有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié)教師用

1、 有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié)一、本章知識(shí)概述 本章所學(xué)習(xí)的是有理數(shù)及其運(yùn)算，我們可以將本章的內(nèi)容分為三大部分：第一部分：主要內(nèi)容是有理數(shù)的有關(guān)概念.首先是理解有理數(shù)的意義及分類，判斷一個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，運(yùn)用正、負(fù)數(shù)表示生活中具有相反意義的量其次是認(rèn)識(shí)數(shù)軸，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，借助數(shù)軸認(rèn)識(shí)相反數(shù)的概念及互為相反數(shù)的一對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小第三是理解絕對(duì)值的概念及求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小，通過應(yīng)用題解決實(shí)際問題，體會(huì)絕對(duì)值的意義和作用.第二部分：學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法運(yùn)算，通過探索有理數(shù)加法法則和運(yùn)算律的過程，理解有理數(shù)的加法法則和運(yùn)算律，利用有理數(shù)的

2、加法法則進(jìn)行有理數(shù)的加法運(yùn)算，并利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；通過探索有理數(shù)減法法則的過程，理解有理數(shù)的減法法則，利用有理數(shù)的減法法則進(jìn)行有理數(shù)的減法運(yùn)算；利用有理數(shù)的加、減法法則進(jìn)行包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)或小數(shù)的有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，并適當(dāng)利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；綜合運(yùn)用有理數(shù)及其加法、減法的有關(guān)知識(shí)，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系第三部分：主要內(nèi)容是有理數(shù)的乘、除、乘方運(yùn)算及有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算經(jīng)歷探索有理數(shù)乘法法則及運(yùn)算律的過程，發(fā)展觀察、歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證等能力 .根據(jù)有理數(shù)乘法法則進(jìn)行有理數(shù)的乘法運(yùn)算，運(yùn)用乘法運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算；根據(jù)有理數(shù)除法法則進(jìn)行有理數(shù)的除法運(yùn)算，求有理數(shù)的倒

3、數(shù)；根據(jù)有理數(shù)乘方的意義進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算，通過實(shí)例感受當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，乘方運(yùn)算結(jié)果的快速增長(zhǎng)根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算順序的規(guī)定，進(jìn)行有理數(shù)加、減、乘、除、乘方的混合運(yùn)算，在運(yùn)算過程中，合理使用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算；使用計(jì)算器進(jìn)行有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，使用計(jì)算器進(jìn)行實(shí)際問題的復(fù)雜運(yùn)算二、重點(diǎn)知識(shí)歸納及講解 1、正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念 比0大的數(shù)叫做正數(shù)；在正數(shù)前面加上“”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù).為了突出數(shù)的符號(hào)，可以在正數(shù)前面加“”號(hào)，一般地“”號(hào)往往省略不寫，但負(fù)數(shù)前面的“”號(hào)不能省略.對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡(jiǎn)單地理解為：帶“”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“”號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù).2、有理數(shù)的

4、概念及分類 整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)：正數(shù)、負(fù)數(shù)和零也統(tǒng)稱為有理數(shù)整數(shù)包括正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)；正數(shù)包括正整數(shù)和負(fù)整數(shù)；負(fù)整數(shù)包括負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù) 到目前為止，我們學(xué)過的數(shù)細(xì)分有五類：正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)、零、負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，因?yàn)橛邢扌?shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以化為分?jǐn)?shù)，所以把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)有時(shí)為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為 1的分?jǐn)?shù)，但本章中的分?jǐn)?shù)是指不包括分母是1的分?jǐn)?shù). 通常把正整數(shù)和零統(tǒng)為非負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)；正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，即為自然數(shù)；負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù).3、數(shù)軸的概念及畫法規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸的概念

5、中包含有三層含義：一是說數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；二是說數(shù)軸具有原點(diǎn)，正方向和單位長(zhǎng)度三要素，三者缺一不可；三是說數(shù)軸原點(diǎn)的選定，正方向的取向、單位長(zhǎng)度大小的確定，是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的.畫數(shù)軸的步驟：（1）畫一條直線，一般畫成水平的直線；（2）在直線上選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，用實(shí)心點(diǎn)表示，在原點(diǎn)下邊標(biāo)上0；（3）用箭頭表示正方向，一般規(guī)定向右為正；（4）選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，用細(xì)短線畫出，并在下邊標(biāo)上對(duì)應(yīng)的數(shù).4、相反數(shù)的概念如果兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，那么稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，特別地，0的相反數(shù)是0.在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，且與原

6、點(diǎn)的距離相等，這就是相反數(shù)的幾何意義.一般地，數(shù)a的相反數(shù)是a，這里a表示任意一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，還可以代表任意一個(gè)代數(shù)式，表示或求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在這個(gè)數(shù)的前面添上一個(gè)“”號(hào)就可以了.相反數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)不能說是相反數(shù)；不能理解為只要符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)就互為相反數(shù)，只有符合不同的兩個(gè)數(shù)是說除了符號(hào)不同以外完全相同.5、絕對(duì)值的概念在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，數(shù)a的絕對(duì)值記作“|a|”.正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0的絕對(duì)值是0，這就是絕對(duì)值的代數(shù)意義，也可表示為：6、絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)（1）對(duì)任意有理數(shù)a，

7、都有|a|0； （2）若|a|=0，則a=0； （3）若|a|=|b|，則a=b或a=b； （4）若|a|=b（b>0），則a=±b； （5）若|a|b|=0，則a=0且b=0； （6）對(duì)任意有理數(shù)a，都有|a|=|a|. 7、有理數(shù)大小的比較法則 在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大； 正數(shù)都大于 0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)； 兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小 . 8、有理數(shù)加法法則 同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加 . 異號(hào)兩數(shù)相加，絕對(duì)值相等時(shí)和為 0；絕對(duì)值不等時(shí)，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并把較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值. 一個(gè)數(shù)同 0相加，仍得這個(gè)

8、數(shù). 9、有理數(shù)加法運(yùn)算律 加法交換律： ab=ba 加法結(jié)合律： (ab)c=a(bc) 10、有理數(shù)減法法則 減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即： ab=a(b). 11、代數(shù)和的意義 幾個(gè)正數(shù)或負(fù)數(shù)的和叫做代數(shù)和，代數(shù)和一般用省略加號(hào)、括號(hào)的和的形式來表示，代數(shù)和不僅表示有理數(shù)相加的結(jié)果，而且還可表示加法運(yùn)算. 12、有理數(shù)加減混合運(yùn)算步驟 （1）把加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法； （2）寫成省略加號(hào)、括號(hào)的代數(shù)和； （3）利用加法法則及運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算. 13、有理數(shù)乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘，任何數(shù)同零相乘都得014、多個(gè)非零因數(shù)相乘，積的符號(hào)規(guī)律n個(gè)不等于零的有

9、理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正n個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為015、有理數(shù)乘法的運(yùn)算律(1)交換律：兩個(gè)因數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變即a·bb·a；(2)結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變，即(a·b)·ca·(b·c)；(3)分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩數(shù)相乘，再把所得的積相加即a(bc)abac16、倒數(shù)的概念乘積為1的兩個(gè)有理數(shù)互為倒數(shù).即當(dāng)a·b1時(shí)，a與b互為倒數(shù)由于任何一個(gè)有理數(shù)與

10、0的積為0，不可能是1，所以0沒有倒數(shù).倒數(shù)還可以說成是：1除以一個(gè)數(shù)(除數(shù)不等于0)的商叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，如a0，a的倒數(shù)為17、有理數(shù)的除法法則除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除，0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)都得018、利用除法化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)除法可以寫成幾種不同的形式，例如：6÷3可以寫成，還可寫成63.說明除法可以表示成分?jǐn)?shù)和比的形式;反過來,分?jǐn)?shù)和比可化為除法,由于除法、分?jǐn)?shù)和比可以互化，所以可以利用除法化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù).19、乘方的概念求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，即在中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，叫做冪的讀法有兩種：(1)讀作a的n次冪(2)讀

11、作a的n次方20、有理數(shù)的乘方法則正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)21、科學(xué)記數(shù)法把一個(gè)大于10的數(shù)記成的形式，其中a的整數(shù)位數(shù)只有一位，這種記數(shù)的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法22、有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的運(yùn)算中，加減為一級(jí)運(yùn)算，乘除為二級(jí)運(yùn)算，乘方（及開方乘方的逆運(yùn)算，以后將講到）為三級(jí)運(yùn)算.對(duì)于有理數(shù)的混合運(yùn)算，要特別注意運(yùn)算順序及正確使用符號(hào)法則確定各步運(yùn)算結(jié)果的符號(hào).有理數(shù)的運(yùn)算順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，對(duì)于同級(jí)運(yùn)算，一般從左到右依次進(jìn)行.如果有括號(hào)，就先算括號(hào)內(nèi)的，且一般先算小括號(hào)內(nèi)的，再算中括號(hào)內(nèi)的，最后算大括號(hào)內(nèi)的.如果能利用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算，可

12、變更上面的運(yùn)算順序，靈活處理.三、難點(diǎn)知識(shí)剖析 1、負(fù)數(shù)的產(chǎn)生及其意義 隨著社會(huì)的發(fā)展，小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實(shí)際的需要，為了滿足實(shí)際需要，引入了負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)是由于實(shí)際需要產(chǎn)生的，負(fù)數(shù)也是客觀存在的數(shù) . 正數(shù)和負(fù)數(shù)通常表示具有相反意義的量，若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示其相反意義的量，反之亦然 . 2、數(shù)集的概念 把一些數(shù)放在一起，就組成一個(gè)數(shù)的集合，簡(jiǎn)稱數(shù)集、所有的有理數(shù)組成的數(shù)集叫做有理數(shù)集，類似地，所有整數(shù)組成的數(shù)集叫做整數(shù)集，所有正數(shù)組成的數(shù)集叫做正數(shù)集，所有負(fù)數(shù)組成的數(shù)集叫做負(fù)數(shù)集，等等 . 3、多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律 單獨(dú)一個(gè)有理數(shù)前面的“”號(hào)和“”號(hào)，一般都是性

13、質(zhì)符號(hào)，讀作“正”號(hào)或“負(fù)”號(hào) . 括號(hào)前是“”號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)和“”號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)不變，括號(hào)前是“”號(hào)時(shí)，去掉括號(hào)和“”號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)就變成它的相反數(shù) . 在一個(gè)數(shù)的前面添加一個(gè)“”號(hào)，仍然與原數(shù)相同；在一個(gè)數(shù)的前面添加一個(gè)“”號(hào)，就成為原數(shù)的相反數(shù) . 4、兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小比較 兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小比較與其它數(shù)一樣，可以利用數(shù)軸找準(zhǔn)兩個(gè)負(fù)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大 . 兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小比較，還可以利用絕對(duì)值，求這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，比較兩個(gè)數(shù)絕對(duì)值的大小，絕對(duì)值大的反而小 . 5、有關(guān)絕對(duì)值的計(jì)算及化簡(jiǎn) 靈活正確運(yùn)用絕對(duì)值的代數(shù)意義及有關(guān)性質(zhì) . 6、積的符號(hào)的確定方法

14、有理數(shù)乘法與算術(shù)中的乘法的區(qū)別在于積的符號(hào).幾個(gè)正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘時(shí)積的符號(hào)法則：幾個(gè)不等于0的有理數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)數(shù)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)數(shù)，積為正；幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積為0，根據(jù)積的符號(hào)法則，在有理數(shù)乘法中，不管有多少個(gè)不為0的數(shù)相乘，都應(yīng)該首先根據(jù)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)一次性地先確定積的符號(hào)，這樣做的好處是既簡(jiǎn)練又準(zhǔn)確.7、幾個(gè)非0的有理數(shù)相除，商的符號(hào)的確定幾個(gè)非0的有理數(shù)相除，商的符號(hào)由負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)決定：當(dāng)負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，商為負(fù)；當(dāng)負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，商為正如： (12)÷(2)÷(3)三個(gè)負(fù)數(shù)：負(fù)(12÷2

15、7;3)2(12)÷2÷(3)兩個(gè)負(fù)數(shù)：正(12÷2÷3)28、有理數(shù)混合運(yùn)算中應(yīng)注意的問題（1）要注意運(yùn)算順序；（2）要靈活運(yùn)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，不要搞錯(cuò)符號(hào)，特別是乘方的符號(hào)；（3）要靈活進(jìn)行小數(shù)、分?jǐn)?shù)的互化；（4）互為相反數(shù)的和，互為倒數(shù)的積，有因數(shù)為零，特殊運(yùn)算先行結(jié)合.典型例題例1：一個(gè)物體沿著南北兩個(gè)相反方向運(yùn)動(dòng)，如果把向南的方向規(guī)定為正，那么走 6km，走4.5km，走0km的意義各是什么？ 分析：正數(shù)與負(fù)數(shù)可表示具有相反意義的量，正數(shù)表示向南運(yùn)動(dòng)，則負(fù)數(shù)表示向北運(yùn)動(dòng) .0表示原地不動(dòng)，0表示正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界，在實(shí)際問題中也有確定的意義

16、. 解：走 6km表示物體向南走6km； 走 4.5km表示物體向北走4.5km； 走 0km表示物體原地不動(dòng). 例2：某老師把某一小組五名同學(xué)的成績(jī)簡(jiǎn)記為： 10、5、0、8、3，又知記為0的實(shí)際成績(jī)表示90分，正數(shù)表示超過90分，則這五位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)槎嗌俜郑?分析：由題意先求出這五位同學(xué)的實(shí)際成績(jī)，如簡(jiǎn)記為 10的學(xué)生實(shí)際成績(jī)?yōu)?00，然后再求平均成績(jī). 解：依題意知，五位同學(xué)在實(shí)際成績(jī)分別為：100、85、90、98、87，其平均成績(jī)?yōu)椋?例3：如圖所示的數(shù)軸上， A、B、C、D、E各點(diǎn)分別表示什么數(shù)？ 分析：根據(jù)各點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，右側(cè)還是在原點(diǎn)上，來確定數(shù)是負(fù)數(shù)，正數(shù)還是 0，根據(jù)

17、各點(diǎn)距離原點(diǎn)多少個(gè)長(zhǎng)度單位，來確定數(shù)的值. 解：點(diǎn)A表示數(shù)； 點(diǎn)B表示數(shù)； 點(diǎn)C表示數(shù)0； 點(diǎn)D表示3； 點(diǎn)E表示數(shù).例4：在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“<”連接起來；分析：首先畫出數(shù)軸，三要素要齊全；再把各數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)找出來；然后根據(jù)這些數(shù)在數(shù)軸上的位置順序比較大小，再用“<”連接起來.解：這些數(shù)在數(shù)軸上的表示如圖所示 . 它們從小到大的排列為：例5：利用絕對(duì)值比較下列有理數(shù)的大小 . （1）0.6，60分析：比較負(fù)數(shù)的大小，先求出各數(shù)的絕對(duì)值，關(guān)鍵是比較絕對(duì)值的大小，絕對(duì)值大的反而小，比較分?jǐn)?shù)大小，一般要化成同分母的分?jǐn)?shù)來比較 . 解：（1）|0.6|=0.6, |

18、60|=60 0.6<60， 0.6>60. 例6：已知 |a2|b3|=0，求a和b的值. 分析：由絕對(duì)值的非負(fù)性可知， |a2|0，|b3|0，而且只有當(dāng)|a2|和|b3|都等于0時(shí)，|a2|b3|=0才成立，因?yàn)橹挥?的絕對(duì)值等于0，所以a=2，b=3. 解： |a2|b3|=0， 又 |a2|0，|b3|0， |a2|=0，|b3|=0 a2=0，b3=0 a=2，b=3例7：計(jì)算 分析：進(jìn)行有理數(shù)加減混合運(yùn)算時(shí)，應(yīng)先把加減運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算，再寫成省略加號(hào)和括號(hào)的代數(shù)和，最后運(yùn)用有理數(shù)的加法法則及運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算的盡量簡(jiǎn)化運(yùn)算 . 解：（1）原式=（5）（3）（9）（7） =5397 =（539）7 =177=10 例8：計(jì)算題：注：（1）要按運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算. （2）乘方時(shí)要看清楚