.環(huán)節(jié)三、課堂小結如何總結一節(jié)課的收獲呢？1 .知識技能：折正方形一邊三等分點的幾種方法等；2 .思想方法：函數(shù)方程思想，數(shù)形結合等；研究問題方法：由易到難等；3 .學習形式：折紙（數(shù)學實驗），數(shù)學實驗的特點 直觀，操作性強，推理和操作 相互交織，思行結合；4 .問題是數(shù)學的心臟！一一哈爾斯（美）！對于問題，研究順序是什么呢？發(fā)現(xiàn)問題一一提出問題一一分析問題一一解決問題；? 其中前兩個環(huán)節(jié)最為重要，提出一個問題往往比解決一個問題更有價值，因為前者包含更多的想象力和創(chuàng)造力?。◥垡蛩固梗?? 提出問題的常見角度有改變數(shù)量、改變位置、改變對象、改變運動軌跡、狀態(tài)、速度

31、等;5.數(shù)學史話：幾何發(fā)展史：經(jīng)驗幾何古典幾何解析幾何變換幾何近現(xiàn)代幾何學（動手實驗：如 測量、試驗等）歐幾里得（古希臘）幾何 原本公元前3世紀笛卡爾（法）17世紀克萊因（德） 19世紀末?經(jīng)驗的積累建立公理體系幾何問題代 數(shù)化變換群”的 思想折紙的發(fā)展史：歷史總是驚人的相似！數(shù)學史也不例外.歷史上很多的數(shù)學趣題吸引了人們來研究，有的甚至發(fā)展出數(shù)學新的分支，如：對尺規(guī)作圖不可能問題”的研究開創(chuàng)了對圓錐曲線的研究等；類似的，折紙也是有趣有內涵的數(shù)學問題，比如：藤田文章給出折紙七公理，建立一種比歐式幾何學擴大化的折紙幾何學，研究發(fā)現(xiàn)折紙等同于解三次方程，比能解決二次方程問題的尺規(guī)作圖更加強大，能實現(xiàn)尺規(guī)作圖無法完成的任務，如任意角的三等分（如圖21）囹216. 探究？迷惑？比如：繼續(xù)探究正