（精選）整數(shù)度角的尺規(guī)作圖Word版

1、整數(shù)度角的尺規(guī)作圖湖南婁底華達(dá)技校黃正洪在平面幾何學(xué)中，人們不能用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出一個(gè)的角來(lái)，這似乎成了常理，但如果能用非尋常手段來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，則很多與此有關(guān)的問(wèn)題都將迎刃而解，因此對(duì)這個(gè)方向的探索有一定意義。為了實(shí)現(xiàn)心中的理想，在避開(kāi)先賢們走過(guò)的彎路的同時(shí)，我們考慮到了必須從特殊角的特殊性中來(lái)尋找畫(huà)作的契機(jī)，故在這里有必要對(duì)特殊角在平面幾何學(xué)中的重要地位作一梳理。首先要確認(rèn)的是：常見(jiàn)的特殊角有、等等，后來(lái)人們又在尺規(guī)五等分圓周的過(guò)程中認(rèn)知了、等等也都是特殊角。以上角度其所以被認(rèn)為特殊，是因?yàn)樗鼈兌际悄苡贸咭?guī)作圖的方法畫(huà)得出來(lái)，并且與其有關(guān)的函數(shù)值也都有其特殊性而定性。前面列舉的那些特殊角

2、，在常見(jiàn)常用的一對(duì)三角板或其板角的拼湊上幽然傲立，盡享美譽(yù)，后面列舉的這些特殊角，也只須借助一個(gè)黃金分割的特定方程即的功力就可以達(dá)到畫(huà)出的目的，此言下之意即為，以特定方程的有用根為底，以個(gè)單位之長(zhǎng)為腰，便可以在平面上畫(huà)出一個(gè)等腰三角形，而此等腰三角形的頂角即為，兩底角即為。反其序而為之，則知頂角為的等腰三角形與自身底角平分線(xiàn)所形成的相似三角形的邊長(zhǎng)之比即能造就上述獨(dú)一無(wú)二的一元二次方程。五等分圓周中的尺規(guī)之趣正是由此而生，這二者相輔相成，為數(shù)學(xué)王國(guó)的畫(huà)法樂(lè)園增添了光鮮的一筆。說(shuō)到這里，我相信大家對(duì)特殊角的存在有了更為深刻的應(yīng)象，現(xiàn)在我要說(shuō)的是：對(duì)以上兩組特殊角進(jìn)行簡(jiǎn)單的加減，并從小到大安排好先

3、后次序就會(huì)出現(xiàn)如下既具體又有規(guī)律的角度：、無(wú)須仔細(xì)的推敲，便可認(rèn)定這組特殊角的通項(xiàng)表達(dá)式為。由于特殊角同任意角一樣可以不斷二分，因而我們又認(rèn)知了更特殊的角有這些特殊角的等分角，更更特殊的角還有這些被等分角的和差及其倍角。寫(xiě)到這里，我們相信大家對(duì)特殊角處世的秘密有了更多的了解。值得注意的是：特殊角的這個(gè)通項(xiàng)表達(dá)式從未在已問(wèn)世的資料或期刊中有過(guò)露面，故我們可以認(rèn)定這是一種新的總結(jié)和歸納，這種新的總結(jié)和歸納的意義在于人們從數(shù)學(xué)的角度統(tǒng)一了所有特殊角存在的理義。也只有有了這樣一種有點(diǎn)別開(kāi)生面的理義，我們探索整數(shù)度角的尺規(guī)作圖的思緒才得以霧散云開(kāi)：前面提到的那個(gè)“非尋常手段”并不是建立在二維的平面上，而

4、是建立在三維的空間中，在多一個(gè)維度的助力下，艱難的探索工作又展現(xiàn)了“風(fēng)正一帆懸”的美好景象，由于引導(dǎo)苦舟航進(jìn)的燈塔仍然是無(wú)涯學(xué)海中的尺和規(guī)，故這個(gè)空間作圖的過(guò)程沒(méi)有超出尺和規(guī)的范疇，現(xiàn)在讓我們?cè)诖斯沧R(shí)下來(lái)確診這個(gè)角的作圖方案，看看是否能經(jīng)得起理論和實(shí)踐的考驗(yàn)。因其過(guò)程的表述還算清晰，空間的想象亦并不為難，那么如圖之示的內(nèi)容就留給有緣諸君自行畫(huà)出：（一）、從特殊角中選取適當(dāng)大小的一個(gè)角度，本文選取作為頂角，選取適當(dāng)長(zhǎng)的作為底邊，畫(huà)作等腰三角形。（二）、把等腰三角形放進(jìn)空間直角坐標(biāo)系中，使其頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，使其腰與軸重合，使其底邊落在水平面上，此說(shuō)即為把等腰三角形放置在規(guī)定位置的水平面上。定義：如

5、此放置的這個(gè)等腰三角形為本文的基礎(chǔ)三角形，定義：過(guò)該三角形頂點(diǎn)的垂直于水平面的軸叫立軸。定義：軸叫水平軸。如此為之則我們研究的對(duì)象便在空間直角坐標(biāo)系中安了一個(gè)特殊的家。（三）、根據(jù)特殊角的通項(xiàng)表達(dá)式而知角是特殊角，我們要用尺規(guī)作圖的方法畫(huà)出這個(gè)頂角為，為，底邊之長(zhǎng)為的等腰三角形。此等腰三角形的畫(huà)法是在平面上預(yù)先畫(huà)作角，次畫(huà)與該角的角平分線(xiàn)平行且兩邊相距都為的平行線(xiàn)，然后連接兩條平行線(xiàn)與角的兩條射線(xiàn)的交點(diǎn)，則所形成的等腰三角形即為所求?，F(xiàn)在我們要將此等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，其移進(jìn)的方法是：以基礎(chǔ)三角形的底邊不動(dòng)作為三角形的底邊，以為圓心，以預(yù)先畫(huà)作的頂角為的等腰三角形的腰為半徑，畫(huà)弧交立軸

6、于，連接和，則等腰三角形已移進(jìn)了空間的特殊的家（由于證明與相等的過(guò)程并不為難，這里省筆且加以認(rèn)定）。此言下之意為，基礎(chǔ)三角形與頂角為的等腰三角形在水平面上同底為而其頂角點(diǎn)與則在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì)。（四）、與以上之（三）的操作過(guò)程完全相同。因角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，使其頂角為，使其底邊之長(zhǎng)為。我們要將這個(gè)等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上三個(gè)等腰三角形在水平面上同底為而頂角點(diǎn)則與前面的兩個(gè)頂點(diǎn)一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì)。（五）、與以上之（四）的操作過(guò)程完全相同。因角也是特殊角，用尺規(guī)作圖的方法在平面上預(yù)先畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，使其頂角為，使其底

7、邊之長(zhǎng)為。我們要將這個(gè)等腰三角形移進(jìn)空間的特殊的家，此言下之意為，以上四個(gè)等腰三角形在水平面上同底為而頂角點(diǎn)則與前面的幾個(gè)頂點(diǎn)一樣在立軸上進(jìn)入了攀升排隊(duì)。（六）、由于底邊相等的等腰三角形頂角越小的其高越長(zhǎng)，于是我們看到、在立軸上的位置一個(gè)比一個(gè)高。面對(duì)立軸上頂點(diǎn)之攀升，我們的思緒進(jìn)入了一種特殊的數(shù)學(xué)想象，這種想象與攝像的原理不完全相同，其操作方法是：我們要把到之間的距離向下壓縮，且要壓縮到與到之間的距離一樣長(zhǎng)為止。在此一向下壓縮的過(guò)程中，要理解自以下的所有角點(diǎn)都在隨勢(shì)而下壓，還要進(jìn)一步理解所有下壓的頂角點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的等腰三角形的腰也是在隨勢(shì)而縮短，且要縮短到符合于新位置的等腰三角形的腰長(zhǎng)為止。在這

8、種特別攝像的操控下，以為頂角的點(diǎn)便壓縮到了以為頂角的點(diǎn)的位置。這句話(huà)的同義語(yǔ)就是通過(guò)特殊數(shù)學(xué)想象而壓縮了的頂角已變成了的頂角點(diǎn)。由于和的位置是處在到之間，知這二者都是隨勢(shì)而下壓的頂角點(diǎn)，那么我們要問(wèn)，經(jīng)如此壓縮后的和所對(duì)應(yīng)的角度變?yōu)榱硕嗌倌?？下面是本文的求解過(guò)程：（七）、欲求和壓縮后的頂角點(diǎn)變?yōu)榱硕嗌俣龋捅仨毲蟪龊蛯?duì)應(yīng)于壓縮段的位置。為此我們要在水平軸上找一點(diǎn)，使，此找點(diǎn)使得本來(lái)在立軸上的在壓縮之后成為了水平軸上的到之間的一段距離。由之前的操作而知這段距離的端點(diǎn)相當(dāng)于原立軸上的角的頂點(diǎn)。由于點(diǎn)是基礎(chǔ)三角形的頂角點(diǎn)，于是知其對(duì)應(yīng)于，由于在到的角頂點(diǎn)之間（即從到點(diǎn)之間）還有和這樣的整數(shù)度頂角點(diǎn)存

9、在，對(duì)此我們心中的數(shù)理共識(shí)是：既然水平軸上的段段及點(diǎn)點(diǎn)都是由壓縮而來(lái)，那么它們與立軸上的三個(gè)攀升段即、的段段和點(diǎn)點(diǎn)就一定是保持著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，由于三個(gè)攀升段的分界點(diǎn)都是整數(shù)度點(diǎn)，于是由對(duì)應(yīng)關(guān)系知整數(shù)度點(diǎn)和是壓縮后的三段未明位置的分界點(diǎn)。為了簡(jiǎn)化整體敘述的繁雜，設(shè)第一、第二段的未明位置分界點(diǎn)為，而對(duì)第二、第三段的設(shè)定和操作，則放在其后用同理的方式簡(jiǎn)述。為承接下文，特?cái)M定如下用語(yǔ)：立軸上的是壓縮前的全長(zhǎng)，是壓縮前的局部，水平軸上的是壓縮后的全長(zhǎng)，是壓縮后的對(duì)應(yīng)于的局部。根據(jù)影像縮放理念知：壓縮前的局部 / 壓縮前的全長(zhǎng) = 壓縮后的對(duì)應(yīng)局部 / 壓縮后的全長(zhǎng)。于是可得如下比例式： （1）數(shù)學(xué)上的縮放

10、功能其實(shí)就是幾何學(xué)中的比例，本文進(jìn)行的這種特殊的影像壓縮的操作正是基于此一數(shù)學(xué)理念而設(shè)計(jì)。在影像壓縮的過(guò)程中，雖然已設(shè)定是水平軸上的對(duì)應(yīng)于的頂角點(diǎn)，但不知其具體位置之所在，而這是本文急于想要解決的問(wèn)題。由于空間的相交兩軸已夾出了一個(gè)平面，這使我們想到要在空間的這個(gè)平面上去構(gòu)造出一個(gè)三角形，于是以被壓縮段和壓縮段為邊的空間三角形飄然而出，有此三角形存在，本文就有充分的條件來(lái)完成剩余的作圖：（八）、在三角形中，過(guò)邊上的點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于（即有），于是由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可得： （2）將（1）代入（2）于是可得： （3）由（3）可解得 （4）由（4）而知與重合，此言下之意即為，我們已由平行線(xiàn)的畫(huà)作

11、而證得了就是的頂角點(diǎn)。在同一操作理念下：過(guò)作的平行線(xiàn)，設(shè)其交于，則知即為的頂角點(diǎn)（其證明過(guò)程與前相同而略）。在以上兩頂角點(diǎn)的位置明了之后，我們的心中又在想著和對(duì)應(yīng)于立軸的情形?，F(xiàn)將釋疑手段謹(jǐn)呈如下：以為圓心，分別以和為半徑畫(huà)弧，設(shè)其分別交立軸于和，則知和即為和在立軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，實(shí)際上這就是將水平軸按反時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)而使與重合的情形。于是知夾在其間的兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)一一重合，此意即為是頂角為的等腰三角形的頂角點(diǎn)、是頂角為的等腰三角形的頂角點(diǎn)。如果我們不旋轉(zhuǎn)水平軸，而是將基礎(chǔ)三角形繞也按反時(shí)鐘方向旋轉(zhuǎn)，那么此時(shí)的水平軸就成了新位置下的立軸，因新立軸上包涵了我們希望的所有解題的信息，知其已是身價(jià)百倍。由于這

12、種新關(guān)系與前文的構(gòu)思一脈相承，在我們?cè)O(shè)計(jì)思維里留下了相同的視覺(jué)，我感覺(jué)此變換角度看攀升的方案比“重合一說(shuō)”更容易被人們理解和接受?？傊陨蟽煞桨付寄苓_(dá)我們最終之目的。為習(xí)慣起見(jiàn)還是以有過(guò)信息補(bǔ)充的原立軸為準(zhǔn)來(lái)完成畫(huà)作。（九）、現(xiàn)在宣布頂角為和的兩等腰三角形已名正言順地在空間直角坐標(biāo)系中安了家，其頂角點(diǎn)亦理所當(dāng)然地在立軸上適應(yīng)著攀升排隊(duì)。選定以空間等腰三角形的腰為腰，以為底，在水平面上單獨(dú)畫(huà)作一個(gè)等腰三角形，則此等腰三角形的頂角即為。（十）、從水平面上的的角中用尺規(guī)作圖的方法減去這個(gè)的角，則人們考慮了幾個(gè)世紀(jì)的角便躍入眼簾。有了眼前這個(gè)角的尺規(guī)作圖，尺規(guī)作圖的領(lǐng)域便開(kāi)啟了一片新的天地，此前很多無(wú)法攻克的尺規(guī)作圖難題，在角的推出之下已不成問(wèn)題。譬如尺規(guī)九等分圓周，我們只須將的角加上的角就得到的角，由于有周角，這意味著尺規(guī)九等分圓周已得到解決。由此而知，但凡與角有關(guān)的圓周的等分，人們都可從此一范例之中獲得靈感，也正是由于角的尺規(guī)作圖已擺在了我們的面前，進(jìn)而知角的累加可以形成任意整數(shù)度角，于是本文就以此為題了。在撰寫(xiě)本文之后，我們的心得是：過(guò)去在平面上無(wú)法解決的尺規(guī)作圖問(wèn)題，也許大都可以從多一個(gè)維度的探索里得到解決。巧的是在