平行四邊形典型問題分類解析

1、平行四邊形典型問題分類解析為了開闊同學(xué)們的視野，特就一些平行四邊形典型問題分類選解幾例，希望同學(xué)們從中得到啟示1證明線段垂直例 1已知：如圖，在平行四邊形ABCD 中， AB = 2 BC， M 為 AB 的中點(diǎn)，求證：CM DM分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，不僅對(duì)角相等， 而且相鄰角的角也互補(bǔ)，這就為證明垂直提供了充分的條件又有已知中 AB = 2 BC 和 M 為 AB 的中點(diǎn)，可以得到相等的角其中有內(nèi)錯(cuò)角相等，也有等邊對(duì)等角性質(zhì)的應(yīng)用，使 CDM DCM = 90 ，可使問題得到解決證明：在平行四邊形 ABCD 中， AB CD， AD = BC， AMD = CDM， BMC = DC

2、M，DC AB = 2BC，M 是 AB 的中點(diǎn)， AD = AM = BM = BC ADM = AMD， BMC =BC M ADM = CDM， BC M = DCM ，AMB CDM =1 ADC， DCM =1 BCD例 1 圖22又 ADC BCD = 180， CDM DCM = 90，即 DMC = 90 CM DM 評(píng)析：本題通過利用平行四邊形和等腰三角形的性質(zhì)，證明了CM、DM 所在的三角形兩銳角互余，由三角形內(nèi)角和定理得出DMC = 90 ，從而得到結(jié)論這是證明兩線段互相垂直的常用方法2證明線段平行例 2 如圖， AB、 CD 交于點(diǎn) O， AC DB，AO = BO，E

3、、F 分別為 OC、OD 的中點(diǎn)，連結(jié)AF、 BE求證： AF BE分析：從已知條件可證 AOC BOD，得到 OC = OD ，又有 E、 F 為OC、OD 中點(diǎn)，則 OE = OF，判定四邊形 AFBE 為平行四邊形，即有 AF BECAEOFB證明：連結(jié)BF、 AE ， AC DB ， C = DD例 2 圖CD ,在 AOC 和 BOD 中，有AOCBOD ,AOBO . AOC BOD ， OC = OD 又 E、 F 為 OC、OD 的中點(diǎn)， OE = OF，四邊形 AFBE 是平行四邊形， AF BE精選文檔評(píng)析：學(xué)習(xí)了平行四邊形以后，又多了一種證明平行線的方法3證明線段相等例

4、3如圖， ABC 中， AB = AC， P 是 BC 上的一點(diǎn)， PEAC， PF AB，分別交AB、AC 于 E、 F，請(qǐng)猜出線段 PE、 PF、AB 之間存在什么關(guān)系，并證明你的猜想分析：從已知條件中不難證明PF = AE ，PE = BE，從而 PE、PF、AB 之間滿則關(guān)系式 PEPF = AB即猜想結(jié)論： PE PF = AB證明： PE AC， BPE = CAEFBCP AB = AC， B = C，例 3 圖 BPE = B， PE = BEPE AC，PF AB，四邊形 AEPF 是平行四邊形，PF = AE BEAE = AB， PE PF = AB評(píng)析：在解決此類探索性

5、問題時(shí)，一般通過對(duì)已知條件的分析、比較、概括探索出結(jié)論，這就是對(duì)猜想問題的常用解題思路4求線段的長度例 4如圖，在四邊形ABCD 中， AB = 6，BC = 8， A = 120，B=60， C = 150 ，求 AD 的長分析： 要求 AD 的長度， 需要借助輔助線把問題轉(zhuǎn)化，由 A 和 B 的關(guān)系可以判定AD BC，這樣不妨過點(diǎn) C作 AB 的平行線， 構(gòu)成一個(gè)平行四邊形， 然后利用角之間的AE關(guān)系與平行四邊形的性質(zhì)，使問題得以解決D解：點(diǎn) C 作 CEAB 交 AD 于 E，BAB=180，ADBC例 4 圖C，四邊形 ABCE 是平行四邊形 AE = BC = 8，CE = AB =

6、 6， BCE =A =120 又 BCD = 150 ， DCE = 30 而D =360 120 60 150 = 30 ， D =DCE = 30 ， DE = CE， AD = 86 = 14評(píng)析：在判定AD BC 后，輔助線的添加是解題的關(guān)鍵，雖然輔助線的添加在解題時(shí)沒有一定規(guī)律可循，但可以通過分析已知條件與待求結(jié)論，從中得到啟發(fā)，從而正確地作出輔助線精選文檔證題技巧面積法由于等底等高的三角形的面積等于平行四邊形面積的一半;相似三角形面積的比等于相似比的平方 ;等高三角形面積的比等于底的比 ,等底三角形面積的比等于高的比 ;同底 (或等底 )等高 (同高 )的三角形的面積相等 .因此

7、 , 題目中如有平行線、角平分線或等底等高的三角形時(shí)，可試用面積法處理。例 1 已知 :如圖 1. ABCD ， F、 E 分別在 BC、 CD 上， DG AF 于 G， BH AE 于 H ，若 DG=BH ，則 AF=AE證明：連結(jié)BE 、DF SABE =1SABCD2S ADF =1SABCD2 SABE= SADF DG AFBHAE SABE=1AE.BHS ADF= 1AF.DG22 DG=BHAF=AE圖 2圖 1例 2 如圖 2, OO1和 OO2外切于點(diǎn)P,AB 過點(diǎn) P 交 OO1和 OO2于 A、B，BH 切 OO2于 B，交 OO 1于 C、H，（ 1）求證： BC

8、P HAP精選文檔（ 2）若 AP PB=32 且 C 為 AB 中點(diǎn)，求 HA BC證明 (1) 過點(diǎn) P 作兩圓的公切線交BH于點(diǎn)E由切線長定理知 BE=PE所以 2=3由弦切角定理知 4= 5又 4=3 所以 5=2又 1 是圓內(nèi)接四邊形APCH 的外角 ,所以 1= A所以 BCP HAP(2) 因?yàn)?BCP HAP 所以S HAPHA2=SPBCBC因?yàn)?HAP 和 BHP 同高 .所以SHAPAP= 3=PBSPBH2又 HBP 和 BCP 同高 .且 C 為 BH 的中點(diǎn) ,所以 ,SBCPBC1=BH=2SPBH所以 ,SHAP所以 ,= 3SPBCHA=3BC例 3已知 :如圖 3, SABC= 20DE BC,AD=x ,SBDE= y 寫出 y 與 x之間的函數(shù)關(guān)系式AB解: DEBCADE ABCSADEAD22=AB=xSABC SADE= 20x2又 ADE 和 BDE 同高SADEAD