阻抗匹配與史密斯(Smith)圓圖基本原理

1、(Smith) 圓圖：基本原理摘要：本文利用史密斯圓圖作為 RF 阻抗匹配的設計指南。文中給出了反射系數(shù)、阻抗和導納的作圖范例，并給出了 MAX2474 工作在 900MHz 時匹配網(wǎng)絡的作圖范例。事實證明，史密斯圓圖仍然是確定傳輸線阻抗的基本工作。在處理 RF 系統(tǒng)的實際應用問題時，總會遇到一些非常困難的工作，對各部分級聯(lián)電路的不同阻抗進行匹配就是其中之一。一般情況下，需要進行匹配的電路包括天線與低噪聲放大器(LNA) 之間的匹配、功率放大器輸出 (RFOUT) 與天線之間的匹配、 LNA/VCO 輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證信號或能量有效地從 “信號源 ”傳送到 “負載

2、 ” 。在高頻端，寄生元件(比如連線上的電感、板層之間的電容和導體的電阻)對匹配網(wǎng)絡具有明顯的、不可預知的影響。頻率在數(shù)十兆赫茲以上時，理論計算和仿真已經(jīng)遠遠不能滿足要求，為了得到適當?shù)淖罱K結(jié)果，還必須考慮在實驗室中進行的 RF 測試、并進行適當調(diào)諧。需要用計算值確定電路的結(jié)構類型和相應的目標元件值。有很多種阻抗匹配的方法，包括? 計算機仿真： 由于這類軟件是為不同功能設計的而不只是用于阻抗匹配， 所以使用起來比較復雜。設計者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。設計人員還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。 另外， 除非計算機是專門為這個用途制造的，否則電路仿真軟件不可能預裝在計算機

3、上。? 手工計算： 這是一種極其繁瑣的方法，因為需要用到較長( “幾公里 ”) 的計算公式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復數(shù)。? 經(jīng)驗： 只有在 RF 領域工作過多年的人才能使用這種方法。總之，它只適合于資深的專家。? 史密斯圓圖： 本文要重點討論的內(nèi)容。本文的主要目的是復習史密斯圓圖的結(jié)構和背景知識，并且總結(jié)它在實際中的應用方法。討 論的主題包括參數(shù)的實際范例，比如找出匹配網(wǎng)絡元件的數(shù)值。當然，史密斯圓圖不僅能夠 為我們找出最大功率傳輸?shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡，還能幫助設計者優(yōu)化噪聲系數(shù)，確定品質(zhì)因數(shù)的影響 以及進行穩(wěn)定性分析?；A知識在介紹史密斯圓圖的使用之前，最好回顧一下RF環(huán)境下（大于100MHz） IC

4、連線的電磁波傳 播現(xiàn)象。這對RS-485傳輸線、PA和天線之間的連接、LNA和下變頻器/混頻器之間的連接 等應用都是有效的。大家都知道，要使信號源傳送到負載的功率最大，信號源阻抗必須等于負載的共腕阻抗，即：Rs + jX s = R L - jX L圖2.表達式Rs + jX S = R L - jX L的等效圖在這個條件下，從信號源到負載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另外，為有效傳輸功率，滿足這個條件可 以避免能量從負載反射到信號源，尤其是在諸如視頻傳輸、RF或微波網(wǎng)絡的高頻應用環(huán)境更 是如此。史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個圖。正確的使用它，可以在不作任何計算的前提 下得到一個表面上看非

5、常復雜的系統(tǒng)的匹配阻抗，唯一需要作的就是沿著圓周線讀取并跟蹤 數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù)（伽馬，以符號r表示）的極座標圖。反射系數(shù)也可以從數(shù)學上定義為 單端口散射參數(shù)，即S11 。史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗，而是用反射系數(shù)R,反射系數(shù)可以反映負載的特性（如導納、增益、跨導），在處理RF頻率的問題時R更加 有用。我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比:圖3.負載阻抗負載反射信號的強度取決于信號源阻抗與負載阻抗的失配程度。反射系數(shù)的表達式定義為:(cqu 2 1)Yrl ZL -十 Zn由于阻抗是復數(shù)，反射系數(shù)也是復數(shù)。為了減少未知參數(shù)的數(shù)量，可以固

6、化一個經(jīng)常出現(xiàn)并且在應用中經(jīng)常使用的參數(shù)。 這里Z0 （特 性阻抗）通常為常數(shù)并且是實數(shù)，是常用的歸一化標準值，如 50Q、75Q、10OQ和600Q 。 于是我們可以定義歸一化的負載阻抗：卜 jx據(jù)此，將反射系數(shù)的公式重新寫為:! ,= l l+ |1,=紅上=化，乙卜乙=三1 = - 1CqU 2.3)Z,+/+4”乙，J + 1 2二+】從上式我們可以看到負載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關系。但是這個關系式是一個復數(shù)，所 以并不實用。我們可以把史密斯圓圖當作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖，方程必需重新整理以符合標準幾何圖形的形式（如圓或射線）z = r + 揉=-= +十" （t

7、qu 2,4）首先，由方程2.3求解出；T f并且1一口-不i + r2 -?.r 十工F尸f(cqu 2.5)令等式2.5的實部和虛部相等，得到兩個獨立的關系式:5F1 tr； - 2rr +1;2L+c2 -2.r, + r/(i?qu 2.6)t亡qu 2.7)重新整理等式2.6，經(jīng)過等式2.8至2.13得到最終的方程2.14。這個方程是在復平面（Fj ri） 上、圓的參數(shù)方程（x-a） 2 + （y-b）2= R2 ,它以（r/r+1,0）為圓心，半徑為1/1+r . 2jFr += 1 ； (equ 2 一劭F; + r.r； 2.trr +，=：書工；=-r%qu 2.0|(Id-

8、 r),r； -2rVy + O' I 】，： =17，(equ 2.10)L 一二二 4；=F2 JI)r+II+ri 2 J' _ r- i M I - /,r；-.rp 4-y+r；-=-&qu 2.12)r+1 (f + 1)F4-1 + r,_/1 7" r'1(C -t)' +G' =7+-r = -r依卵工0r +11 + r (1 + r)-(1 + r(rT>，十=' JJ 4-11 + J-equ 2J4>更多細節(jié)參見圖4a圖4a.圓周上的點表示具有相同實部的阻抗。例如，r = 1的圓，以（0.5

9、, 0）為圓心，半徑為0.5。它包含了代表反射零點的原點（0, 0）（負 載與特性阻抗相匹配）。以（0, 0）為圓心、半徑為1的圓代表負載短路。負載開路時，圓退化為一個點（以1,0為圓心，半徑為零）。與此對應的是最大的反射系數(shù)1, 即所有的入射波都被反射回來。在作史密斯圓圖時，有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個方面：?所有的圓周只有一個相同的，唯一的交點（1, 0）。?代表0Q、也就是沒有電阻（r = 0）的圓是最大的圓。?無限大的電阻對應的圓退化為一個點（1,0）?實際中沒有負的電阻，如果出現(xiàn)負阻值，有可能產(chǎn)生振蕩。?選擇一個對應于新電阻值的圓周就等于選擇了一個新的電阻。作圖經(jīng)過等式2

10、.15至2.18的變換，2.7式可以推導出另一個參數(shù)方程，方程 2.19x子工-2工十黑廣=(cqu 245)I + T - 2-F += 2-C /x(equ 2.16)+, 2r, -2,rr +1 + c -rr(cq« 2.17)a一 十 1 十丁 -工匚 -= 0(cqu 24$)H X X(Tf - I)" +(rT =(equ 2.19)耳 同樣，2.19也是在復平面（r ri）t的圓的參數(shù)方程（x-a）2 + （y-b）2= R2，它的圓心為（1,1/x）,半徑 1/x。更多細節(jié)參見圖4b o圖 4b. 圓周上的點表示具有相同虛部x 的阻抗。例如， x =

11、1 的圓以 （1, 1） 為圓心，半徑為1 。所有的圓 （x 為常數(shù) ）都包括點 （1, 0） 。與實部圓周不同的是， x 既可以是正數(shù)也可以是負數(shù)。這說明復平面下半部是其上半部的鏡像。所有圓的圓心都在一條經(jīng)過橫軸上 1 點的垂直線上。完成圓圖為了完成史密斯圓圖，我們將兩簇圓周放在一起?？梢园l(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有圓會與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為 r + jx ，只需要找到對應于 r 和 x 的兩個圓周的交點就可以得到相應的反射系數(shù)?？苫Q性上述過程是可逆的，如果已知反射系數(shù)，可以找到兩個圓周的交點從而讀取相應的 r 和 x 的值。過程如下：? 確定阻抗在史密斯圓圖上的對應點?找到與此阻抗

12、對應的反射系數(shù)（F）?已知特性阻抗和r,找出阻抗?將阻抗轉(zhuǎn)換為導納?找出等效的阻抗?找出與反射系數(shù)對應的元件值（ 尤其是匹配網(wǎng)絡的元件，見 圖 7）推論因為史密斯圓圖是一種基于圖形的解法，所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的 RF 應用實例：例：已知特性阻抗為50Q ,負載阻抗如下：Zi = 100 + j50Q Z2 = 75 -j100Q Z3= j200Q Z4 = 150 QZ5 = 00 （開路） Z6 = 0（短路） Z7= 50 Q Z8 = 184 -j900 Q對上面的值進行歸一化并標示在圓圖中 （見圖 5） ：z1 = 2 + j z2 = 1

13、.5 - j2 z3 = j4z4 = 3Z5 = 8Z6 = 0Z7 = 1Z8 = 3.68 - j18點擊看大圖（PDF, 502K） 圖5.史密斯圓圖上的點現(xiàn)在可以通過圖5的圓圖直接解出反射系數(shù) 。畫出阻抗點（等阻抗圓和等電抗圓的交點）， 只要讀出它們在直角坐標水平軸和垂直軸上的投影，就得到了反射系數(shù)的實部Fr和虛部ri（見圖6）。該范例中可能存在八種情況，在圖6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應的反射系數(shù)r：n = 0.4 + 0.2j12 = 0.51 - 0.4j13 = 0.875 + 0.48j R = 0.5Is = 116 = -117 = 0幾=0.96 - 0.1j圖6

14、.從X-Y軸直接讀出反射系數(shù)r的實部和虛部 用導納表示 史密斯圓圖是用阻抗(電阻和電抗)建立的。一旦作出了史密斯圓圖，就可以用它分析串聯(lián)和 并聯(lián)情況下的參數(shù)?？梢蕴砑有碌拇?lián)元件，確定新增元件的影響只需沿著圓周移動到它們 相應的數(shù)值即可。然而，增加并聯(lián)元件時分析過程就不是這么簡單了，需要考慮其它的參數(shù)。 通常，利用導納更容易處理并聯(lián)元件。我們知道，根據(jù)定義Y (導納)=1/Z ,Z = 1/Y 。導納的單位是姆歐或者 Q-1 (早些時候 導納的單位是西門子或S)。并且，如果Z是復數(shù)，則Y也一定是復數(shù)。所以Y = G + jB (2.20), 其中G叫作元件的 電導”，B稱 電納”。在演算的時候

15、應該小心 謹慎，按照似乎合乎邏冷？的假設，可以得出： G = 1/R及B = 1/X，然而實際情況并非如此， 這樣計算會導致結(jié)果錯誤。用導納表示時，第一件要做的事是歸一化，射系數(shù) 呢？ 通過下二十一科；十班：一二十幾一用7y = Y/Y 0,得出y = g + jb 。但是如何計算反面 的式 子進行推導：(equ 2.21)結(jié)果是G的表達式符號與z相反，并有r (y) = - r (z)o如果知道z,就能通過將的符號取反找到一個與（0, 0）的距離相等但在反方向的點。圍繞原點 旋轉(zhuǎn)1800可以得到同樣的結(jié)果（見圖7）。圖7. 180 °度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果當然，表面上看新的點好像是一個不同

16、的阻抗，實際上 Z和1/Z表示的是同一個元件。（在 史密斯圓圖上，不同的值對應不同的點并具有不同的反射系數(shù)，依次類推）出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個阻抗圖，而新的點代表的是一個導納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值 單位是姆歐。盡管用這種方法就可以進行轉(zhuǎn)換，但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時仍不適用。導納圓圖在前面的討論中，我們看到阻抗圓圖上的每一個點都可以通過以r復平面原點為中心旋轉(zhuǎn)180°后得到與之對應的導納點。于是，將整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn) 180°就得到了導納圓圖。這種 方法十分方便，它使我們不用建立一個新圖。所有圓周的交點（等電導圓和等電納圓）自然出現(xiàn)在點（-1, 0）

17、 o使用導納圓圖，使得添加并聯(lián)元件變得很容易。在數(shù)學上，導納圓圖由下面 的公式構造：kg一器.舁端a”解這個方程(cqu 3.2)tqu 3*3)+ /=(】r-jlM】+ 1；“)_i-rSr；-/2.rrs (i+rr +.).(1 + -,) i + r； 2,r; + r；接下來，令方程3.3的實部和虛部相等，我們得到兩個新的獨立的關系:tc-qu 3.4_ »；1 + r； + 2.rf + r；feiju 3 5)(equ 3.6)3.7)(叫u 3.S)qu 3.9)(網(wǎng) 口 3J0)依 qu3Jl)從等式3.4 ,我們可以推導出下面的式子:g寸區(qū)??；+24二十里?。?

18、= i-r" -r；111r：不二 v(i +g)r) +NgT. +(g + 叫廣二 i-gr-葉士邑r葉十r- =上度'£+,(宮門y + r； + 2 1 + r,;(“尸】十營上尸.上=上g十名一 一 1、M + i 1 (i+gr u+g)*但qu 3.12)，以(-g/g+1,0)它也是復平面(F,r Fit圓的參數(shù)方程(x-a)2 + (y-b) 2 = R2 (方程3.12) 為圓心，半徑為1/(1+g) o從等式3.5 ,我們可以推導出下面的式子:卜十五彳十 2A, vb,r；=-2rt十；+2Tf 十一： = -2, /h(cqu 3J4)+ 2

19、Tr 1 1 tf；- 1 -rt =0(cqu345)b i i+ 2Tr i 1 + r(-產(chǎn)-f- -p- = 0(cqu 34&)(E十】尸十號=Jr(equ 3.17)b M同樣得到（x-a）2 + （y-b）2= R2型的參數(shù)方程（方程3.17）求解等效阻抗 當解決同時存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時，可以使用同一個史密斯圓圖，在需要進行從z 到y(tǒng)或從y到z的轉(zhuǎn)換時將圖形旋轉(zhuǎn)?？紤]圖8所示網(wǎng)絡（其中的元件以Zo = 50Q進行了3化）。串聯(lián)電抗（x）對電感元件而言 為正數(shù)，對電容元件而言為負數(shù)。而電納（b）對電容元件而言為正數(shù)，對電感元件而言為負數(shù)。這個電路需要進行簡化（見圖

20、9）。從最右邊開始，有一個電阻和一個電感，數(shù)值都是1,我們可以在r = 1的圓周和1=1的圓周的交點處得到一個串聯(lián)等效點，即點 Ao下一個元件是 并聯(lián)元件，我們轉(zhuǎn)到導納圓圖（將整個平面旋轉(zhuǎn)180。），此時需要將前面的那個點變成導納， 記為A'。現(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn)180。，于是我們在導納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導圓逆時針方向（負值）移動距離0.3，得到點B。然后又是一個串聯(lián)元件?，F(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖。圖9.將圖8網(wǎng)絡中的元件拆開進行分析在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點轉(zhuǎn)換成阻抗（此前是導納），變換之后得到的點記為B',用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn)180 0回到阻抗模式。沿著電阻

21、圓周移動距離1.4得到點C就 增加了一個串聯(lián)元件，注意是逆時針移動（負值）。進行同樣的操作可增加下一個元件（進行平 面旋轉(zhuǎn)變換到導納），沿著等電導圓順時針方向（因為是正值）移動指定的距離（1.1）。這個點 記為Do最后，我們回到阻抗模式增加最后一個元件（串聯(lián)電感）。于是我們得到所需的值，z, 位于0.2電阻圓和0.5電抗圓的交點。至此，得出z = 0.2 + j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是50Q,有 Z = 10 + j25 。/圖10）。點擊看大圖(PDF, 600K)圖10.在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡元件 逐步進行阻抗匹配史密斯圓圖的另一個用處是進行阻抗匹配。這和找出一個已知網(wǎng)絡的等效阻抗是

22、相反的過程。此時，兩端(通常是信號源和負載)阻抗是固定的，如 圖11所示。我們的目標是在兩者之間 插入一個設計好的網(wǎng)絡已達到合適的阻抗匹配。hfcddnir>g v®rkj15G圖11.阻抗已知而元件未知的典型電路初看起來好像并不比找到等效阻抗復雜。但是問題在于有無限種元件的組合都可以使匹配網(wǎng) 絡具有類似的效果，而且還需考慮其它因素（比如濾波器的結(jié)構類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選 元件）。實現(xiàn)這一目標的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、直到得到我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點。同樣，說明這種方法的最好辦法 是給出一個實例。我們的目標是在6

23、0MHz工作頻率下匹配源阻抗（Zs）和負載阻抗（zl）（見圖11）。網(wǎng)絡結(jié)構已 經(jīng)確定為低通，L型（也可以把問題看作是如何使負載轉(zhuǎn)變成數(shù)值等于 Zs的阻抗，即Zs復共 腕）。下面是解的過程：點擊看大圖（PDF, 537K）圖12.圖11的網(wǎng)絡，將其對應的點畫在史密斯圓圖上要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個與負載 /信號源的數(shù) 值在同一量級的阻抗值。假設 Zo為50 Q。于是zs = 0.5 - j0.3, z* s = 0.5 + j0.3, Z l = 2 - j0.5 。下一步，在圖上標出這兩個點，A代表ZL, D代表z* S然后判別與負載連接的第一個元件（并

24、聯(lián)電容），先把ZL轉(zhuǎn)化為導納，得到點A'o確定連接電容C后下一個點出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道 C的值，所以我們不知道具體 的位置，然而我們確實知道移動的方向。并聯(lián)的電容應該在導納圓圖上沿順時針方向移動 、直到找到對應的數(shù)值，得到點 B （導納）。下一個元件是串聯(lián)元件，所以必需把 B轉(zhuǎn)換到阻抗 平面上去，得到B'。B'必需和D位于同一個電阻圓上。從圖形上看，從 A'到D只有一條路 徑，但是如果要經(jīng)過中間的B點（也就是B'）,就需要經(jīng)過多次的嘗試和檢驗。在找到點 B和 B'后，我們就能夠測量A'到B和B'到D的弧長，前者就是C的歸

25、一化電納值，后者為L的歸一化電抗值。A'到B的弧長為b = 0.78 ，則B = 0.78 x Y 0 = 0.0156 姆歐。因為 C = B ,所以 C = B/ =B/（2 曲=0.0156/（2 兀 60 7） = 41.4pF 。B 至ij D 的弧長為 x = 1.2 ,于是 X = 1.2 x Z 0 = 60 Q。 由 L = X,得 L = X/ = X/（2 曲= 60/（2兀60 7） = 159nH。牝口OUTSOUT1-CiaipF T 1。"主翔口f主。qlf:L watcht11TO Ml X ERCm at uhCm at 01HI-TQMXE

26、R OR PLLLkAAFCHVs圖13. MAX2472 典型工作電路第二個例子是MAX2472的輸出匹配電路，匹配于50Q負載阻抗(z l),工作品率為900MHz (圖14所示)。該網(wǎng)絡采用與MAX2472數(shù)據(jù)資料相同的配置結(jié)構，上圖給出了匹配網(wǎng)絡， 包括一個并聯(lián)電感和串聯(lián)電容，以下給出了匹配網(wǎng)絡元件值的查找過程。圖14.圖13所示網(wǎng)絡在史密斯圓a圖上的相應工作點首先將 S22散射參數(shù)轉(zhuǎn)換成等效的歸一化源阻抗。MAX2472 的Z0為50 Q , S22 =0.81/-29.4轉(zhuǎn)換成 zs = 1.4 - j3.2, z l = 1 和 zl* = 1 。下一步，在圓圖上定位兩個點，zs

27、標記為A, ZL*標記為Do因為與信號源連接的是第一個元 件是并聯(lián)電感，將源阻抗轉(zhuǎn)換成導納，得到點A'。確定連接電感Lmatch后下一個點所在的圓弧，由于不知道Lmatch的數(shù)值，因此不能確定圓弧 終止的位置。但是，我們了解連接 Lmatch并將其轉(zhuǎn)換成阻抗后，源阻抗應該位于 r = 1的圓 周上。由此，串聯(lián)電容后得到的阻抗應該為 z = 1 + j 00以原點為中心，在r = 1的圓上旋 轉(zhuǎn)180。，反射系數(shù)圓和等電納圓的交點結(jié)合 A'點可以得到B （導納）。B點對應的阻抗為B' 點。找到B和B'后，可以測量圓弧A'B以及圓弧B'D的長度，第一個測量值可以得到 Lmatch。 電納的歸一化值，第二個測量值得到 Cmatch電抗的歸一化值。圓弧 A'B的測量值為b = -0.575 , B = -0.575¥0 = 0.0115mhos 。因為 1/ L = B,則 Lmatch = 1/B =1/（B2T