第一節(jié)二重積分的概念和性質(zhì)ppt課件

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂第十章第十章 重積分重積分第一節(jié)第一節(jié) 二重積分的概念和性質(zhì)二重積分的概念和性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算法二重積分的計(jì)算法第三節(jié)第三節(jié) 三重積分三重積分第四節(jié)第四節(jié) 重積分的應(yīng)用重積分的應(yīng)用多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線(xiàn)積分曲線(xiàn)積分曲面積分曲面積分山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂第一節(jié) 二重積分的概念和性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 二、二重積分的定義二、二重積分的定義 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂ix1 ix1xi 2x1 1 分割分割2 2 近似近似 ( (以直代曲以直代曲

2、) )iiixfS )( 3 3 求和求和yxoy=f (x)1nx niiixfS1)( ab.分法越細(xì)，越接近精確值分法越細(xì)，越接近精確值1. 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積f (i).山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂ix1 ixi 4 取極限取極限yxoy=f (x)令分法無(wú)限變細(xì)令分法無(wú)限變細(xì).ab.分法越細(xì)，越接近精確值分法越細(xì)，越接近精確值1 分割分割2 近似近似 (以直代曲以直代曲)3 求和求和 niiixfS1)( iiixfS )( 1. 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.f (i)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂ix1 ixi 4 取極限取極限yxoy

3、=f (x)令分法無(wú)限變細(xì)令分法無(wú)限變細(xì).分法越細(xì)，越接近精確值分法越細(xì)，越接近精確值1 分割分割2 近似近似 (以直代曲以直代曲)3 求和求和 niiixfS1)( iiixfS )( 1. 1. 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.f (i) niiixf1)(lim 記記S =. baxxfd )( S.ab山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 如何計(jì)算曲頂柱體的體積？如何計(jì)算曲頂柱體的體積？一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊

4、界為準(zhǔn)線(xiàn)的邊界為準(zhǔn)線(xiàn) , 母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于 z 軸的柱軸的柱面面求其體積.D),(yxfz 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂柱體體積柱體體積= =底面積底面積高高特點(diǎn)：平頂特點(diǎn)：平頂. .柱體體積柱體體積= =？特點(diǎn)：曲頂特點(diǎn)：曲頂. .),(yxfz D問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 如何計(jì)算曲頂柱體的體積？如何計(jì)算曲頂柱體的體積？“分割, 近似, 求和, 取極限” 解決問(wèn)題的思路解決問(wèn)題的思路: : 類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想類(lèi)似定積分解決問(wèn)題的思想: :山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂x0z y DSS : z = f (x,y)分割：任意分割區(qū)域分割：任意分割區(qū)域 D, 化整為零化整為

5、零2 近似：以平代曲近似：以平代曲. . 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積i山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂x0z yDS : z = f (x,y)iiiifV),( 3 求和：求和：niiiifV1),(2 近似：以平代曲近似：以平代曲 分割：任意分割區(qū)域分割：任意分割區(qū)域 D, 化整為零化整為零.i. 曲頂柱體的體曲頂柱體的體積積山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂x0z yDS : z = f (x,y)iiiifV),(3 求和求和niiiifV1),(4 取極限取極限i2 近似：以平代曲近似：以平代曲 分割：任意分割區(qū)域分割：任意分割區(qū)域 D, 化整為零化整為零.niiii

6、f1),(limV =. 曲頂柱體的體曲頂柱體的體積積山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂x0z yV. 曲頂柱體的體曲頂柱體的體積積S : z = f (x,y)iiiifV),(3 求和求和niiiifV1),(4 取極限取極限2 近似：以平代曲近似：以平代曲分割：任意分割區(qū)域分割：任意分割區(qū)域 D, 化整為零化整為零niiiif1),(limV =山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 設(shè)設(shè)有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域D，在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處的的面面密密度度為為),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上連連續(xù)續(xù)，平平面面薄薄片片的的質(zhì)質(zhì)量量為

7、為多多少少？求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量i),(ii 將薄片分割成若干小塊，將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量和近似等于薄片總質(zhì)量.),(lim10iiniiM xyo山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂兩個(gè)問(wèn)題的共性：兩個(gè)問(wèn)題的共性：(1) (1) 解決問(wèn)題的步驟相同解決問(wèn)題的步驟相同(2) (2) 所求量的結(jié)構(gòu)式相同所求量的結(jié)構(gòu)式相同“分割分割, , 近似近似, , 求和求和, ,取極限取極限”niiiifV10),(limniiiiM10),(lim曲頂柱體體積曲頂柱體體積:

8、 : 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量: : 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、二重積分的定義二、二重積分的定義.定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域?qū)^(qū)域 D 任意分成任意分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域),2,1(nii任取一點(diǎn),),(iii若存在一個(gè)常數(shù)若存在一個(gè)常數(shù) I , 使使niiiifI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱(chēng)Dyxfd),(),(yxfI為稱(chēng)在在D上的二重積分上的二重積分.稱(chēng)為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù)上的有界函數(shù) , 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂0 xyD

9、 Djxi直角坐標(biāo)系下面積元素直角坐標(biāo)系下面積元素d圖示圖示 Ddxdyyxf),(,dxdyd Ddyxf,ky山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂DyxfVd),(引例引例1中曲頂柱體體積中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的質(zhì)量中平面薄板的質(zhì)量:假如假如 在在D上可積上可積,),(yxf也常也常d,ddyx二重積分記作二重積分記作.dd),(Dyxyxf,kjiyx 這時(shí)這時(shí)分區(qū)域分區(qū)域D , 因此面積元素因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃可用平行坐標(biāo)軸的直線(xiàn)來(lái)劃 記作記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂2.注解注解

10、:(1)二重積分的存在性： 若函數(shù)若函數(shù)),(yxf),(yxf在在D上可積上可積.在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域上連續(xù)上連續(xù),那么那么()二重積分幾何意義：二重積分幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積 當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)babadxxfkdxxkf)()(性質(zhì)性質(zhì)

11、badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂性質(zhì)性質(zhì) 對(duì)區(qū)域具有可加性對(duì)區(qū)域具有可加性)(21DDD Ddyxf),(.),(),(21DDdyxfdyxf性質(zhì)性質(zhì) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. 假設(shè)假設(shè) 為為D D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì)4dxba 1dxba ab .性質(zhì)性質(zhì)4山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf 則有則有)()(xgxf ,b

12、a如果在如果在 上上性質(zhì)性質(zhì)dxxfba)(則dxxgba )( 特殊地特殊地dxxfba )(dxxfba )(.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 設(shè)設(shè)M、m分別是分別是),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D 上的上的最大值和最小值，最大值和最小值， 為為 D 的面積，則的面積，則性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1),(),

13、(d),(fyxfD使因而 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域D上上連連續(xù)續(xù)， 為為D的的面面積積，則則在在 D 上上至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)),( 使使得得性質(zhì)性質(zhì) ),(),(fdyxfD山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)域區(qū)域 D的面積的面積 , ab山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例 2 2 估估計(jì)計(jì) DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 y

14、xyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的最小值的最小值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂xbad 四、曲頂柱體體積的計(jì)算四、曲頂柱體體積的計(jì)算設(shè)曲頂柱的底為bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx

15、故曲頂柱體體積為DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面積為yyxfxxd),()()(21baxxAd)(截柱體的)(2xy)(1xyzxyoab0 xD山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂ydcxo)(2yx)(1yxyydcd dycyxyyxD),()(),(21同樣, 曲頂柱的底為則其體積可按如下兩次積分計(jì)算DyxfVd),(xyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcyd山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例4. 求兩個(gè)底圓半徑為求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積的直角圓柱面所圍的體積.xyzRRo解解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,222Ryx利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為yxxRVDd