慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式

1、v1.0可編輯可修改11慣性矩的計(jì)算方法及常用截面慣性矩計(jì)算公式截面圖形的幾何性質(zhì)一.重點(diǎn)及難點(diǎn):（一）.截面靜矩和形心1 .靜矩的定義式如圖1所示任意有限平面圖形，取其單元如面積dA,定義它對(duì)任意軸的一次矩為它對(duì)該軸的靜矩，即 ydSy xdA xdSx ydA整個(gè)圖形對(duì)V、z軸的靜矩分別為SyAxdASx 人 ydA(I-1 )2.形心與靜矩關(guān)系圖I-1設(shè)平面圖形形心C的坐標(biāo)為yc,Zc則 0Sx(I-2 )推論1如果y軸通過形心（即x0）,則靜矩Sy 0；同理，如果x軸通過形心（即V 0）,則靜矩Sx 0;反之也成立。推論2如果x、y軸均為圖形的對(duì)稱軸，則其交點(diǎn)即為圖形形心；如果 y軸為

2、圖形對(duì)稱軸，則圖形形心必在此軸上。3 .組合圖形的靜矩和形心設(shè)截面圖形由幾個(gè)面積分別為 A,A2,A3An的簡(jiǎn)單圖形組成，且一直各族圖形的形心坐標(biāo)分別為I"又2,92；又3,，3，則圖形對(duì)y軸和x軸的靜矩分別為SySyi i 1Aixi i 1(I-3 )SxSxi i 1AiYi i 1截面圖形的形心坐標(biāo)為nAiXi i 1 nAi 1nAiYiyJJn(I-4)Ai i 14 .靜矩的特征(1)界面圖形的靜矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸所定義的，故靜矩與坐標(biāo)軸有 關(guān)。(2)靜矩有的單位為m3。(3)靜矩的數(shù)值可正可負(fù)，也可為零。圖形對(duì)任意形心軸的靜矩必定 為零，反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩為零，

3、則該軸必通過圖形的形心。(4)若已知圖形的形心坐標(biāo)。則可由式(I-1 )求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜 矩。若已知圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩，則可由式(I-2 )求圖形的形心坐 標(biāo)。組合圖形的形心位置，通常是先由式(I-3 )求出圖形對(duì)某一坐 標(biāo)系的靜矩，然后由式(I-4 )求出其形心坐標(biāo)。(二).慣性矩慣性積慣性半徑1 .慣性矩定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A(圖I-3 ),則圖形對(duì)O點(diǎn)的極 慣性矩定義為Ip2dA(I-5)A圖形對(duì)y軸和x軸的光性矩分別定義為2.2 .Iy X dA , Ix y dA(I-6 )AA慣性矩的特征(1)界面圖形的極慣性矩是對(duì)某一極點(diǎn)定義的；軸慣性矩是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的。(

4、2)極慣性矩和軸慣性矩的單位為m4 o(3)極慣性矩和軸慣性矩的數(shù)值均為恒為大于零的正值。(4)圖形對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩的數(shù)值，包等于圖形對(duì)以該點(diǎn)為坐標(biāo)原 點(diǎn)的任意一對(duì)坐標(biāo)軸的軸慣性矩之和，即Ip A 2dA A(x2 y2)dA Iy Ix (I-7)(5)組合圖形(圖I-2 )對(duì)某一點(diǎn)的極慣性矩或某一軸的軸慣性矩， 分別等于各族紛紛圖形對(duì)同一點(diǎn)的極慣性矩或同一軸慣性矩之和，即ynnnI I i , Iy Iyi， IX Ixi (I-8) i 1i 1i 12 .慣性積定義 設(shè)任意形狀的截面圖形的面積為 A (圖I-3 ),則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性積定義為IxyxydA(I-9)A慣性積的特

5、征(1)界面圖形的慣性積是對(duì)相互垂直的某一對(duì)坐標(biāo)軸定義的。(2)慣性積的單位為m40(3)慣性積的數(shù)值可正可負(fù)，也可能等于零。若一對(duì)坐標(biāo)周中有 一軸為圖形的對(duì)稱軸，則圖形對(duì)這一對(duì)稱軸的慣性積必等于 零。但圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積為零，這一對(duì)坐標(biāo)軸重 且不一定有圖形的對(duì)稱軸。(4)組合圖形對(duì)某一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積， 等于各組分圖形對(duì)同一坐標(biāo)軸的慣性積之和，即I xyIxyi i 1(I-10 )3 .慣性半徑定義：任意形狀的截面圖形的面積為 A (圖I-3 ),則圖形對(duì)y軸和x軸的慣性半徑分別定義為i x(I-11 )慣性半徑的特征(1)慣性半徑是對(duì)某一坐標(biāo)軸定義的(2)慣性半徑的單位為mi(3

6、)慣性半徑的數(shù)值包取證之。(三).慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式2(I-12 )I xI xca AIyIyCb2AxyIxCyCabA(I-13 )平行移軸公式的特征(1)意形狀界面光圖形的面積為 A (圖(I-4 ); xc, yc軸為圖形的形心軸；x, y軸為分別與xc, yc形心軸相距為a和b的平行軸。(2)兩對(duì)平行軸之間的距離 a和b的正負(fù)，可任意選取坐標(biāo)軸 x, y或形心xc, yc為參考軸加以確定。(3)在所有相互平行的坐標(biāo)軸中，圖形對(duì)形心軸的慣性矩為最小，但圖形對(duì)形心軸的慣性積不一定是最小。圖I-4(四)、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.主慣性軸主慣性矩轉(zhuǎn)軸公式X1Ix I

7、y2Ijx-cos22Ixy sin 2I yiIx Iy2Ix2Lcos2Ixy sin2Isin22I xy cos2轉(zhuǎn)軸公式的特征(1) 角度 的正負(fù)號(hào)，從原坐標(biāo)軸x,y轉(zhuǎn)至新坐標(biāo)軸XL,以逆時(shí) 針轉(zhuǎn)向者為正(圖5)。(2) 原點(diǎn)。為截面圖形平面內(nèi)的任意點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸公式與圖形的形心無 關(guān)。(3) 圖形對(duì)通過同一坐標(biāo)原點(diǎn)任意一對(duì)相互垂直坐標(biāo)軸的兩個(gè)軸慣 性矩之和為常量，等于圖形對(duì)原點(diǎn)的極慣性矩，即I x I y I x1 I y1 IP主慣性軸、主慣性矩 任意形狀截面圖形對(duì)以某一點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn)的坐 標(biāo)軸X0、y0的慣性積為零(Ixoyo 0),則坐標(biāo)軸X0、y0稱為圖形通過 點(diǎn)O的主慣性軸(

8、圖6)。截面圖形對(duì)主慣性軸的慣性矩I xo，Iy。，稱為 主慣性矩。主慣性軸、主慣性矩的確定(1) 對(duì)于某一點(diǎn)O,若能找到通過點(diǎn)O的圖形的對(duì)稱軸，則以點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，并包含對(duì)稱軸的一隊(duì)坐標(biāo)軸，即為圖形通過點(diǎn)O的一對(duì)主慣性軸。對(duì)于具有對(duì)稱軸的圖形(或組合圖形)，往往 已知其通過自身形心軸的慣性矩。于是，圖形對(duì)通過點(diǎn)o的主慣性軸的主慣性矩，一般即可由平行移軸公式直接計(jì)算。(2) 若通過某一點(diǎn)o沒有圖形的對(duì)稱軸，則可以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)， 任作一坐標(biāo)軸x, y為參考軸，并求出圖形對(duì)參考軸 x, y的慣 性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。于是，圖形通過點(diǎn)。的一對(duì)主慣性軸方 位及主慣性矩分別為2Ixy ta

9、n2 0x Iy(I-16 )I x0 1 x I y722Ixy2 (I - 17)主慣性軸、主慣性矩的特征(1)圖形通過某一點(diǎn)。至少具有一對(duì)主慣性軸，而主慣性局勢(shì)圖形對(duì)通過同一點(diǎn)。所有軸的慣性矩中最大和最小。(2)主慣性軸的方位角°,從參考軸x, y量起，以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?3)若圖形對(duì)一點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)的兩主慣性矩相等，則通過點(diǎn)o的所有軸均為主慣性軸，且所有主慣性矩都相同。(4)以截面圖形形心為坐標(biāo)原點(diǎn)的主慣性軸，稱為形心主慣性軸。圖形對(duì)一對(duì)形心主慣性軸的慣性矩,稱為形心主慣性矩。0圖I-5圖I-6典型例題分析例I解：a試計(jì)算圖示三角形截面對(duì)于與其底邊重合的X軸的靜矩。計(jì)算此截面

10、對(duì)于x軸的靜矩Sx時(shí)，可以去平行于x軸的狹長(zhǎng)條(見圖)作為bb(y) 一(h y),因此有 dA hSxa'6Ay)dyhb 0 ydyb h 2 bh2一 y dy h 06y面積元素（因其上各點(diǎn)的y坐標(biāo)相等），即dA b（y）dy。由相似三角形關(guān)系，可知:-（h y）dy o將其代入公式（I-1 ）的第二式，即得0xb例題I-a圖解題指導(dǎo)：此題為積分法求圖形對(duì)坐標(biāo)軸的靜矩。例I-2試確定圖示I -b截面形心C的位置解：將截面分為？、n兩個(gè)矩形。為計(jì)算方便，取x軸和y軸分別與界面的底邊和左邊緣重合（見圖）。先計(jì)算每一個(gè)矩形的面積 A和形心坐標(biāo)（1，）如下:矩形？a 101201200

11、mm21_10120x 5mm,y -60 mm22矩形nA 1070rec2700mmx 107045mm,y1022將其代入公式（I-4 ）,即得截面形心C的坐標(biāo)為5mm_AxAx37500x 20mmAA1900_AyAy75500y 40mmAA1900解題指導(dǎo)：120計(jì)算不規(guī)則圖形的形心。10yy1080此題是將不規(guī)則圖形劃分為兩個(gè)規(guī)則圖形利用已有的規(guī)則圖形的面積和形心,圖I -b例I-3試求圖I-c所示截面對(duì)于對(duì)稱軸x軸的慣性矩Ix 解：此截面可以看作有一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成。 設(shè)矩形對(duì)于x軸的慣性矩為Ix ,每一個(gè)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為Ix ,則由公式（I-11 ）的第一式可

12、知,所給截面的慣性矩:Ix Ix 2Ix(D矩形對(duì)于x軸的慣性矩為:Ix33d(2a)380 2003445330 10 mm1212(2)半圓形對(duì)于x軸的慣性矩可以利用平行移軸公式求得。 為此，先求出每個(gè)半圓形v1.0可編輯可修改對(duì)于與x軸平行的形心軸xc （圖b）的慣性矩Ixc。已知半圓形對(duì)于其底邊的慣4性矩為圓形對(duì)其直徑軸x （圖b）的慣性據(jù)之半，即Ix 0而半圓形的面積 128d 100 8044)3460 10 mm 為A旦，其形心到底邊的距離為82d （圖b）0故由平行移軸公式（I-10a ）, 3可以求出每個(gè)半圓形對(duì)其自身形心軸Xc的慣性矩為:(3)由圖a可知，半圓形形心到x軸距

13、離為2d 3,故在由平行移軸公式，求得每個(gè)_4_2,2d、2 A d fd、2 dI xC I x () A() 312838半圓形對(duì)于x軸的慣性矩為:(a2d)2 d2 38,/ 2d、2A d4I x I xc (a ) A3128222_d d a 2ad、( )43223a將 d=80mm a=100mm (圖 a)代入式（4）,即得Ix_2_ 22(80) (801004( 322將求得的Ix和Ix代入式（1）,使得Ix 5330 104 2 3460104 12250 104 mn4解題指導(dǎo)：此題是將不規(guī)則圖形劃分為若干個(gè)規(guī)則圖形，利用已有的規(guī)則圖形的面積、形心及對(duì)自身形心軸的慣性矩，結(jié)合平行移軸公式計(jì)算組合截面圖形對(duì)組合 截面形心的慣性矩。1040圖I-cv1.0可編輯可修改19100xc常用截面慣性矩計(jì)算公式04符號(hào)意義及單位；A截面對(duì)丸軸的慣性矩（）d一截面直徑（cm）符號(hào)意義及單位長(zhǎng)方形戴面對(duì)方軸的慣性Sd）a5口圖所示（cm）1-bM +cz仔l(wèi) 3符號(hào)意義及單位，k慣性矩（5?）B如圖所示Dbill圖所示（e）光重心£到相應(yīng)道的距離出重心S至肺目應(yīng)邊的距離（cm）2口圖斯示（皿）曲+/