大一下高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

1、高 等 數(shù) 學(xué) A2 知 識(shí) 點(diǎn)【注意】不考試的知識(shí)點(diǎn)：帶*號(hào)的(除球面坐標(biāo)系、比值審斂法)，二次曲面，斯托克斯公式， 函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用，一般周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)，物理應(yīng)用部分，一、概念與定義1、數(shù)量積、向量積及坐標(biāo)表示(向量的位置關(guān)系)；2、柱面，旋轉(zhuǎn)曲面的方程形式及常見(jiàn)曲面畫圖，平面，直線的方程及其位置關(guān)系，平面束；曲面、曲線、實(shí)體在坐標(biāo)平面上的投影3、偏導(dǎo)數(shù)定義及判定一點(diǎn)可導(dǎo)的定義方法；4、偏導(dǎo)、連續(xù)、全微分的關(guān)系，方向?qū)?shù)與梯度；5、極值、條件極值，最值和駐點(diǎn).及拉格朗日乘數(shù)法；6、七類積分的關(guān)系，格林公式、高斯公式；7、級(jí)數(shù)的定義，等比級(jí)數(shù)的和，級(jí)數(shù)收斂的必要條件，常見(jiàn)級(jí)數(shù)的

2、斂散性及判定方法。二、計(jì)算1、求極限(1)二元函數(shù)求極限：代入法、兩類特殊極限、無(wú)窮小性質(zhì)等(2)極限不存在的判斷：取不同的路徑2、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分(1)定義一一在某一點(diǎn)可導(dǎo)，常見(jiàn)于分段函數(shù)(2) 一個(gè)變量為常數(shù)，按一元函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算，對(duì)于指定點(diǎn)的偏導(dǎo)可以先代入一個(gè)變量再求；(3)多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一一鏈?zhǔn)椒▌t；(4)隱函數(shù)(方程與方程組)求導(dǎo)及其高階導(dǎo)數(shù)一一不要記公式，理解方法；(5)抽象函數(shù)求導(dǎo)及其高階導(dǎo)數(shù)一一注意符號(hào)；(6)求(指定點(diǎn))全微分或判斷是否可微一一用定義 lim° Z Zx2 x Zy 2y 0 ° x y3、求重積分(畫圖)(1)二重積分一坐標(biāo)系以及區(qū)域

3、類型的選擇【由區(qū)域和被積函數(shù)特點(diǎn)定】，積分次序的交換；(2)三重積分一坐標(biāo)系以及區(qū)域類型的選擇【由區(qū)域和被積函數(shù)特點(diǎn)定】；(3)對(duì)稱性區(qū)域上奇、偶函數(shù)的積分以及對(duì) 1積分時(shí)的計(jì)算。4、求曲線、面積分（畫圖）“一代、二換、三定限”（ 1）代入?yún)?shù)方程或z f x, y ；不同的積分換的公式不同；（ 2）定限或定區(qū)域的時(shí)候注意方向性【第二類】及定限規(guī)則（ 3）格林公式、高斯公式的應(yīng)用驗(yàn)證條件并靈活使用；（ 4）對(duì)稱性區(qū)域上奇、偶函數(shù)的積分以及對(duì)1 積分時(shí)的計(jì)算。5、無(wú)窮級(jí)數(shù)（ 1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂；（ 2）冪級(jí)數(shù)收斂域與和函數(shù)，函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)；（ 3）傅立葉級(jí)數(shù)的收斂情況Dirichlet 定理的結(jié)

4、論三、 應(yīng)用1、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用空間曲線的切線和法平面、空間曲面的切平面和法線、方向?qū)?shù)與梯度。2、偏導(dǎo)數(shù)求極值以及條件極值、最值；3、重積分、曲線、面的幾何應(yīng)用平面區(qū)域的面積、空間曲面的面積，曲頂柱體的體積；四、證明1、極限不存在、連續(xù)性、可導(dǎo)、可微；2、偏導(dǎo)數(shù)相關(guān)等式；3、格林公式積分與路徑無(wú)關(guān)、原函數(shù)；4、級(jí)數(shù)的斂散性判定注意級(jí)數(shù)的分類與對(duì)應(yīng)方法；5、向量的位置關(guān)系，平面、直線的位置關(guān)系等幾何問(wèn)題。曲面及其方程常見(jiàn)曲面方程柱面只含有兩個(gè)字母的三原方程，缺少的字母為母線旋轉(zhuǎn)曲面圓錐面2 22zJxy方程中 含有 兩個(gè)字母 的 平方和旋轉(zhuǎn)拋物面22T.22z x y 或 z 1 x y球z

5、Jr2x2y2或 xXo2 yy02 ZZo2R2圓柱回x2 y2 R2 或 z2y2R2 或 x2 z2R2平面與直線方程直線點(diǎn)向式一式兩點(diǎn)式x x° y yo z z0mnpAx By Gz D1 A2x B2 y C2z D2xxoyyozzoxixoyiyozizo平面點(diǎn)法式一式截距式A x x0Byy0 C z z00Ax By Cz D731 a b c位置關(guān)系直線與直線垂直、平行、相交（夾角）平向與平聞垂直、平行、相交（夾角）直線與平聞垂直、平行、相交（夾角）、平聞束偏導(dǎo)、連續(xù)、可微隱函數(shù)的求導(dǎo)形式確定的函數(shù)求導(dǎo)方法一個(gè) 方程f x,y 0y f x視y為x的函數(shù)，兩端

6、對(duì)x求導(dǎo)，解得yf x, y, z 0z f x,y視z為x,y的函數(shù)，兩端對(duì)x, y求偏導(dǎo)，解得zx,zy方程組f x, y,z0g x, y,z0y y xz z x視y,z為x的函數(shù)，兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，解得y , zf u,v, x, y0g u,v,x, y0u u x, y v v x, y視u,v為x, y的函數(shù)，兩端對(duì)x, y求偏導(dǎo)，解得 Ux,Uy,Vx,Vy高階導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t函數(shù)中間及量求導(dǎo)【鏈?zhǔn)椒▌t】z f u,vu u xv v xdz z du z dv dx u dx v dx注意導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)z f u,vu u x, y v v x, y

7、zzuz vzzuzv,xuxv xyuyvy什思本令要兀整注意抽象復(fù)合函數(shù)的符號(hào)偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題應(yīng)用曲線的切線與法平回曲線 x t ,yt , z trTt , t , t曲面的切平間與法線曲面 F x, y,z 0r匚匚匚nFx, Fy , Fz方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)z f x, y ,方向rl cos ,cosf ffcos cos l xygraduf x, yfx,fy極值函數(shù)z f x, y令NX zy 0得駐點(diǎn)與/、引導(dǎo)點(diǎn)并由AC B 2判斷極值情況條件極值函數(shù)z f x, y，條件g x, y 0Lagerange乘數(shù)法重積分的幾何應(yīng)用應(yīng)用平聞面積1SD1 dxdy - ydx x

8、dyD2 L曲卸卸枳S: z z x,y，貝U SJ1zx 2zy 2dxdy 1 dSD xy立體體積Vf x, y dxdy1 dVD xy曲線弧長(zhǎng)l 1 ds L重積分的計(jì)算坐標(biāo)系區(qū)域表水化為定次積分適用類型二重積分f x, y,z dV直角坐標(biāo)系先單后重 【穿線法】x,y,z zi x, y z z? x, y , x, y Dxy4 x,yf x, y,z dz dxdyzi x,y*Dxy一般的立體區(qū)域先重后單 【切片法】x,y, z ziz z2,x, y Dzdf x, y, z dxdy dzc Dz柱面坐標(biāo)系,z zi ,z z2,Dxy先單后重方法中用極坐標(biāo)求解二重積分f

9、 cos , sin ,z d d dz柱面區(qū)域或被積函數(shù)含有22x y球面坐標(biāo)系,r先確定 ，02 , 0,0 r然后確定，最后穿線法確定rx rsin cos ,y rsin sin , z r cos2dxdydz r sin d d dr球面區(qū)域或被積函數(shù)含有222x y z一重積分f x, y dD直角坐標(biāo)系X-型區(qū)域D x, y a x b, 1 x y 2 x【穿線法】b2 xdx f x, y dyai x一般的平面區(qū)域Y-型區(qū)域Dx,y c y d, i y x 2y 穿線法d2 ydyf x, y dxci y極坐標(biāo)系D,|,12先確定，然后穿線法確定2df cos , s

10、in di圓形區(qū)域或被積函數(shù)含有22x y曲線、曲面積分的差異形式方向性特殊性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分L f x, y ds無(wú)對(duì)1積分為L(zhǎng)的長(zhǎng)度對(duì)坐標(biāo)的曲線積分l P x,y dx Q x, y dyLL垂直性一一L垂直與坐標(biāo)軸則關(guān)于該坐標(biāo)的積分為0對(duì)面積的曲面積分f x, y,z dS無(wú)對(duì)1積分為 的面積對(duì)坐標(biāo)的曲面積分Pdydz Qdzdx RdxdyPdydzPdydz垂直性一一L垂直與坐標(biāo)平面則關(guān)于該坐標(biāo)平面的兩個(gè)坐標(biāo)的積分為0對(duì)1積分為 在坐標(biāo)平面投影的面積（帶有正負(fù)號(hào)）計(jì)算一代二換三定限（域）化為積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分x t y tJ22ds， tt dtt/22f t , 7 tt dt

11、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分x t y tdxt dt dyt dt起點(diǎn)然占 八、P t , tt Q t , tt dt對(duì)面積的曲面積分z z x,y222dS 41zxzx dxdyDxyf x, y, z x, y 71zx 2zx 2dxdyDxy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分z z x,y根據(jù)指定側(cè)定一重積分符號(hào)DxyR x,y,z dxdyR x, y, z x, y dxdyDxyGREENS式計(jì)算第二類曲線積分的用法利用公式的時(shí)機(jī)被積函數(shù)很復(fù)雜或積分路徑很復(fù)雜或明顯的 y xL封閉時(shí)D內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)直接利用公式化成二重積分D內(nèi)后奇點(diǎn)用輔助閉曲線去掉奇點(diǎn)后利用公式，再減去輔助曲線上的積分L不封閉時(shí)PQyx積分與

12、路徑無(wú)關(guān)，可以改變積分路徑或選擇簡(jiǎn)單的路徑 【一般選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段】PQyx用輔助曲線封閉化后利用公式，再減去輔助曲線上的積分 【一般選擇平行于坐標(biāo)軸的折線段】公式的獨(dú)特用法一求原函數(shù)1r, 、x, y右 dz P x, y dx Q x, y dy ,則可設(shè) u x,yP x, y dx Q x, y dyGAUS法式計(jì)算第二類曲面積分的用法利用公式的時(shí)機(jī)三種坐標(biāo)積分同時(shí)出現(xiàn)或被積函數(shù)很復(fù)雜或積分曲面是特殊的曲面（柱、錐、球）封閉時(shí)直接利用公式化成三重積分不封閉時(shí)用輔助曲面封閉化后利用公式，再減去輔助曲面上的積分【一般選擇平行十坐標(biāo)平面的平面】對(duì)稱性區(qū)域上奇偶性函數(shù)的積分區(qū)域?qū)ΨQ性被

13、積函數(shù)的奇偶性結(jié)論定積分關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于x為奇函數(shù)aaa1、奇函數(shù) f x dx 02、偶函數(shù)f x dx 2 f x dxaa0關(guān)于x為偶函數(shù)一重積分關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于Y軸對(duì)稱關(guān)于y為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x,y d 0D2、偶函數(shù) f x, y d 2 f x, y dD1為D中x 0 y 0部分DDi關(guān)于y為偶函數(shù) 關(guān)于x為奇函數(shù) 關(guān)于x為偶函數(shù)二重積分關(guān)于XOY寸稱關(guān)于z為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x, y,z dV 02、偶函數(shù)f x, y,z dV 2f x, y,z dV 1 為中 x 0 y 0> z 0 部分1關(guān)于z為偶函數(shù)關(guān)于XOZM稱關(guān)于y為奇函數(shù) 關(guān)于y為偶函數(shù)關(guān)于YOZM

14、稱關(guān)于x為奇函數(shù)1關(guān)于x為偶函數(shù)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分關(guān)于X軸對(duì)稱關(guān)于y為奇函數(shù)1、奇函數(shù) f x, y ds 0L2、偶函數(shù)f x, y ds 2 f x, y ds L1為L(zhǎng)中x 0部分LL1關(guān)于y為偶函數(shù)關(guān)于Y軸對(duì)稱關(guān)于x為奇函數(shù) 關(guān)于x為偶函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分沒(méi)有對(duì)稱性的相關(guān)結(jié)論對(duì)面積的曲面積分關(guān)于XOY寸稱關(guān)于z為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x, y,z dV 02、偶函數(shù)fx, y,zdV 2 f x, y, z dV 1 為中 x 0 y 0> z 0 部分1關(guān)于z為偶函數(shù)關(guān)于XOZM稱關(guān)于y為奇函數(shù)關(guān)于y為偶函數(shù)關(guān)于YOZM稱關(guān)于x為奇函數(shù)關(guān)于x為偶函數(shù)多坐標(biāo)的曲面積分沒(méi)有對(duì)稱性的相關(guān)結(jié)論七類積分間的關(guān)系數(shù)項(xiàng)級(jí)