空間直角坐標系和空間向量及其運算

1、一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系2已知空間一點已知空間一點M的坐標為的坐標為(x，y，z)；(1)與與M點關(guān)于點關(guān)于x軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為_；(2)與與M點關(guān)于點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為_；(x，y，z)(x，y，z)2已知空間一點已知空間一點M的坐標為的坐標為(x，y，z)；(1)與與M點關(guān)于點關(guān)于x軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為_；(2)與與M點關(guān)于點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為_；(3)與與M點關(guān)于點關(guān)于z軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為_；(4)與與M點關(guān)于面點關(guān)于面xOy對稱的點的坐標為對稱的點的坐標為_；(5)與與M點關(guān)

2、于面點關(guān)于面xOz對稱的點的坐標為對稱的點的坐標為_；(6)與與M點關(guān)于面點關(guān)于面yOz對稱的點的坐標為對稱的點的坐標為_；(7)與與M點關(guān)于坐標原點點關(guān)于坐標原點O對稱的點的坐標為對稱的點的坐標為_(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)(x，y，z)二、空間向量及其運算二、空間向量及其運算1 1空間向量及其加減與數(shù)乘運算空間向量及其加減與數(shù)乘運算(1)在空間中，具有在空間中，具有_和和_的量叫做向量的量叫做向量_相相同且同且_相等的有向線段表示同一向量或相等向相等的有向線段表示同一向量或相等向_ _稱為稱為a的相反向量的相反向量(2)空間向量的有

3、關(guān)知識實質(zhì)上是平面向量對應(yīng)的知識空間向量的有關(guān)知識實質(zhì)上是平面向量對應(yīng)的知識的推廣，如有關(guān)的概念、運算法則、運算律等等的推廣，如有關(guān)的概念、運算法則、運算律等等2空間向量基本定理：如果三個向量空間向量基本定理：如果三個向量a、b、_，那么對空間任一向量那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使，使_，其中，其中a，b，c叫做空間的叫做空間的一個一個_，a、b、c都叫做基向量都叫做基向量大小大小方向方向方向方向模模與與a長度相等而方向相反的向量長度相等而方向相反的向量不共面不共面pxaybzc基底基底三、空間向量的坐標運算三、空間向量的坐標運算2已知空

4、間兩個向量已知空間兩個向量a、b，則，則ab_(向量表示向量表示)_(坐標表示坐標表示)3空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用已知已知a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，(1)判斷垂直：判斷垂直：ababx1x2y1y2z1z2_.x1x2y1y2z1z2|a|b|cosa，ba，b0，01在空間直角坐標系中，在空間直角坐標系中， 點點P(1,2,3)關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱的點的坐標為的點的坐標為 ()A(1,2,3)B(1，2，3)C(1, 2, 3) D(1 ,2, 3)解析解析：點：點P(x，y，z)關(guān)于關(guān)于x軸對稱的點的坐標為軸對稱的點的坐標為(x，

5、y，z)答案答案：B2與向量與向量a(1，3,2)平行的一個向量的坐標是平行的一個向量的坐標是 ()答案答案：C答案答案：C1建立空間直角坐標系，必須牢牢抓住建立空間直角坐標系，必須牢牢抓住“相交于相交于同一點的兩兩垂直的三條直線同一點的兩兩垂直的三條直線”，要在題目中找出或構(gòu)，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系垂直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂直即線線垂直、線面垂直、面面垂直)，同時要，同時要注意，所建立的坐標系必須是右手空間直角坐標系注意，所建立的坐標系必須是右手空間直角坐標系在右手空間直角坐標系下

6、，點的坐標既可根據(jù)圖中在右手空間直角坐標系下，點的坐標既可根據(jù)圖中有關(guān)線段的長度，也可根據(jù)向量的坐標寫出有關(guān)線段的長度，也可根據(jù)向量的坐標寫出2空間向量的知識和內(nèi)容是在平面向量知識的基礎(chǔ)空間向量的知識和內(nèi)容是在平面向量知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解決本節(jié)的很多內(nèi)容決本節(jié)的很多內(nèi)容(1)零向量是一個特殊向量，在解決問題時要特別注零向量是一個特殊向量，在解決問題時要特別注意零向量，避免對零向量的遺漏意零向量，避免對零向量的遺漏(2)a是一個向量，若是一個向量，若0，則，則a0；若；若0，a0，則則a0.(3)討論向量的

7、共線、共面問題時，注意零向量與任討論向量的共線、共面問題時，注意零向量與任意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性(4)數(shù)量積運算不滿足消去律，即數(shù)量積運算不滿足消去律，即abbc ac.數(shù)量積的運算不適合乘法結(jié)合律，即數(shù)量積的運算不適合乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定不一定等于等于a(bc)這是由于這是由于(ab)c表示一個與表示一個與c共線的向量，而共線的向量，而a(bc)表示一個與表示一個與a共線的向量，而共線的向量，而c與與a不一定共線不一定共線空間向量沒有除法運算空間向量沒有除法運算(5)借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、借助空間向量

8、可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算，如：判斷線線平行距離等問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標運算，如：判斷線線平行或諸點共線，轉(zhuǎn)化為或諸點共線，轉(zhuǎn)化為“ab(b0)ab”；證明線線垂直，；證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為“abab0”，若，若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則轉(zhuǎn)化為計算，則轉(zhuǎn)化為計算a1b1a2b2a3b30；在計算異面直線；在計算異面直線所成的角所成的角(或線面角、二面角或線面角、二面角)時，轉(zhuǎn)化為求向量的時，轉(zhuǎn)化為求向量的兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角與兩異面直線對應(yīng)的向量與兩異面直線對應(yīng)的向量a，b的夾角關(guān)系為的夾角關(guān)系為cos |co

9、sa，b|.4運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一運用空間向量的坐標運算解決立體幾何問題的一般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系；求出相關(guān)點的坐標；寫出向量的坐標；結(jié)合公式進行論證、計算；的坐標；寫出向量的坐標；結(jié)合公式進行論證、計算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論考點一求點的坐標考點一求點的坐標【案例案例1】(2009安徽安徽)在空間直角坐標系中，已在空間直角坐標系中，已知點知點A(1,0,2)，B(1，3,1)，點，點M在在y軸上，且軸上，且M到到A與與到到B的距離相等，則的距離相等，則M的坐標是的坐標是_關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：設(shè)出：設(shè)出M點的坐

10、標后利用空間兩點間的距點的坐標后利用空間兩點間的距離公式求解離公式求解解析解析：本題主要考查空間兩點距離的計算：本題主要考查空間兩點距離的計算設(shè)設(shè)M(0，y,0)，因，因|MA|MB|，由空間兩點間距離，由空間兩點間距離公式得公式得1y241(y3)21，解得，解得y1.答案答案：(0，1,0)(即時鞏固詳解為教師用書獨有即時鞏固詳解為教師用書獨有)【案例案例2】如圖，已知正方體如圖，已知正方體ABCDABCD的棱的棱長為長為a，M為為BD的中點，點的中點，點N在在AC上，且上，且|AN|3|NC|，試求試求MN的長的長關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標系后再求出各點的坐：建立空間直角坐標系后

11、再求出各點的坐標，然后求出標，然后求出MN的長的長解解：以：以D為原點，建立如圖所為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為棱長為a，所以所以B(a，a,0)，A(a,0，a)，C(0，a，a)，D(0,0，a)【即時鞏固即時鞏固1】如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD為正方形，為正方形，且邊長為且邊長為2a，棱，棱PD底面底面ABCD，PD2b，取各側(cè)棱的中點，取各側(cè)棱的中點E，F(xiàn)，G，H，寫出點寫出點E，F(xiàn)，G，H的坐標的坐標解解：由圖形知，：由圖形知，DADC，DCDP，DPDA，故，故以以D為原點，建立如圖空間坐標系為

12、原點，建立如圖空間坐標系Dxyz.因為因為E，F(xiàn)，G，H分別為側(cè)棱中點，由立體幾何知識可知，平面分別為側(cè)棱中點，由立體幾何知識可知，平面EFGH與與底面底面ABCD平行，從而這平行，從而這4個點的豎坐標都為個點的豎坐標都為P的豎坐標的的豎坐標的一半，也就是一半，也就是b.由由H為為DP中點，得中點，得H(0,0，b)E在底面上的投影為在底面上的投影為AD中點，所以中點，所以E的橫坐標和縱的橫坐標和縱坐標分別為坐標分別為a和和0，所以，所以E(a,0，b)，同理，同理G(0，a，b)；F在在坐標平面坐標平面xOz和和yOz上的投影分別為點上的投影分別為點E和和G，故，故F與與E橫坐橫坐標相同都是標相同都是a，與，與G的縱坐標也同為的縱坐標也同為a，又，又F的豎坐標為的豎坐標為b，故故F(a，a，b)考點二空間向量基本定理的應(yīng)用考點二空間向量基本定理的應(yīng)用關(guān)鍵提示關(guān)鍵提示：利用空間向量基本定理將所求向量表示成：利用空間向量基本定理將所求向量表示成已知向量的形式已知向量的形式答案答案：B【即時鞏固即時鞏固3】如圖所示，在如圖所示，在60的二面角的二面角AB中，中，AC，BD，且，且ACAB，BDAB，垂足分，垂足分別為別為A、B，已知，已知ABACBDa，求，求線段線段CD的長的長考點三證明垂直問題考點三證明垂直問題(1)求證：求證：EFB1C；(2