阿諾爾德給5至15歲孩子出的數(shù)學(xué)題

1、阿諾爾德給5至15歲孩子出的數(shù)學(xué)題這個(gè)小冊子由作者挑選或者編寫的79道數(shù)學(xué)題，目的是為了思維文化的發(fā)展。大部分題目不需要普通教育外的特殊知識。然而，其中的一些題對教授也是個(gè)挑戰(zhàn)。這本書是針對中學(xué)生、大學(xué)生、教師和父母， 所有認(rèn)為思維文化訓(xùn)練是個(gè)人發(fā)展基本要素的人們。作者序2004年春，一些在巴黎居住的俄羅斯人要求我?guī)椭麄兊哪贻p孩子以傳統(tǒng)俄羅斯的思維發(fā)展訓(xùn)練。我深信，這個(gè)文化最早是通過早期獨(dú)立思考簡單但不容易的問題來培養(yǎng)的（我最推薦問題1、3、13）。我的長期經(jīng)驗(yàn)表明，在校學(xué)習(xí)遲鈍的C級學(xué)生可以比優(yōu)秀學(xué)生更好地解決這些問題，因?yàn)樗麄冊谡n堂后面的智力“堪察加”的生存“要求比管理帝國所需要的更多的

2、能力”， 正如費(fèi)加羅在博馬舍的戲中所說的那樣。 另一方面，A級學(xué)生在這些問題上無法弄清楚“什么東西要乘以什么”。 我甚至注意到，五歲的孩子比那些被學(xué)校訓(xùn)練摧殘的學(xué)齡兒童更能解決這樣的問題，而相應(yīng)地，這些學(xué)齡前兒童又比那些忙于死記硬背的大學(xué)生們更容易找到解答。 （諾貝爾獎或菲爾茲獎得主在解決這些問題上是最糟糕的。）問題1.    瑪莎（Masha）身上的錢買一本字母書差7戈比，美莎（Misha）身上的錢買這本書差1戈比。她們把身上的錢合起來買這本書還是不夠。問這本字母書多少錢？（譯者注：戈比是俄羅斯最小的貨幣單位）2.    一個(gè)帶有軟木塞的瓶子售價(jià)為1.

3、1美元，而瓶子本身比軟木塞高出10美分。問軟木塞值多少錢？3.    一塊磚的重量是一磅加半塊磚的重量。 問這塊磚重多少磅？4.    從一桶葡萄酒中取出一勺葡萄酒放入一杯茶（未滿）里。 之后，將等量的一勺玻璃杯混合液體倒入葡萄酒桶中。此時(shí)，每個(gè)容器里都有一定量的“外來”液體（玻璃杯里的酒和桶里的茶）。 問哪一種外來液體的體積更大：桶里的茶還是玻璃杯中的酒？5.    兩名老年婦女在黎明時(shí)離開，一名從A到B，另一名從B到A. 她們（沿著同一條路）相向而行。 她們在中午見面，但并沒有停下來，并且她們每個(gè)人都以以前一樣的速度繼續(xù)前行。 第

4、一位女士在下午4點(diǎn)抵達(dá)B，第二位女士晚上9點(diǎn)抵達(dá)A。 問她們是當(dāng)天黎明幾點(diǎn)出發(fā)的？6.   （在一個(gè)美國標(biāo)準(zhǔn)的測驗(yàn)中）一個(gè)直角三角形的斜邊是10英寸，此斜邊上的高是6英寸。求此直角三角形的面積。過去十年，美國高中生都能成功的解答這道題。而一些從莫斯科來的俄羅斯學(xué)生卻不能得到他們美國同伴的答案（30平方英寸）。這是為什么呢？7.    維克多 (Victor) 的姐妹比他的兄弟多2個(gè)。問維克多的父母的女兒比兒子多幾個(gè)？8.    南美洲有一個(gè)圓形的湖泊。 每年的6月1日，一朵王蓮花 (Victoria Regia flower) 出現(xiàn)在

5、它的中心。 （它的莖從湖底部升起，它的花瓣像睡蓮一樣躺在水面上）。 每天花的面積加倍，至7月1日，它終于覆蓋整個(gè)湖泊，然后花瓣落下，其種子下沉。 問幾月幾號時(shí)，花的面積是湖泊面積的一半？9.    一個(gè)農(nóng)夫必須把一只狼，一只山羊和一棵白菜運(yùn)過河。 但是這艘船太小了，他每次只能帶這三個(gè)中的一個(gè)過河。 問他怎樣才能把這三個(gè)都運(yùn)過河去？ （狼不能和山羊單獨(dú)呆在一起，山羊不能和白菜單獨(dú)呆在一起。）10.  白天，蝸牛在一根柱子上向上爬了3厘米。 在夜間，它睡著了，向下滑了2厘米。 這根柱子有10米高，一個(gè)美味的甜點(diǎn)正在柱子頂端等待蝸牛。 問蝸牛要花多少天才能品嘗到甜點(diǎn)？1

6、1.    一個(gè)獵人離開他的帳篷向南走了10公里，然后向東直行，走了10公里，射殺了一頭熊，然后轉(zhuǎn)身向北走了10公里后發(fā)現(xiàn)了自己的帳篷。問熊是什么顏色？這是在哪里發(fā)生的？12.   今天中午十二時(shí)發(fā)生滿潮。（在同一地點(diǎn)）滿潮明天幾點(diǎn)發(fā)生？13.  兩卷普希金的書，第一卷和第二卷，并排放在書架上。 每卷書的頁面總厚度（不包含封面和封底）為2厘米，封面和封底各有2毫米厚。 書蟲從第一卷第一頁啃到第二卷的最后一頁（垂直于頁面啃咬）。問書蟲的軌跡有多長？ 這個(gè)拓?fù)鋯栴}有個(gè)令人難以置信的答案 4mm 這對于院士來說是完全不可能的，但是一些學(xué)齡前兒童可以輕

7、松應(yīng)對。作者注：在提出這個(gè)問題的時(shí)候，我試圖在2000年“物理學(xué)進(jìn)展”雜志百周年期刊的邀請論文中說明數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家在研究方法上的差異。 我的成功遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了我所想到的目標(biāo)：我的設(shè)計(jì)是基于學(xué)齡前兒童的經(jīng)驗(yàn)，與編輯們的經(jīng)驗(yàn)不同，所以編輯們不能解決這個(gè)問題。 所以他們?yōu)榱说玫酱鸢?毫米把題目改成了下面的方式：他們改成了“從第一卷的最后一頁到第二卷的第一頁”，而不是“從第一卷的第一頁到第二卷的最后一頁”。這個(gè)真實(shí)的故事是如此令人難以置信，所以我要把這個(gè)題目寫進(jìn)來：證據(jù)是雜志發(fā)表的編輯版本。14.   從上面和從前面看，某個(gè)物體（多面體）的形狀如下。 畫出從側(cè)面看它的形狀。 （多面體

8、的隱藏邊用虛線顯示。）俯視         前視15.  有多少種方法將數(shù)字64分成十個(gè)自然數(shù)之和，其中每個(gè)自然數(shù)不超過12？ 只有加數(shù)順序不同的和不能算作不同的和。16.  我們有一些質(zhì)地相同的塊（比如，多米諾骨牌）。我們把這些塊堆放起來，使得最上面的塊比最底下的塊移出x長度。問：x最大可能是多少？17.   A鎮(zhèn)和B鎮(zhèn)之間的距離是40公里。 兩名騎自行車的人從A和B同時(shí)離開相向而行，一個(gè)以10 km / h的速度行駛，另一個(gè)以15 km / h的速度行駛。 一只蒼蠅與第一個(gè)騎手一起離開A，以100公里

9、/小時(shí)的速度飛向第二個(gè)騎手。 蒼蠅遇到第二個(gè)騎手時(shí)，觸碰到他的額頭，然后飛回到第一個(gè)騎手，碰到他的額頭，再返回到第二個(gè)騎手，一直這樣下去，直到兩個(gè)騎手的額頭碰撞并壓扁蒼蠅。 問：蒼蠅一共飛行了多少公里呢？18.  瓦尼亞（Vanya）解決了一個(gè)關(guān)于兩個(gè)學(xué)齡前（preschool）兒童的問題。 在給定兩個(gè)孩子年齡乘積的情況下，瓦尼亞必須找出他們的年齡（這是整數(shù)）。瓦尼亞說這個(gè)問題不能解決。 老師稱贊他說得對，然后給這個(gè)了問題增加了條件：大孩子的名字是佩蒂婭（Petya）。 這時(shí)瓦尼亞可以馬上解決這個(gè)問題。 現(xiàn)在請你解答這個(gè)題。（譯者注：美國的學(xué)齡前（preschool）指的是不超過5歲

10、的孩子。）19.  整數(shù)140 359 156 002 848是否能被整數(shù) 4 206 377 084 整除？20.  一塊多米諾骨牌可以覆蓋棋盤的兩個(gè)方格。請用31塊多米諾骨牌蓋滿一個(gè)除去左上和右下方格（在同一對角線上）的棋盤。（一個(gè)棋盤由8×8 = 64個(gè)方格組成）21.   一只毛毛蟲想要從一個(gè)立方體房間的地板的左前角爬到另一個(gè)角落（天花板的右后角）。 請找出沿著房間墻壁的最短路線。22.  你有兩個(gè)容器：分別為5升和3升。 用它們測量出一升液體，并將液體留在其中一個(gè)容器中。23.  家里有五個(gè)腦袋和十四條腿。 問家里

11、有多少人，多少只狗？24.  在三角形 ABC 的邊 AB，BC 和CA的外部構(gòu)造三個(gè)等邊三角形。 證明這些等邊三角形的中心（在圖上用星號標(biāo)記）構(gòu)成一個(gè)等邊三角形。25.  用平面切割立方體得到的截面可能會是什么多邊形？ 我們能得到五邊形嗎？ 七邊形？ 正六邊形嗎？26.   畫一條直線穿過一個(gè)立方體的中心，使得從立方體的八個(gè)頂點(diǎn)到它的距離的平方和為（a）最大，（b）最小（與其它這樣的直線相比）。27.  一個(gè)正圓錐體沿著一條閉合的曲線被一個(gè)平面切割。 圓錐體的兩個(gè)內(nèi)切球與平面相切，一個(gè)在A點(diǎn)，另一個(gè)在B點(diǎn)。在橫截面上找到一個(gè)點(diǎn)C，使距離CA

12、+ CB之和為（a）最大，（b）最小。28.  地球表面投射到一個(gè)圓柱體上，這個(gè)圓柱體由與經(jīng)線相切的直線構(gòu)成，這些直線與赤道的交點(diǎn)正是直線與經(jīng)線的切點(diǎn)。這個(gè)投影是沿著平行于赤道平面的光線作出的，并通過連接地球的北極和南極的地球軸線。問：法國的投影面積是否大于或小于法國的面積呢？29.  證明29.  證明除奇素?cái)?shù)p的余數(shù)為1.除奇素?cái)?shù)p的余數(shù)為1.30.  將一根10厘米長的針隨機(jī)扔到格子紙上。 紙上相鄰線之間的距離也是10厘米。 重復(fù)N（比如一百萬）次。 問：多少次（在百分之幾的誤差內(nèi)）針會落下與紙上的一條線相交？    人們可以用

13、N = 100而不是一百萬次投擲來進(jìn)行 這個(gè)實(shí)驗(yàn)。 （我十歲的時(shí)候做過這個(gè)實(shí)驗(yàn)。）這個(gè)問題的答案是令人驚訝的：(2/)N. 而且，即使對于長度為a·10 cm的彎曲針，在N次投射中觀察到的相交的次數(shù)也約為(2a/)N. 由此得到這個(gè)問題的答案是令人驚訝的：(2/)N. 而且，即使對于長度為a·10 cm的彎曲針，在N次投射中觀察到的相交的次數(shù)也約為(2a/)N. 由此得到31.  有些多面體只有三角形面。 例如某些柏拉圖立體： （正）四面體（4面），八面體（8面）和二十面體（20面）。 二十面體的面全等，有12個(gè)頂點(diǎn)，有30個(gè)邊。對于任何這樣的立體圖形（具有三角形

14、面的有界凸多面體），面的個(gè)數(shù)是否等于頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的兩倍再減去四？四面體八面體二十面體32.  還有一個(gè)柏拉圖立體（總共有5個(gè)）：十二面體。 它是一個(gè)凸多面體，具有12（正）五邊形面，20個(gè)頂點(diǎn)和30條邊（其頂點(diǎn)是二十面體的各個(gè)面的中心）。將五個(gè)立方體內(nèi)接于十二面體內(nèi)，其頂點(diǎn)也是十二面體的頂點(diǎn)，其邊是十二面體的面的對角線。 （立方體有12條邊，每條邊落在十二面體的一個(gè)面上）。 這個(gè)構(gòu)造由開普勒發(fā)明，用來描述他的行星模型。33.  兩個(gè)正四面體可以內(nèi)接于一個(gè)立方體中，使得它們的頂點(diǎn)也是立方體的頂點(diǎn)，它們的邊是立方體面的對角線。 描述這兩個(gè)四面體的相交部分。正方體體積和這兩個(gè)四面體相

15、交部分體積的比值是多少？33(之二).給定正方體邊上三個(gè)點(diǎn)，構(gòu)造出通過這三點(diǎn)的平面與正方體的截面。 繪制平面與立方體相交的多邊形。34.  四面體有多少個(gè)對稱？ 立方體？ 八面體？ 二十面體？ 十二面體？ 圖形的對稱是這個(gè)圖形保持長度的變換。這些對稱中有多少個(gè)是旋轉(zhuǎn)，有多少個(gè)是平面的反射（對上面五種多面體分別作答）？35.  有多少種方法可以用六種顏色（1，.，6）來涂相似立方體的六個(gè)面（每個(gè)面一種顏色），以使得到的彩色立方體中沒有兩個(gè)是相同的（也就是說，沒有兩個(gè)可以通過旋轉(zhuǎn)變換變成彼此）？36.  有多少種不同的方法來排列n個(gè)對象？ 對于n = 3，有6種方式：

16、（1，2，3），（1,3,2），（2,1,3），（2,3,1），（3,1,2），（ 3, 2, 1）。 如果對象的個(gè)數(shù)是n = 4？ n = 5？ n = 6？ n=10呢？37.   一個(gè)立方體有4個(gè)主對角線（連接其相對的頂點(diǎn)）。 通過旋轉(zhuǎn)立方體能得到這四個(gè)主對角線的多少種不同排列？38.  一些整數(shù)和的立方減去這些整數(shù)的立方和。得到的差總能被3整除嗎？39.  與38題類似。問一些整數(shù)和的5次方減去這些整數(shù)的5次方和，得到的差總能被5整除嗎？一些整數(shù)和的7次方減去這些整數(shù)的7次方和，得到的差總能被7整除嗎？40.  計(jì)算下式的和（誤差不超過

17、正確答案的1%）41.  如果兩個(gè)多邊形具有相等的面積，則可以將它們切割成有限個(gè)的子多邊形，使得重新排列這些子多邊形可以得到第一個(gè)和第二個(gè)多邊形。 證明這個(gè)結(jié)論。 對于空間體而言情況并非如此：立方體和等體積的四面體不能通過這種方式得到！42.  一張方格紙上的四個(gè)格子點(diǎn)是平行四邊形的頂點(diǎn)。 事實(shí)上，在這個(gè)平行四邊形的邊上或其內(nèi)部沒有其它格子點(diǎn)。 證明這個(gè)平行四邊形的面積等于方格紙的一個(gè)方塊的面積。43.   假設(shè)在問題42中，一個(gè)平行四邊形內(nèi)部有a 個(gè)格點(diǎn)，邊上有b個(gè)格點(diǎn)。 求這個(gè)平行四邊形的區(qū)域。（譯者注：平行四邊形的頂點(diǎn)不算做邊上的點(diǎn)，見上圖。）44

18、.  在三維平行六面體中有類似與43題的結(jié)果嗎？45.  斐波那契（“兔”）數(shù)是序列（a1=1 ），1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，. ，對于任何n = 1, 2，.，.  an+2=an+1+an求 a100和 a99的最大公約數(shù)。46.  沿不相交的對角線切割能將凸n邊形切割成三角形。 不同的切割方式的個(gè)數(shù)稱為卡塔蘭 (Catalan) 數(shù)，記為 c(n)。 例如，c(4)= 2，c(5)= 5，c(6)= 14。求 c(10)？47.  有n個(gè)隊(duì)伍參加一個(gè)錦標(biāo)賽。 每場比賽之后，負(fù)的隊(duì)將被淘汰出局。經(jīng)過n-1

19、場比賽之后的勝者將成為錦標(biāo)賽的冠軍。比賽的賽程可用以下符號記錄(例如) ( (a,(b,c),d )。 這個(gè)記號表示有4個(gè)隊(duì)伍參加。 首先b對陣c，然后贏家對陣a，最后，第二場比賽的勝者對陣d. 如果錦標(biāo)賽有10支參賽隊(duì)伍，問有多少個(gè)不同的賽程？如果2支隊(duì)伍參賽，我們只有(a,b)這一個(gè)賽程。如果3支隊(duì)伍參賽，則可能的賽程是3個(gè)：它們是(a,b),c)或(a,c),b)或(b,c),a)。 如果對于4支隊(duì)伍參賽，我們有15種可能的賽程：48.  我們用 n - 1 條線段連接n個(gè)點(diǎn)1，2，. , n 組成一棵樹。有多少個(gè)不同的樹？ （即使是n = 5的情況也很有趣

20、?。涞膫€(gè)數(shù) = 1，樹的個(gè)數(shù)=3，樹的個(gè)數(shù)=16.49.  數(shù)字 1，2，, n 的一個(gè)排列稱為一條蛇（長度n），如果x1 < x2 > x3 < x4 >. .例如，n=2, 只有 1 < 2，蛇的個(gè)數(shù)=1；n=3, 1 < 3 > 2,2 < 3 > 1, 蛇的個(gè)數(shù)=2；n=4, 1 < 3 > 2 < 4,  1 < 4 > 2 < 3,  2 < 3 > 1 < 4,  2 < 4 >

21、1 < 3,  3 < 4 > 1 < 2, 蛇的個(gè)數(shù)=5；求，長度為10的蛇的個(gè)數(shù)。50.  長度為n的蛇的個(gè)數(shù)記為sn。注意到證明正弦函數(shù)的泰勒展式：51.  求以下級數(shù)52.  對 s > 1, 證明下面的等式（左邊對所有素?cái)?shù)p做乘積，右邊的對所有自然數(shù)n求和）(譯者注：原文的右邊級數(shù)求和的下標(biāo)是n = 1，而不是n + 1)53.  求以下級數(shù)（證明這個(gè)級數(shù)等于2/6，或近似等3/2）54.  求分式q/p 在最小項(xiàng)意義下的概率。這個(gè)概率是這樣定義的：在圓盤p2+q2<=R2 中， 我們用N

22、(R) 來記圓盤中的所有滿足坐標(biāo)p和q互素的整數(shù)點(diǎn) (p, q) 的個(gè)數(shù)， 用 M(R) 來記圓盤中所有整點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這個(gè)概率等于 N(R)/M(R), 當(dāng) R趨向于無窮時(shí)的極限。(MR2 )55.  在45題中，我們定義了斐波那契數(shù)列。求當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，an+1/an的極限答案是“黃金分割率”，答案是“黃金分割率”，。這個(gè)比率正是一張明信片兩邊的比例。在明信片上減去以此明信片短邊為邊長的正方形后剩下長方形的兩邊比率也近似于黃金分割率。黃金比例與正五邊形和五角星有什么關(guān)系？。這個(gè)比率正是一張明信片兩邊的比例。在明信片上減去以此明信片短邊為邊長的正方形后剩下長方形的兩邊比率也近似于黃金

23、分割率。黃金比例與正五邊形和五角星有什么關(guān)系？56.  計(jì)算下面無限連分?jǐn)?shù)的和。其中，a2k=1,a2k+1=2，即，求當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，下式的極限57.  以多項(xiàng)式形式表示： y=cos 3( arccos x),  y=cos 4(arccos x),  y=cos n(arccos x), 其中|x|158.  計(jì)算n次單位根的k次方的和。59.  在 (x, y) 平面上，作出下面參數(shù)方程定義的曲線：60.  計(jì)算下面的積分（誤差不超過10%）61.  計(jì)算下面的積分（誤差不超過10%）62. 

24、求單位球面上角度為(,)的球面三角形的面積。（球面三角形的邊長是大圓；即，過球心的平面與球面的交線。）答案是： S=+-（例如，假設(shè)這個(gè)球面三角形的三個(gè)內(nèi)角都是直角，則S=/2 即球面面積的1/8）63.  一個(gè)半徑為r的圓在半徑為1的圓內(nèi)滾動（不滑動）。分別對下述情況繪制滾動圓上一個(gè)點(diǎn)的整個(gè)軌跡（該軌跡稱為內(nèi)擺線）： r=1/3,r=1/4,r=p/q,r=1/2;64.  在一個(gè)有n個(gè)學(xué)生的班級里，估計(jì)兩個(gè)同學(xué)生日相同的概率。這會是一個(gè)大概率事件，還是小概率？答案：當(dāng)學(xué)生人數(shù)大于某個(gè)數(shù)n0時(shí)，概率是（非常）大的；當(dāng)學(xué)生人數(shù)小于n0時(shí)，概率是（非常）小的。這題真正問的是n

25、0具體是多少（當(dāng)概率p1/2時(shí)）？65.  斯涅爾定律（Snells Law）描述的是入射角 滿足方程 n(y)sin=常數(shù)，其中 是光束與分層介質(zhì)法線所成的夾角，n ( y ) 是層高 y 處的折射率。（如果我們假設(shè)光速在真空中為1，量n與介質(zhì)中的光速成反比例。在水中，n = 4/3）。畫出在介質(zhì)“沙漠上的空氣”中光線的軌跡，其中折射率n ( y ) 在某個(gè)高度達(dá)到最大值。（見下面的右圖）（對于那些理解物體發(fā)出光線的軌跡是怎樣與它們的像聯(lián)系的人，這道題的解答可以解釋海市蜃樓現(xiàn)象。）66.  在一個(gè)銳角三角形ABC中做出一個(gè)周長最小的內(nèi)接三角形KLM（頂點(diǎn)K在AB邊上，L在

26、BC邊上，M在CA邊上）。提示：非銳角三角形的答案并不像銳角三角形的答案那樣完美。67.  計(jì)算函數(shù)1/r 在以點(diǎn)（X,Y,Z）為圓心半徑為R的球面上的均值，其中r是點(diǎn) (x, y, z) 到原點(diǎn)的距離，67.  計(jì)算函數(shù)1/r 在以點(diǎn)（X,Y,Z）為圓心半徑為R的球面上的均值，其中r是點(diǎn) (x, y, z) 到原點(diǎn)的距離， 。提示：這個(gè)問題與牛頓的萬有引力定律和電場里的庫侖定律有關(guān)。 在問題的二維版本中，給定的函數(shù)應(yīng)該用ln r來代替，球面用圓來代替。68.  利用210=1024103不難得到lg20.3 ，估計(jì)近似值0.3和lg2 的差，并且計(jì)算l

27、g2（保留小數(shù)點(diǎn)后3位）。69. 用與68題相同的精度計(jì)算lg4,lg8,lg5,lg50,lg32,lg128,lg125 和lg64.70.  利用7250計(jì)算lg7的近似值。71.假設(shè)已知 lg64 和 lg7 的值，求 lg9,lg3,lg6,lg27 和lg12.72.  利用 ln(1+x)x（其中 ln 指的是loge ），再利用關(guān)系lg a=ln a / ln10 和之前計(jì)算的lg a （例如，a=128/125, a=1024/1000等）的值來計(jì)算lg e 和 ln 10.花半個(gè)小時(shí)計(jì)算后，利用第67-71題結(jié)果，我們可以得到任意數(shù)的

28、4位對數(shù)表，其中用到了對數(shù)乘積公式和以下公式（這也是牛頓編制40位對數(shù)表的方法?。┳髡咦ⅲ簹W拉常數(shù) e=2.71828其嚴(yán)格定義為它也可以通過公式它也可以通過公式來定義。來定義。73.  考慮2的冪次序列：1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 在前12個(gè)數(shù)字中，4個(gè)以1開頭，沒有以7開頭的。證明當(dāng)n時(shí) 每個(gè)數(shù)都可能成為2m,0mn，的首位數(shù)，并且它們出現(xiàn)的頻率為p130%，p218%p94%：74.  驗(yàn)證3的冪次序列的首位數(shù)：1，3，9，2，8，2，7， 證明，每個(gè)數(shù)在3的冪次序列中出現(xiàn)的頻率和它在2的冪次序

29、列出現(xiàn)的頻率一致。求出p1，.，p9 的準(zhǔn)確公式。提示：x 的首位數(shù)由lg x的小數(shù)部分決定。因此，我們需要考慮 ma 小數(shù)部分的序列，其中a=lg2。證明這些小數(shù)部分在 0,1 內(nèi)均勻分布：n 個(gè)ma的小數(shù)部分,  且 0<=m<n,且提示：x 的首位數(shù)由lg x的小數(shù)部分決定。因此，我們需要考慮 ma 小數(shù)部分的序列，其中a=lg2。證明這些小數(shù)部分在 0,1 內(nèi)均勻分布：n 個(gè)ma的小數(shù)部分,  且 0<=m<n,且的長度，其中A是一個(gè)子區(qū)間，kn(A)是子區(qū)間包含的n個(gè)小數(shù)部分序列落在子區(qū)間A中的個(gè)數(shù)。的長度，其中A是一個(gè)子區(qū)間，kn(A)是子區(qū)間包含的n個(gè)小數(shù)部分序列落在子區(qū)間A中的個(gè)數(shù)。75.  設(shè)g:MM 是一個(gè)有界