第二章平面的投影

1、ABCabcabccab1.掌握平面的幾何元素表示法。2.掌握平面的投影特性及作圖方法。3.掌握平面上點(diǎn)和直線的投影特性及作圖法。4.掌握線面的平行、相交、垂直等相對(duì)位置 的投影特性及作圖方法。5.能對(duì)畫法幾何綜合題進(jìn)行空間分析，了解 綜合題的一般解題步驟和方法。基基 本本 要要 求求2-1 2-1 平面投影平面投影 空間平面可以由不同的幾何元素來確定，平面的投影常用其構(gòu)成空間平面可以由不同的幾何元素來確定，平面的投影常用其構(gòu)成元素的投影來表示。元素的投影來表示。baacbcbaacbcaabcbcbbaaccabcabcdd2-1 2-1 平面投影平面投影 一、投影面的垂直面投影面的垂直面

2、只垂直于只垂直于投影面，傾斜于其他兩個(gè)投影面的平面。投影面，傾斜于其他兩個(gè)投影面的平面。 1.1. 正垂面正垂面 2.2. 鉛垂面鉛垂面 3.3. 側(cè)垂面?zhèn)却姑?二、投影面的平行面投影面的平行面 平行于平行于投影面，垂直于其他兩個(gè)投影面的平面。投影面，垂直于其他兩個(gè)投影面的平面。 1.1. 正平面正平面 2.2. 水平面水平面 3.3. 側(cè)平面?zhèn)绕矫?三、一般位置平面一般位置平面 即不垂直也不平行于投影面的平面。即不垂直也不平行于投影面的平面。Pppp 一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 1.1.正垂面：正垂面：只垂直于只垂直于V面，傾斜于面，傾斜于H面和面和W面的面的平面pppxOyWyH

3、z 投影特性：投影特性：(1) V面投影積聚為一條線面投影積聚為一條線p (2) p與與x、z軸的夾角軸的夾角反映反映、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 (3) p、 p 為平面為平面P的類似形的類似形Pppp 一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 2.2.鉛垂面：鉛垂面：只垂直于只垂直于H面，傾斜于面，傾斜于V面和面和W面的平面面的平面投影特性投影特性 ：(1) H面投影積聚為一條線面投影積聚為一條線p (2) p與與x、 y軸的夾角軸的夾角反映反映、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 (3) p、 p 為平面為平面P的類似形的類似形p ppxOzyHyWPppp 一、投影面的垂直面一、投影面的垂直面 3

4、.3.側(cè)垂面：側(cè)垂面：只垂直于只垂直于W面，傾斜于面，傾斜于H面和面和V面的平面面的平面投影特性投影特性 ：(1) H面投影積聚為一條線面投影積聚為一條線p (2) p與與x、 y軸的夾角軸的夾角反映反映、 角的真實(shí)大小角的真實(shí)大小 (3) p、 p 為平面為平面P的類似形的類似形pppOxzyHyW 二、投影面的平行面二、投影面的平行面 1.1.正平面：正平面：只平行于只平行于V面，垂直于面，垂直于H面和面和W面的平面面的平面Pppp 投影特性：投影特性：(1) V面投影面投影p反映反映P的的實(shí)形實(shí)形 (2) H、 W面投影面投影積聚成直線積聚成直線 (3) pOx； pOzpppxOyHy

5、Wz 二、投影面的平行面二、投影面的平行面 2.2.水平面：水平面：只平行于只平行于H面，垂直于面，垂直于V面和面和W面的平面面的平面PppppppxOyHyWz 投影特性：投影特性：(1) H面投影面投影p反映反映P的的實(shí)形實(shí)形 (2) V、 W面投影面投影積聚成直線積聚成直線 (3) pOx； pOy 二、投影面的平行面二、投影面的平行面 3.3.側(cè)平面：側(cè)平面：只平行于只平行于W W面，垂直于面，垂直于H H面和面和V V面的平面面的平面p 投影特性：投影特性：(1) W面投影面投影p反映反映P的的實(shí)形實(shí)形 (2) V、 W面投影面投影積聚成直線積聚成直線 (3) pOz； pOyppp

6、xOyHyWzppABCabcabccab 三、一般位置平面三、一般位置平面 既沒有垂直面的投影性質(zhì)，也不具有平行面的投影性質(zhì)既沒有垂直面的投影性質(zhì)，也不具有平行面的投影性質(zhì) 投影特性：投影特性： (1) 一般平面的三面投影既不反映實(shí)形也沒有積聚性。一般平面的三面投影既不反映實(shí)形也沒有積聚性。 (2) 其三面投影均為空間平面的類似形，且面積縮小。其三面投影均為空間平面的類似形，且面積縮小。aabbccbacxOyWyHz正平面正平面鉛垂面鉛垂面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫嬲矫嬲矫嬲姑嬲姑鎮(zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫鎮(zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑嬉话阄恢闷矫嬉话阄恢闷矫?平面投影特性判斷平面投影特性判斷2-2 2-2 平面上的點(diǎn)和線平面

7、上的點(diǎn)和線 點(diǎn)和直線在平面上的點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件：幾何條件： 1 1）若點(diǎn)在平面上若點(diǎn)在平面上，則該點(diǎn)一定在平面內(nèi)的一條直線上。，則該點(diǎn)一定在平面內(nèi)的一條直線上。 2 2）直線在平面上直線在平面上，則該直線必然通過平面上的兩點(diǎn)，或經(jīng)過平面上，則該直線必然通過平面上的兩點(diǎn)，或經(jīng)過平面上 一點(diǎn)并平行于平面內(nèi)的另一直線。一點(diǎn)并平行于平面內(nèi)的另一直線。ABCabcabccab2-2 2-2 平面上的點(diǎn)和線平面上的點(diǎn)和線KEekkeke點(diǎn)在平面上的點(diǎn)在平面上的幾何條件：幾何條件：ABCabcabccab2-2 2-2 平面上的點(diǎn)和線平面上的點(diǎn)和線直線在平面上的直線在平面上的幾何條件：幾何條件：K

8、kkkEeee 要在平面上取點(diǎn)，先要在平面上取線，然后在該直線上取點(diǎn)；反之，要在平面上取點(diǎn)，先要在平面上取線，然后在該直線上取點(diǎn)；反之，要在平面上取線，先要在平面上取點(diǎn)，然后通過該點(diǎn)在平面上作直線。要在平面上取線，先要在平面上取點(diǎn)，然后通過該點(diǎn)在平面上作直線。 一、平面上取點(diǎn)和直線一、平面上取點(diǎn)和直線 例題例題 1 1 例題例題 2 2 一、平面上取點(diǎn)和直線一、平面上取點(diǎn)和直線 例題例題1 1 如圖所示，試作出如圖所示，試作出ABCABC平面內(nèi)點(diǎn)平面內(nèi)點(diǎn)E E的水平投影的水平投影e e；并由；并由F F 的的 兩面投影兩面投影f f、ff，判斷點(diǎn)，判斷點(diǎn)F F是否在是否在ABCABC平面內(nèi)。平

9、面內(nèi)。abcacbffee1122 一、平面上取點(diǎn)和直線一、平面上取點(diǎn)和直線 例題例題2 2 如圖所示，已知五邊形如圖所示，已知五邊形ABCDEABCDE平面的部分投影，試完成平面的部分投影，試完成 平面的水平投影。平面的水平投影。abcededcab1122xO 二、平面上的特殊直線二、平面上的特殊直線P 平面上不同位置的直線，它對(duì)投影面的傾角各不相同。其中：一種平面上不同位置的直線，它對(duì)投影面的傾角各不相同。其中：一種對(duì)投影面傾角為零的為投影面的對(duì)投影面傾角為零的為投影面的平行線平行線；另一種對(duì)投影面傾角為最大；另一種對(duì)投影面傾角為最大的為投影面的的為投影面的最大斜度線最大斜度線。 1.

10、1.平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線effeabcacbxOP 二、平面上的特殊直線二、平面上的特殊直線eabab1020515mm1020515mmcdfcdxO 例題例題3 3 試在四邊形試在四邊形ABCD平面內(nèi)取一點(diǎn)平面內(nèi)取一點(diǎn)K，使，使K點(diǎn)距離點(diǎn)距離H面面10mm、 距距V面為面為15mm，作出，作出K點(diǎn)的兩面點(diǎn)的兩面投影。投影。efkkP 2 1FEAM1M2m1m2ePHa 二、平面上的特殊直線二、平面上的特殊直線 2.2.平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線 平面上的最大斜度線的平面上的最大斜度線的基本性質(zhì)：基本性質(zhì)： 1 1）平面上的最大斜度線，一定垂直于該投影面的平行

11、線。）平面上的最大斜度線，一定垂直于該投影面的平行線。 2 2）最大斜度線對(duì)投影面的傾角，等于平面對(duì)該投影面的傾角。）最大斜度線對(duì)投影面的傾角，等于平面對(duì)該投影面的傾角。 二、平面上的特殊直線二、平面上的特殊直線 2.2.平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線 利用最大斜度線的性質(zhì)可以解決求平面傾角問題。求下圖中利用最大斜度線的性質(zhì)可以解決求平面傾角問題。求下圖中P P 平面平面對(duì)對(duì)H H 面的傾角。面的傾角。pamamcefexOpf 作圖過程：作圖過程： 1 1）先在）先在P面內(nèi)作水平線面內(nèi)作水平線的兩面投影；的兩面投影； 2 2）再在）再在P面內(nèi)作面內(nèi)作H面的面的最大斜度線的兩面投影；最大

12、斜度線的兩面投影； 3 3）最后用直角三角形）最后用直角三角形法求出對(duì)法求出對(duì)H面最大斜度線面最大斜度線的傾角的傾角 ，即為，即為P面對(duì)面對(duì)H面的傾角。面的傾角。 三、跡線平面三、跡線平面 空間平面與投影面的交線稱為跡線，用跡線表示的平面稱為跡線平面?？臻g平面與投影面的交線稱為跡線，用跡線表示的平面稱為跡線平面。PPxPVPHABCDKN2N1xOPxPVPHM1M2一般位置平面有：一般位置平面有：正面跡線、水平跡線、側(cè)面跡線，正面跡線、水平跡線、側(cè)面跡線， 且各跡線都傾斜于投影軸。且各跡線都傾斜于投影軸。 三、跡線平面三、跡線平面xOPPHPVPHPVP 投影面平行面，在所平行的投影面上沒有

13、跡線，其他兩投投影面平行面，在所平行的投影面上沒有跡線，其他兩投影面跡線平行于相應(yīng)的投影軸。影面跡線平行于相應(yīng)的投影軸。 三、跡線平面三、跡線平面QHQVQxOQHQxQV 投影面垂直面，在所垂直的投影面上的跡線與平面積聚性投影重合，投影面垂直面，在所垂直的投影面上的跡線與平面積聚性投影重合，另一跡線與對(duì)應(yīng)投影軸垂直（一般不畫出來）。另一跡線與對(duì)應(yīng)投影軸垂直（一般不畫出來）。PVRV 需要注意的是：需要注意的是：由于跡線是平面與投影面的公有線，跡線在該由于跡線是平面與投影面的公有線，跡線在該投影面上的投影與其本身重合，另兩個(gè)投影與相應(yīng)的投影軸重合。投影面上的投影與其本身重合，另兩個(gè)投影與相應(yīng)的

14、投影軸重合。 三、跡線平面三、跡線平面 例題例題4 4 圖中由圖中由Q Q 面上直線面上直線EFEF的投影的投影efef，求作直線的水平投影，求作直線的水平投影efef。xOQVQHefQVxOQHef11ef221122ef2-3 2-3 線面的相對(duì)位置線面的相對(duì)位置ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKkABCDabc(f)d(e)EFKk 線面的相對(duì)位置是指直線與平面、平面與平面間的相對(duì)位置，即：線面的相對(duì)位置是指直線與平面、平面與平面間的相對(duì)位置，即：平行、相交、垂直等問題，以及它們之間產(chǎn)生的交點(diǎn)、交線、距離、平行、相交、垂直等問題，以及它們之間產(chǎn)生的交點(diǎn)、

15、交線、距離、角度等關(guān)系。角度等關(guān)系。FGDf(e)ABabg(d)Em(n)MNxOccabbaemnnme 一、平行問題一、平行問題 直線與平面平行具有下列直線與平面平行具有下列幾何關(guān)系：幾何關(guān)系： 若直線與平面平行，該直線必平行于平面上的一條直線；當(dāng)平面垂若直線與平面平行，該直線必平行于平面上的一條直線；當(dāng)平面垂直于投影面時(shí)，則該直線的投影必然與平面具有積聚性的投影平行。直于投影面時(shí)，則該直線的投影必然與平面具有積聚性的投影平行。 1.1.直線與平面平行直線與平面平行xOfgdf(e)abbag(d)em(n)mnPQEFDABCxOccabbaegffegllFGDf(e)ABabg(d

16、)ECc 若空間兩平面互相平行，則一平面內(nèi)相交兩直線必然與另一平面若空間兩平面互相平行，則一平面內(nèi)相交兩直線必然與另一平面內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行；當(dāng)兩平面相互平行且又同時(shí)垂直于投影內(nèi)的相交兩直線對(duì)應(yīng)平行；當(dāng)兩平面相互平行且又同時(shí)垂直于投影面時(shí)，則兩平面的積聚性投影一定平行。面時(shí)，則兩平面的積聚性投影一定平行。 一、平行問題一、平行問題 2. 2.平面與平面平行平面與平面平行xOfgdf(e)abg(d)eabccBKAABGDabd(e)g(f)EFKk 1.1.直線與平面相交直線與平面相交 空間直線與平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)，交點(diǎn)即是線面的共有點(diǎn)。若空間直線或空間直線與平面相交產(chǎn)生交點(diǎn)，交點(diǎn)即是線面

17、的共有點(diǎn)。若空間直線或平面其中之一與投影面垂直時(shí)，那么可利用積聚性的投影直接作圖。平面其中之一與投影面垂直時(shí)，那么可利用積聚性的投影直接作圖。 二、相交問題二、相交問題xOgdeg(f)d(e)fababkkABCPEFK 求一般位置線、面求一般位置線、面 交點(diǎn)的交點(diǎn)的方法步驟：方法步驟： 1 1）過直線作一輔助平面）過直線作一輔助平面 垂直于投影面。垂直于投影面。 2 2）作出輔助平面與已知）作出輔助平面與已知 平面間的交線。平面間的交線。 3 3）求直線與兩平面交線）求直線與兩平面交線 的投影共有點(diǎn)。的投影共有點(diǎn)。 4 4）利用重影點(diǎn)來判斷）利用重影點(diǎn)來判斷 可見性?？梢娦浴?1.1.直線

18、與平面相交直線與平面相交 二、相交問題二、相交問題 若空間直線和平面都處于一般位置時(shí)，可利用輔助平面法求出交點(diǎn)。若空間直線和平面都處于一般位置時(shí)，可利用輔助平面法求出交點(diǎn)。xOcefaabcfeb2PH1213(4)55( )k34k 2.2.兩平面相交兩平面相交 二、相交問題二、相交問題 空間平面和平面相交產(chǎn)生交線，交線即相交兩平面的共有線。若空間平面和平面相交產(chǎn)生交線，交線即相交兩平面的共有線。若空間兩平面之一與投影面垂直時(shí)，那么可利用積聚性作出交線的投空間兩平面之一與投影面垂直時(shí)，那么可利用積聚性作出交線的投影；可見性由積聚性投影來判斷。影；可見性由積聚性投影來判斷。xOcaabcbpp

19、1212fAPBC12xbbacdgfeca dgef 2.2.兩平面相交兩平面相交 二、相交問題二、相交問題 對(duì)于兩個(gè)一般位置平面求交線，可根據(jù)三面相交于一點(diǎn)的幾何方法，對(duì)于兩個(gè)一般位置平面求交線，可根據(jù)三面相交于一點(diǎn)的幾何方法，用輔助平面法求出交點(diǎn)，然后將兩交點(diǎn)連成線跡可。用輔助平面法求出交點(diǎn)，然后將兩交點(diǎn)連成線跡可。ABCDGEFSQKMSVQV12341234kkmm 三、垂直問題三、垂直問題 幾何條件幾何條件：如果空間直線與平面垂直，則該直線垂直于平面上的如果空間直線與平面垂直，則該直線垂直于平面上的所有直線。反之，直線垂直平面上的任意兩相交直線，則直線垂直于所有直線。反之，直線垂直

20、平面上的任意兩相交直線，則直線垂直于該平面。該平面。 1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直LKP 三、垂直問題三、垂直問題 1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直 1 1）如果空間直線與投影面垂直面垂直，則該直線與平面在該投影）如果空間直線與投影面垂直面垂直，則該直線與平面在該投影面上的投影必然垂直。面上的投影必然垂直。FGDf(e)ABabg(d)Exgfedababf(e)g(d)LKPABabMmKkPHPxOppmmabbadccdkk 三、垂直問題三、垂直問題 1.1.直線與平面垂直直線與平面垂直 2)2)如果空間直線與一般位置平面垂直，則由直角投影定理可知該如果空間直線與一般位置平面垂直，則由直角投影定理可知該直線的水平投影一定垂直與該平面水平線的水平投影；直線的水平投影一定垂直與該平面水平線的水平投影；直線的正面直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。 三、垂直問題三、垂直問題 2.2.兩平面垂直兩平面垂直 如果空間兩平面相互垂直，過其中一平面上的任意點(diǎn)向第二個(gè)平如果空間兩平面相互垂直，過其中一平面上的任意點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線，必定在第一個(gè)平面內(nèi)；若空間直線與平面垂直，則包面作的垂線，必定在第一個(gè)平面內(nèi)；若空間直線與平面垂直，則包含直線作的所有平面都垂直于該平面。含直線作的所有平