立體幾何中的空間距離問題

1、 陽春市實驗中學 陳育學 一、空間距離一、空間距離 1.兩點間的距離兩點間的距離:連接兩點的連接兩點的 的長度的長度. 2.點到直線的距離：從直線外一點向直線引點到直線的距離：從直線外一點向直線引垂線，垂線， 的長度的長度. 3.點到平面的距離：自點向平面引垂線，點到平面的距離：自點向平面引垂線， 的長度的長度. 4.平行直線間的距離：從兩條平行線中的一平行直線間的距離：從兩條平行線中的一條上任意取一點向另一條直線引垂線條上任意取一點向另一條直線引垂線,_ 的長度的長度.線段線段點到垂足間線段點到垂足間線段點到垂足間線段點到垂足間線段到垂足間線段到垂足間線段點點5.異面直線間的距離異面直線間的

2、距離:兩條異面直線的兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的公垂線夾在這兩條異面直線間的 的的長度長度.6.直線與平面間的距離直線與平面間的距離:如果一條直線如果一條直線和一個平面平行和一個平面平行,從這條直線上任意一點向從這條直線上任意一點向平面引垂線平面引垂線, 的長度的長度.7.兩平行平面間的距離：夾在兩平行平兩平行平面間的距離：夾在兩平行平面之間的面之間的 的長度的長度.線段線段這點到垂足間線段這點到垂足間線段公垂線段公垂線段二、求距離的一般方法二、求距離的一般方法1.兩點間距離、點到直線的距離和兩兩點間距離、點到直線的距離和兩平行線間的距離其實是平面幾何中的問題，平行線間的距離其實

3、是平面幾何中的問題，可用可用平面幾何方法平面幾何方法求解求解.2.直線與平面間的距離、平行平面間直線與平面間的距離、平行平面間的距離可歸結為求的距離可歸結為求 的距離的距離.點面間點面間 與異面直線都垂直且與異面直線都垂直且相交相交的直線的直線有且只有有且只有一條一條，它叫，它叫兩異面直線的公垂線兩異面直線的公垂線.兩條異面兩條異面直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段直線的公垂線夾在這兩條異面直線間的線段的長度是的長度是兩條異面直線的距離兩條異面直線的距離.ABCDABCD如圖所示：線段如圖所示：線段_為異面直線為異面直線AAAA與與BCBC的距離。的距離。AB在直三棱柱在直三棱柱ABCA1

4、B1C1中，中，AA1=2，AB=BC=1，ABC=90.點點D是是BB1中點，中點，則異面直線則異面直線DA1與與B1C1的距離是的距離是_.練習122例 ：如圖 8-7-4，S 是ABC 所在平面外一點，ABBC2a，ABC120，且 SA平面 ABC，SA3a，求點 A 到平面 SBC 的距離.圖 8-7-4解：方法一：如圖8-7-5，作ADBC 交BC 延長線于點D，連接 SD.圖 8-7-5SA平面 ABC，SABC.又 SAADA，BC平面 SAD.又 BC平面 SBC，平面 SBC平面 SAD，且平面 SBC平面 SADSD.過點 A 作 AHSD 于 H，由平面與平面垂直的性質

5、定理，可知：AH平面 SBC.于是 AH 即為點 A 到平面 SBC 的距離.于是 h方法三：如圖8-7-6，以A 為坐標原點，以AC，AS 所在直線為y 軸，z 軸，以過 A 點且垂直于yOz 平面的直線為x 軸建立空間直角坐標系.圖8-7-6在ABC 中，ABBC2a，ABC120， 線面距離、面面距離通常情況下線面距離、面面距離通常情況下化歸為點面距離求解，求空間點面距離，化歸為點面距離求解，求空間點面距離，若利用傳統(tǒng)構造法，關鍵是若利用傳統(tǒng)構造法，關鍵是“找射影找射影”，一般是應用一般是應用垂面法垂面法求射影，或求射影，或等積法等積法間間接求接求.若利用若利用向量法向量法，建系和求平面

6、法向，建系和求平面法向量是關鍵量是關鍵.練習練習2 如圖，在梯形如圖，在梯形ABCD中，中，ADBC，ABC= ,AB=BC= AD=1,PA平面平面ABCD,且且PA=1，點，點F在在AD上，且上，且CFPC. (1)求點求點A到平面到平面PCF的距離；的距離； (2)求求AD與平面與平面PBC間的距離間的距離.213 （1）通過論證平面通過論證平面 PAC平面平面PCF，找到點，找到點A在平面在平面PCF上的射影上的射影H位于位于PC上，然后解三角形求上，然后解三角形求AH的長的長.（2）由于由于AD平面平面PBC，可考慮依據問，可考慮依據問題情境在題情境在AD上選擇具備特殊位置的點上選擇

7、具備特殊位置的點A，然后推理過然后推理過A點的平面點的平面PAD平面平面PBC，找到過點找到過點A的垂線的垂線. (1)連接連接AC.因為因為PA平面平面ABCD，所，所以以PACF.又又CFPC，PAPC=P，所以所以CF平面平面PAC，所以平面所以平面PFC平面平面PAC.過點過點A作作AHPC于于H，所以，所以PH平面平面PCF，即即AH為點為點A到平面到平面PCF的距離的距離.由已知由已知AB=BC=1，所以，所以AC= ,PC= .在在RtPAC中，得中，得AH= .2363(2)因為因為BCAD，BC 平面平面PBC，所以所以AD平面平面PBC.過過A作作AEPB于于E，又又AEB

8、C,PBBC=B,所以所以AE平面平面PBC,所以所以AE的長度即為所求的距離的長度即為所求的距離.在等腰直角三角形在等腰直角三角形PAB中，中，PA=AB=1,所以所以AE= .221.對于空間中的距離，我們主要研究點對于空間中的距離，我們主要研究點到平面的距離、直線和平面的距離及兩個到平面的距離、直線和平面的距離及兩個平行平面之間的距離，其重點是點到平面平行平面之間的距離，其重點是點到平面的距離的距離.點到平面的距離要注意其作法，一點到平面的距離要注意其作法，一般要利用面面垂直的性質來做般要利用面面垂直的性質來做.求點到平面求點到平面的距離也可以用等體積法的距離也可以用等體積法.2.求距離

9、傳統(tǒng)的方法和步驟是求距離傳統(tǒng)的方法和步驟是“一作、一作、二證、三計算二證、三計算”，即先作出表示距離的線，即先作出表示距離的線段，再證明它是所求的距離，然后再計算段，再證明它是所求的距離，然后再計算.其中第二步證明易被忽略，應當引起重視其中第二步證明易被忽略，應當引起重視.3.在求距離時，要注意各種距離的在求距離時，要注意各種距離的轉化；在選擇求距離的方法時，也要靈轉化；在選擇求距離的方法時，也要靈活活.一般來說，空間關系在不太復雜的情一般來說，空間關系在不太復雜的情況下使用傳統(tǒng)方法，而在距離不好作、況下使用傳統(tǒng)方法，而在距離不好作、空間關系較復雜的條件下可用等積法空間關系較復雜的條件下可用等積法.小結 1.異面直線的距離 2.點面、線面、面面距離的求法 作業(yè)：完成南方新課堂 習題集【高考真題再現【高考真題再現 2015課標課標2 19題】題】如圖，長方體如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點，點E，F分別在分別在A1B1，D1C1上，上，A1E = D1F = 4，過