高等數(shù)學(xué)第章：無窮級數(shù)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)無窮級數(shù)的概念與性質(zhì)一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念二、無窮級數(shù)的性質(zhì)二、無窮級數(shù)的性質(zhì)定義定義1 1 若有一個無窮數(shù)列若有一個無窮數(shù)列 u1u1，u2u2，u3u3，unun，此無窮數(shù)列構(gòu)成下列表達式此無窮數(shù)列構(gòu)成下列表達式 u1 + u2 + u3 + u1 + u2 + u3 + + un + + un + (1)(1)稱以上表達式為稱以上表達式為( (常數(shù)項常數(shù)項) )無窮級數(shù)，簡稱無窮級數(shù)，簡稱( (常數(shù)項常數(shù)項) )級數(shù)，記為級數(shù)，記為nnnuuuuu3211其中第n項un叫作級數(shù)的一般項或通項. 一、無窮級數(shù)的概念一、無窮級數(shù)的概念)1(1

2、431321211 nnun一般項的級數(shù)例如級數(shù)(1)的前n項相加得到它的前n項和，記作Sn.即：nkknnuuuuuS1321) 1(1431321211 nn Snn項和它的前111) 1(1 nnnn111 )111()4131()3121()211 (nnnSn 我們以級數(shù)的前n項和作為研究無窮多項和的基礎(chǔ).由級數(shù)(1)的前n項和，容易寫出：, 212121211nnnnssssuuusuusus這樣，就得到數(shù)列定義定義2 2 如果級數(shù)如果級數(shù) 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 有極限有極限s s，即，即1nnu則稱無窮級數(shù) 收斂.s稱為此級數(shù)的和.且有1nnu假設(shè) 無極限，則稱無窮級數(shù) 發(fā)散.1

3、nnu注意:ssnnlim,21nuuus,21nnnnuussr稱為級數(shù)的余項， 為 代替s所產(chǎn)生的誤差 .nsnrnsns.) 1(1431321211) 1(1 11的斂散性判定級數(shù)例nnnnn111) 1(1nnnnun解：111)111()3121()211 ( ) 1(1) 1(1321211nnnnnnnsn. 1 1)111 (limlim 此級數(shù)收斂，和為而nsnnn 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 若級數(shù)若級數(shù) 收斂于和收斂于和s s，則它的各，則它的各項同乘以一個常數(shù)項同乘以一個常數(shù)k k所得的級數(shù)所得的級數(shù) 也收斂，且其和為也收斂，且其和為k

4、s.ks.1nnu1nnku性質(zhì)性質(zhì)2 2 如果級數(shù)如果級數(shù) 、 分別分別收斂于收斂于s其和為也收斂，則級數(shù))( )()()(22111nnnnnvuvuvuvunnnnnnvvvvsuuuu211211 1nnu1nnvs 和和即性質(zhì)性質(zhì)3 3 在級數(shù)前面加上或去掉有限項，不影在級數(shù)前面加上或去掉有限項，不影響級數(shù)的斂散性響級數(shù)的斂散性. .性質(zhì)性質(zhì)4 4 如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂，則對這級數(shù)的收斂，則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變變. . 1nnu注意：發(fā)散級數(shù)加括號后有可能收斂，即加括注意：發(fā)散級數(shù)加括號后有可能收斂，即加括號后

5、級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂號后級數(shù)收斂，原級數(shù)未必收斂. .推論：如果加括號以后所成的級數(shù)發(fā)散，則推論：如果加括號以后所成的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散原級數(shù)也發(fā)散. .nnnuuuu211性質(zhì)性質(zhì)5 (5 (收斂的必要條件收斂的必要條件) )假如假如收斂，則它的一般項 趨于零，即0limnnu級數(shù)nu結(jié)論：由此我們可得結(jié)論：由此我們可得趨于零；收斂，則其通項若nnnuu1) 1 (發(fā)散；不趨于零，則通項1)2(nnnuu.,)3(1不一定收斂趨于零通項nnnuu.1收斂的必要條件趨于零是通項nnnuu13 123 .1234nnn例判定級數(shù)的斂散性1lim101 .1nnnnnn解 級數(shù)發(fā)散注意:

6、 級數(shù)收斂的必要條件常用于級數(shù)發(fā)散 的判定.第二節(jié)第二節(jié) 正項級數(shù)及其斂散性正項級數(shù)及其斂散性一、正項級數(shù)及其收斂的充要條件一、正項級數(shù)及其收斂的充要條件二、正項級數(shù)收斂的比較判別法二、正項級數(shù)收斂的比較判別法三、正項級數(shù)收斂的比值判別法三、正項級數(shù)收斂的比值判別法 一、正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法(1) 21nuuu定義定義 設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)的每一項都是非負數(shù),un0即則稱此級數(shù)是nssss321 顯然,正項級數(shù)的部分和sn數(shù)列是單調(diào)增加的，即正項級數(shù).定理定理1 1 正項級數(shù)正項級數(shù) 收斂的充分必要條件是：收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列它的部分和數(shù)列snsn有界有界. .1n

7、nu. 211211211211 121收斂證明級數(shù)例nnn證明證明: :這是一個正項級數(shù)，其部分和為這是一個正項級數(shù)，其部分和為: :nns2112112112故sn有界，所以原級數(shù)收斂.n21212121211 n定理定理2(2(比較審斂法比較審斂法) )設(shè)設(shè) 和和 都是正項都是正項級數(shù)，且級數(shù)，且), 2 , 1( nvunn1nnv1nnu若級數(shù) 收斂，則級數(shù) 收斂；反之，若級數(shù) 發(fā)散，則級數(shù) 也發(fā)散.1nnv1nnu1nnu1nnv 二、正項級數(shù)收斂的比較判別法二、正項級數(shù)收斂的比較判別法則有：假設(shè) 發(fā)散，那么 也發(fā)散;且當 時，有 成立，則有：假設(shè) 收斂，那么 也收斂.推論設(shè)級數(shù)推

8、論設(shè)級數(shù) 和和 是兩個正項級數(shù)，是兩個正項級數(shù)，且存在自然數(shù)且存在自然數(shù)N N，使當，使當 時，有時，有（k0)k0)成立，成立，1nnu1nnvNn 1nnvnnkvu 1nnu1nnu1nnv)0( kkvunnNn 例例2 2 判定判定p-p-級數(shù)級數(shù)pppnpnn13121111的斂散性.常數(shù) p0.(1)1,11 , ,ppnn解 設(shè)時由比較判別法知. 1; 111也發(fā)散級數(shù)是發(fā)散的調(diào)和級數(shù)npnnpn)15181( )71615141()3121(11 1(2)1ppppppppnpnp時，當.)8181( )41414141()2121(1 的對應(yīng)項它的各項均不大于級數(shù)ppppp

9、ppp., 1211所以此級數(shù)收斂公比后一級數(shù)是幾何級數(shù)，pq由此可得結(jié)論，p級數(shù)當 時發(fā)散，p1時收斂.1p11npn.11收斂npn13 1111 1.23nnnnnnn 例判定級數(shù)的斂散性11111 ,21 2,2nnnnn解 而 級 數(shù)收 斂 于. 211也收斂，且其和小于nnn.)1(1 41是發(fā)散的證明級數(shù)例nnn22 (1)(1)11 (1)(1)n nnn nn證明 11) 1(1nnn由比較判別法可知，所給級數(shù)也發(fā)散.113121111nnn而級數(shù)是發(fā)散的；定理定理( (達朗貝爾比值判別法達朗貝爾比值判別法) ) 設(shè)設(shè) 為正項級為正項級數(shù)，假如數(shù)，假如(1)(1)當當 時，級

10、數(shù)收斂；時，級數(shù)收斂；1nnu(3)當 時，級數(shù)可能收斂，可能發(fā)散.luunnn1lim nnnuu1lim(2)當 ( )時，級數(shù)發(fā)散. 三、正項級數(shù)收斂的比值判別法三、正項級數(shù)收斂的比值判別法1l 1l 1l .)0( 51的斂散性的斂散性判定級數(shù)判定級數(shù)例例 xnxnn 1nnnx級數(shù)nxnxuunnnnnn1limlim11解：xxnnn1lim.1;1 10時為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散當時發(fā)散當時收斂，當xxx.23cos 612 nnnn的的斂斂散散性性判判定定級級數(shù)數(shù)例例)13cos( 223cos 22nnnnnn解：nnnnnnnnnnuun221limlim2111滿足而級數(shù).21斂

11、收斂，因此原級數(shù)也收級數(shù)nnn21121limnnn例例7 7 判別級數(shù)判別級數(shù).10!10321102110132的收斂性nn解解: :101!10.10)!1( 11nnnuunnnn由比值判別法可知所給級數(shù)發(fā)散.101lim lim 1nuunnnn.2)12(1 81的的收收斂斂性性判判別別級級數(shù)數(shù)例例 nnn212)12(1 122nnnnnn此時 ，比值判別法失效，用其他方法判定;1) 1(2) 12(2) 12(lim lim1nnnnuunnnn解：)2( 112ppnn級數(shù)，收斂級數(shù).2)121 1收斂（所給級數(shù)由比較判別法知：nnn1l 第三節(jié)絕對收斂與條件收斂第三節(jié)絕對收

12、斂與條件收斂一、交錯級數(shù)及其斂散性一、交錯級數(shù)及其斂散性二、絕對收斂與條件收斂二、絕對收斂與條件收斂 一、交錯級數(shù)及其審斂一、交錯級數(shù)及其審斂法法定義定義 正負項相間的級數(shù)，稱為交錯級數(shù)正負項相間的級數(shù)，稱為交錯級數(shù). . 可以用下面形式給出：0)( 1 0)( 1 21243211121243211nkknnnnkknnnuuuuuuuuuuuuuuuu）（）（定理定理1(1(萊布尼茲定理萊布尼茲定理) ) ) 1(11滿足條件：nnnulim0nnu則級數(shù)收斂，且其和 ，并且其余項 的絕對值:1us .|1nnur(1)級數(shù)前項大于后項，即(2)級數(shù)的通項趨于零，即 );, 3 , 2 ,

13、 1( 1nuunnnr如果交錯級數(shù)(1) )( )()(21243212nnnuuuuuus證明證明: :先證明前先證明前2n2n項的和項的和s2ns2n的極限存在，為此的極限存在，為此將將s2ns2n寫成兩種形式寫成兩種形式: :,1nnuu由定理的第一個條件：由(1)式可知s2n是單調(diào)增加的；由(2)式可知s2n0和R20，那么nnnnnnnnnnxbaxbxa)( 000收斂半徑R等于R1和R2中較小的一個.性質(zhì)性質(zhì)1 1 如果冪級數(shù)如果冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)s(x)s(x)在其在其收斂域收斂域I I上連續(xù)上連續(xù). .0nnnxaIxxnaxxaxxaxxsnnnnxnnxnnnx

14、1 d d)()d(0100000性質(zhì)2 如果冪級數(shù) 的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積，并有逐項積分公式0nnnxa即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項積分，并且積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)性質(zhì)3 3 冪級數(shù)冪級數(shù) 的和函數(shù)的和函數(shù)s(x)s(x)在其收在其收斂區(qū)間斂區(qū)間(R,+R)(R,+R)內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式內(nèi)可導(dǎo)，且有逐項求導(dǎo)公式0nnnxa)( )( )()(0100Rx-R xnaxaxaxsnnnnnnnnn即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，并且求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.1116 .2nnnnnxn例求冪級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求級數(shù)

15、的和11lim|lim1nnaalnnnn解：11lR收斂半徑為11nxn當時，級數(shù)為1limlim nnnnunn 級數(shù)發(fā)散,) 1(111也發(fā)散時，級數(shù)為當nnnx),1 ,1( 級數(shù)的收斂區(qū)間為12 321)(nnxxxxs設(shè)和函數(shù)為：1111 )1 ( )d( :02320-x-xxxxxxxxxxttsxnnx積分，得到兩邊由20)1(1)111(d)(dd )(xxttsxxsxx求導(dǎo)，即得兩邊對211)1(1)(xnxxsnn4)211(1)21( ,21211nnnx則有取2421)21(1nnn第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)二、函數(shù)展開

16、成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)定義定義 如果如果f(x)f(x)在點在點x0 x0的某鄰域內(nèi)具有任意階的某鄰域內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)導(dǎo)數(shù)，則稱冪級數(shù)(1) )(!)( )(! 2)( )( )(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxf為f(x)在x0的泰勒級數(shù).當x0=0時，泰勒級數(shù)為:(2) )(!) 0 ( )(! 2) 0 ( )(0 ( ) 0 ()(2nnxnfxfxff稱之為f(x)的麥克勞林級數(shù).定理定理1 (1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) )如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)f(x)在含點在含點x0 x0的區(qū)間的區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)，有

17、一階直到內(nèi)，有一階直到n n 階的連續(xù)導(dǎo)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則當數(shù)，則當x x取區(qū)間取區(qū)間(a,b)(a,b)內(nèi)的任何值時，內(nèi)的任何值時，f(x)f(x)可以按可以按(x(xx0)x0)的方冪展開為：的方冪展開為：(3) )()(!)( )(! 2)( )( )()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中： (4) )( )() 1()()(010) 1(之間與在！xxxxnfxRnnn公式(3)稱為函數(shù)f(x)的泰勒公式，余項(4)稱為拉格朗日余項.定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)f(x)在點在點x0 x0的某一鄰域的某一鄰域U(x0)U(x0)內(nèi)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)

18、，則具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)f(x)在該鄰域內(nèi)可展開成泰在該鄰域內(nèi)可展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是勒級數(shù)的充分必要條件是f(x) f(x) 的泰勒公式余項的泰勒公式余項Rn(x)Rn(x)當當 時的極限為零，即：時的極限為零，即：(5) 0)(limxRnnn 二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)(也稱麥克勞林展開式)的基本法，其一般步驟為：成冪級數(shù)；不能展開的某階導(dǎo)數(shù)不存在，則若函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)求出 )()( ;),(),(),( :)(a)(xfxfxfxfxfxfn;),0(,),0(),0(),0( :0(b)(nffffx處的值求出函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)在 .)( (c)(0)( )( (d)的冪級數(shù)展開式就是函數(shù)步驟寫出的冪級數(shù)，則內(nèi)，余項如能證明在收斂區(qū)間xfnxRR-R,nnnxnfxfxff! ! 2)0( )0( )0( )(2; )3(c)R并求出收斂半徑寫出麥克勞林級數(shù)，利用公式的冪級數(shù)展開成將函數(shù)例xxfxe)( 1 1)0( ,e)()()(nxnfxf解