大一下高等數(shù)學知識點

1、高 等 數(shù) 學 A2 知 識 點【注意】不考試的知識點：帶*號的(除球面坐標系、比值審斂法)，二次曲面，斯托克斯公式， 函數(shù)的幕級數(shù)展開式的應用，一般周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)，物理應用部分，一、概念與定義1、數(shù)量積、向量積及坐標表示(向量的位置關系)；2、柱面，旋轉(zhuǎn)曲面的方程形式及常見曲面畫圖，平面，直線的方程及其位置關系，平面束；曲面、曲線、實體在坐標平面上的投影3、偏導數(shù)定義及判定一點可導的定義方法；4、偏導、連續(xù)、全微分的關系，方向?qū)?shù)與梯度；5、極值、條件極值，最值和駐點.及拉格朗日乘數(shù)法；6、七類積分的關系，格林公式、高斯公式；7、級數(shù)的定義，等比級數(shù)的和，級數(shù)收斂的必要條件，常見級數(shù)的

2、斂散性及判定方法。二、計算1、求極限(1)二元函數(shù)求極限：代入法、兩類特殊極限、無窮小性質(zhì)等(2)極限不存在的判斷：取不同的路徑2、求偏導數(shù)或全微分(1)定義一一在某一點可導，常見于分段函數(shù)(2) 一個變量為常數(shù)，按一元函數(shù)求導法則計算，對于指定點的偏導可以先代入一個變量再求；(3)多元復合函數(shù)求導一一鏈式法則；(4)隱函數(shù)(方程與方程組)求導及其高階導數(shù)一一不要記公式，理解方法；(5)抽象函數(shù)求導及其高階導數(shù)一一注意符號；(6)求(指定點)全微分或判斷是否可微一一用定義 lim° Z Zx2 x Zy 2y 0 ° x y3、求重積分(畫圖)(1)二重積分一坐標系以及區(qū)域

3、類型的選擇【由區(qū)域和被積函數(shù)特點定】，積分次序的交換；(2)三重積分一坐標系以及區(qū)域類型的選擇【由區(qū)域和被積函數(shù)特點定】；(3)對稱性區(qū)域上奇、偶函數(shù)的積分以及對 1積分時的計算。4、求曲線、面積分（畫圖）“一代、二換、三定限”（ 1）代入?yún)?shù)方程或z f x, y ；不同的積分換的公式不同；（ 2）定限或定區(qū)域的時候注意方向性【第二類】及定限規(guī)則（ 3）格林公式、高斯公式的應用驗證條件并靈活使用；（ 4）對稱性區(qū)域上奇、偶函數(shù)的積分以及對1 積分時的計算。5、無窮級數(shù)（ 1）數(shù)項級數(shù)審斂；（ 2）冪級數(shù)收斂域與和函數(shù)，函數(shù)展開成冪級數(shù)；（ 3）傅立葉級數(shù)的收斂情況Dirichlet 定理的結(jié)

4、論三、 應用1、偏導數(shù)的幾何應用空間曲線的切線和法平面、空間曲面的切平面和法線、方向?qū)?shù)與梯度。2、偏導數(shù)求極值以及條件極值、最值；3、重積分、曲線、面的幾何應用平面區(qū)域的面積、空間曲面的面積，曲頂柱體的體積；四、證明1、極限不存在、連續(xù)性、可導、可微；2、偏導數(shù)相關等式；3、格林公式積分與路徑無關、原函數(shù)；4、級數(shù)的斂散性判定注意級數(shù)的分類與對應方法；5、向量的位置關系，平面、直線的位置關系等幾何問題。曲面及其方程常見曲面方程柱面只含有兩個字母的三原方程，缺少的字母為母線旋轉(zhuǎn)曲面圓錐面2 22zJxy方程中 含有 兩個字母 的 平方和旋轉(zhuǎn)拋物面22T.22z x y 或 z 1 x y球z

5、Jr2x2y2或 xXo2 yy02 ZZo2R2圓柱回x2 y2 R2 或 z2y2R2 或 x2 z2R2平面與直線方程直線點向式一式兩點式x x° y yo z z0mnpAx By Gz D1 A2x B2 y C2z D2xxoyyozzoxixoyiyozizo平面點法式一式截距式A x x0Byy0 C z z00Ax By Cz D731 a b c位置關系直線與直線垂直、平行、相交（夾角）平向與平聞垂直、平行、相交（夾角）直線與平聞垂直、平行、相交（夾角）、平聞束偏導、連續(xù)、可微隱函數(shù)的求導形式確定的函數(shù)求導方法一個 方程f x,y 0y f x視y為x的函數(shù)，兩端

6、對x求導，解得yf x, y, z 0z f x,y視z為x,y的函數(shù)，兩端對x, y求偏導，解得zx,zy方程組f x, y,z0g x, y,z0y y xz z x視y,z為x的函數(shù)，兩端同時對x求導，解得y , zf u,v, x, y0g u,v,x, y0u u x, y v v x, y視u,v為x, y的函數(shù)，兩端對x, y求偏導，解得 Ux,Uy,Vx,Vy高階導數(shù)與偏導數(shù)的求導復合函數(shù)的鏈式法則函數(shù)中間及量求導【鏈式法則】z f u,vu u xv v xdz z du z dv dx u dx v dx注意導數(shù)與偏導數(shù)的符號z f u,vu u x, y v v x, y

7、zzuz vzzuzv,xuxv xyuyvy什思本令要兀整注意抽象復合函數(shù)的符號偏導數(shù)的應用問題應用曲線的切線與法平回曲線 x t ,yt , z trTt , t , t曲面的切平間與法線曲面 F x, y,z 0r匚匚匚nFx, Fy , Fz方向?qū)?shù)與梯度函數(shù)z f x, y ,方向rl cos ,cosf ffcos cos l xygraduf x, yfx,fy極值函數(shù)z f x, y令NX zy 0得駐點與/、引導點并由AC B 2判斷極值情況條件極值函數(shù)z f x, y，條件g x, y 0Lagerange乘數(shù)法重積分的幾何應用應用平聞面積1SD1 dxdy - ydx x

8、dyD2 L曲卸卸枳S: z z x,y，貝U SJ1zx 2zy 2dxdy 1 dSD xy立體體積Vf x, y dxdy1 dVD xy曲線弧長l 1 ds L重積分的計算坐標系區(qū)域表水化為定次積分適用類型二重積分f x, y,z dV直角坐標系先單后重 【穿線法】x,y,z zi x, y z z? x, y , x, y Dxy4 x,yf x, y,z dz dxdyzi x,y*Dxy一般的立體區(qū)域先重后單 【切片法】x,y, z ziz z2,x, y Dzdf x, y, z dxdy dzc Dz柱面坐標系,z zi ,z z2,Dxy先單后重方法中用極坐標求解二重積分f

9、 cos , sin ,z d d dz柱面區(qū)域或被積函數(shù)含有22x y球面坐標系,r先確定 ，02 , 0,0 r然后確定，最后穿線法確定rx rsin cos ,y rsin sin , z r cos2dxdydz r sin d d dr球面區(qū)域或被積函數(shù)含有222x y z一重積分f x, y dD直角坐標系X-型區(qū)域D x, y a x b, 1 x y 2 x【穿線法】b2 xdx f x, y dyai x一般的平面區(qū)域Y-型區(qū)域Dx,y c y d, i y x 2y 穿線法d2 ydyf x, y dxci y極坐標系D,|,12先確定，然后穿線法確定2df cos , s

10、in di圓形區(qū)域或被積函數(shù)含有22x y曲線、曲面積分的差異形式方向性特殊性質(zhì)對弧長的曲線積分L f x, y ds無對1積分為L的長度對坐標的曲線積分l P x,y dx Q x, y dyLL垂直性一一L垂直與坐標軸則關于該坐標的積分為0對面積的曲面積分f x, y,z dS無對1積分為 的面積對坐標的曲面積分Pdydz Qdzdx RdxdyPdydzPdydz垂直性一一L垂直與坐標平面則關于該坐標平面的兩個坐標的積分為0對1積分為 在坐標平面投影的面積（帶有正負號）計算一代二換三定限（域）化為積分對弧長的曲線積分x t y tJ22ds， tt dtt/22f t , 7 tt dt

11、對坐標的曲線積分x t y tdxt dt dyt dt起點然占 八、P t , tt Q t , tt dt對面積的曲面積分z z x,y222dS 41zxzx dxdyDxyf x, y, z x, y 71zx 2zx 2dxdyDxy對坐標的曲面積分z z x,y根據(jù)指定側(cè)定一重積分符號DxyR x,y,z dxdyR x, y, z x, y dxdyDxyGREENS式計算第二類曲線積分的用法利用公式的時機被積函數(shù)很復雜或積分路徑很復雜或明顯的 y xL封閉時D內(nèi)無奇點直接利用公式化成二重積分D內(nèi)后奇點用輔助閉曲線去掉奇點后利用公式，再減去輔助曲線上的積分L不封閉時PQyx積分與

12、路徑無關，可以改變積分路徑或選擇簡單的路徑 【一般選擇平行于坐標軸的折線段】PQyx用輔助曲線封閉化后利用公式，再減去輔助曲線上的積分 【一般選擇平行于坐標軸的折線段】公式的獨特用法一求原函數(shù)1r, 、x, y右 dz P x, y dx Q x, y dy ,則可設 u x,yP x, y dx Q x, y dyGAUS法式計算第二類曲面積分的用法利用公式的時機三種坐標積分同時出現(xiàn)或被積函數(shù)很復雜或積分曲面是特殊的曲面（柱、錐、球）封閉時直接利用公式化成三重積分不封閉時用輔助曲面封閉化后利用公式，再減去輔助曲面上的積分【一般選擇平行十坐標平面的平面】對稱性區(qū)域上奇偶性函數(shù)的積分區(qū)域?qū)ΨQ性被

13、積函數(shù)的奇偶性結(jié)論定積分關于原點對稱關于x為奇函數(shù)aaa1、奇函數(shù) f x dx 02、偶函數(shù)f x dx 2 f x dxaa0關于x為偶函數(shù)一重積分關于X軸對稱關于Y軸對稱關于y為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x,y d 0D2、偶函數(shù) f x, y d 2 f x, y dD1為D中x 0 y 0部分DDi關于y為偶函數(shù) 關于x為奇函數(shù) 關于x為偶函數(shù)二重積分關于XOY寸稱關于z為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x, y,z dV 02、偶函數(shù)f x, y,z dV 2f x, y,z dV 1 為中 x 0 y 0> z 0 部分1關于z為偶函數(shù)關于XOZM稱關于y為奇函數(shù) 關于y為偶函數(shù)關于YOZM

14、稱關于x為奇函數(shù)1關于x為偶函數(shù)對弧長的曲線積分關于X軸對稱關于y為奇函數(shù)1、奇函數(shù) f x, y ds 0L2、偶函數(shù)f x, y ds 2 f x, y ds L1為L中x 0部分LL1關于y為偶函數(shù)關于Y軸對稱關于x為奇函數(shù) 關于x為偶函數(shù)對坐標的曲線積分沒有對稱性的相關結(jié)論對面積的曲面積分關于XOY寸稱關于z為奇函數(shù)1、奇函數(shù)f x, y,z dV 02、偶函數(shù)fx, y,zdV 2 f x, y, z dV 1 為中 x 0 y 0> z 0 部分1關于z為偶函數(shù)關于XOZM稱關于y為奇函數(shù)關于y為偶函數(shù)關于YOZM稱關于x為奇函數(shù)關于x為偶函數(shù)多坐標的曲面積分沒有對稱性的相關結(jié)論七類積分間的關系數(shù)項級