第3章截面圖形的幾何性質(zhì)

1、第第3 3章章 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì) 3- -1 形心、靜矩形心、靜矩3- -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積3- -3 平行移軸定理平行移軸定理3- -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理2()0rrkCiiGG rkrkCiiGG即rGrGCii由合力矩定理 yxizirkjcGiGicrrrCiiGGrriiCGG故3 3-1 -1 形心、靜矩形心、靜矩一、形心一、形心 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩3上式兩邊分別投影iiiiiiCCCG xG yG zx,y,zGGG , rriiCiiimG = m gm當(dāng)gi相同時(shí)，質(zhì)心與重心重合. 質(zhì)心質(zhì)心: :ii

2、iiiiCCCm xm ym zx,y,zmmm投影:rriiCGG 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩4重心質(zhì)心與形心的定義本質(zhì)上是獨(dú)立的。均質(zhì)薄平板的形心均質(zhì)薄平板的形心 iiCiiiVm =VVrr形心形心:當(dāng) 為常數(shù)時(shí)(均質(zhì)),形心與質(zhì)心重合iiiiiiiCCCV xV yV zx,y,zVVV投影投影: :,g 同為常數(shù)，則三心合一。AzAzAyAyiiCiiC, 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩5計(jì)算方法：計(jì)算方法：1)積分法2)組合法AzdAzAydAyACAC，AzAzAyAyciiCciiC, 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩6可分割為4個(gè)矩形或2個(gè)矩形

3、求圖示均質(zhì)薄片重心(形心)。yxC1400 mm50mm16 mm16 mm16 mm828 mmAyAyCiiC0AxAxCiiC8821334860140071782813347008601400mm2 .511 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩二、靜矩（二、靜矩（S S）zyOdAzy面積對(duì)軸的一次矩稱為靜矩或一次矩。AzydASAyzdAS1.靜矩的單位：長(zhǎng)度的三次方;2.靜矩可正可負(fù)也可能為零。 3 3-1 -1 形心、形心、 靜矩靜矩 3 3-1 -1 靜矩、形心靜矩、形心三三. .靜矩與形心的關(guān)系靜矩與形心的關(guān)系,ASyzCASzyC截面圖形對(duì)于某一軸的靜矩若為零，則該軸

4、必定經(jīng)過截面的形心；截面圖形對(duì)于形心軸的靜矩恒等于零。四、組合圖形的靜矩四、組合圖形的靜矩iCiyzASiCizyAS3 3-2 -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積一、定義一、定義面積對(duì)軸的二次矩稱為慣性矩或二次矩。AzdAyI2AydAzI21.1.慣性矩：慣性矩：2.2.極慣性矩極慣性矩APdAI2zyOdAzy3.3.慣性積慣性積AyzyzdAI4.4.慣性半徑慣性半徑AIizzAIiyyzyPIII 3 3-2 -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積 1. 單位：長(zhǎng)度的四次方；3.慣性矩恒為正，而慣性積可正可負(fù)也可等于零；2.同一截面對(duì)于不同的坐標(biāo)軸

5、的慣性矩和慣性積一般不同；4 4. .若若y、z軸有一個(gè)為對(duì)稱軸，則軸有一個(gè)為對(duì)稱軸，則Iyz恒等于零。恒等于零。二、常見圖形的慣性矩和積慣性矩二、常見圖形的慣性矩和積慣性矩zy2h2h2b2bC123hbIy123bhIz）（2212hbbhIP1.1.矩形矩形 3 3-2 -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積y,z為形心對(duì)稱軸2.2.圓形圓形zyC432dIp464dIIzy）（44132DIp）（44164DIIzya)實(shí)心(d)b)空心(D、d、 )Dd三、組合圖形的慣性矩、積慣性矩、慣性積三、組合圖形的慣性矩、積慣性矩、慣性積iyyIIippIIi zyzyII 3

6、 3-2 -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積zyC431128dIIIzzz右半圓：答？右半圓zI41ii zzII421128dIIIzzz上半圓 3 3-2 -2 慣性矩、極慣性矩、慣性積慣性矩、極慣性矩、慣性積464dIIzy解：解：？上半圓zI求例題例題3-2-1. 實(shí)心圓，直徑為d，3 3-3 -3 平行移軸定理平行移軸定理已知Iy，Iz ，Iyz (y、z軸過截面形心C)，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。平行移軸定理平行移軸定理是指平面圖形對(duì)于相互平行軸的慣性矩及慣性積之間的關(guān)系。1zC,bzz1ayy1AzdAyI211AdAay2)(222AaydAadA

7、yAAAydAzI211AdAbz2)(222AbzdAbdAzAAC點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b） 3 3-3 -3 平行移軸定理平行移軸定理 1y1zy1yy1oz1zzabdA由于y、z軸通過圖形的形心，則Sy=Sz=0。1.過形心的慣性矩最小；2. (a,b)表示C點(diǎn)的坐標(biāo)，慣性積沒有上述結(jié)論。AzydAyzI1111AdAbybz)(AabydAazdAbzydAAAA221AaaSIIzzz221AbbSIIyyyAabbSaSIIyzyzzy11即： 3 3-3 -3 平行移軸定理平行移軸定理 21AaIIzz21AbIIyyAabIIyzzy11例題例題 3-3-1 求圖示截面圖形的求圖

8、示截面圖形的Ic。iiicAyAy2012020120602012013020120)mm(9522221121dAIdAICCzz2335201201220120)mm(4410884233512020121202021zzzIIIc 3 3-3 -3 平行移軸定理平行移軸定理 解：解：2012012020zyCyczC3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理是研究坐標(biāo)軸系繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面圖形對(duì)于這些坐標(biāo)軸的慣性矩與慣性積之間的變化規(guī)律。cossin1zyzsincos1zyyAzdAyI211AdA)cosysinz(2AAAyzdAdAydAzcossin2cossin222

9、2已知Iy，Iz ，Iyz ， (逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正) ，求Iy1，Iz1 ，Iy1z1 。O Oz一、轉(zhuǎn)軸公式一、轉(zhuǎn)軸公式 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 1y1yyyz1z1zz2sin2cos222sincossin221yzyzyzyzyzyIIIIIIIII同理可得：22211cosIsinIIIyzyzzy2sin2cos222sinsincos221yzyzyzyzyzzIIIIIIIII即： 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 11yzyzIIII二、主慣性軸、形心主軸、主慣性矩、形心主慣性矩二、主慣性軸、形心主軸、主慣性矩、形心主慣性矩 主(慣性)軸：對(duì)于該軸系的慣性積為零。形

10、心主軸：過形心的主慣性軸。主慣性矩：相應(yīng)主慣性軸的慣性矩。形心主慣性矩：相應(yīng)形心主慣性軸的慣性矩。011zyI令：yzzyIIItan220得：2222zyyzyzminmaxIIIIIII形心主慣性平面：形心主軸與桿軸線所組成的平面。 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 三、小結(jié)三、小結(jié) 1.若截面圖形有對(duì)稱軸，則對(duì)稱軸為形心主軸；2.任意正多邊形的形心軸都是形心主軸；3.當(dāng)截面圖形有三根貨三根以上的對(duì)稱軸時(shí)，則圖形的形心軸均為形心主軸；4.若已知圖形對(duì)某一對(duì)主軸的慣性矩相等，則通過該點(diǎn)的任意軸為主軸，其慣性矩相同。例題例題3-4-1 求圖示圖形的形心、慣

11、性矩、慣性積、慣性主軸及主慣性矩。10533012015030120105301206030120Czz90yO903030301201、形心、形心903301201653012090301201530120CyCzCy2、慣性矩、慣性矩23239030120121203015301201230120zI4231013284165301201230120i zzIIiiCiCAzAziiCiCAyAy 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 解：解：z90yO90303030120CzCy,10142564yI41012636yzI26142561328412636220tan0001469133.或4101125minI41026415maxI3、慣性主軸、慣性主軸4、主慣性矩、主慣性矩2222zyyzyzminmaxIIIIIII 3 3-4 -4 轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理 同