高中平面向量知識點詳細歸納總結(jié)(附帶練習(xí))(共11頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上向量的概念一、高考要求：理解有向線段及向量的有關(guān)概念,掌握求向量和與差的三角形法則和平行四邊形法則,掌握向量加法的交換律和結(jié)合律.二、知識要點：1. 有向線段:具有方向的線段叫做有向線段,在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向.以A為始點,B為終點的有向線段記作,注意:始點一定要寫在前面,已知,線段AB的長度叫做有向線段的長(或模),的長度記作.有向線段包含三個要素:始點、方向和長度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中說到向量,如不特別說明,指的都是自由向量.一個向量可用有向線段來表示,有向線段的長度表示向量的大小,有向

2、線段的方向表示向量的方向.用有向線段表示向量時,我們就說向量.另外,在印刷時常用黑體小寫字母a、b、c、等表示向量;手寫時可寫作帶箭頭的小寫字母、等.與向量有關(guān)的概念有:(1) 相等向量:同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量.向量和同向且等長,即和相等,記作=.(2) 零向量:長度等于零的向量叫做零向量,記作.零向量的方向不確定.(3) 位置向量:任給一定點O和向量,過點O作有向線段,則點A相對于點O的位置被向量所唯一確定,這時向量又常叫做點A相對于點O的位置向量.(4) 相反向量:與向量等長且方向相反的向量叫做向量的相反向量,記作.顯然, .(5) 單位向量:長度等于1的向量,叫做單

3、位向量,記作.與向量同方向的單位向量通常記作,容易看出:.(6) 共線向量(平行向量):如果表示一些向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,即這些向量的方向相同或相反,則稱這些向量為共線向量(或平行向量).向量平行于向量,記作.零向量與任一個向量共線(平行).三、典型例題：例:在四邊形ABCD中,如果且,那么四邊形ABCD是哪種四邊形?四、歸納小結(jié)：1. 用位置向量可確定一點相對于另一點的位置,這是用向量研究幾何的依據(jù).2. 共線向量(平行向量)可能有下列情況: (1)有一個為零向量;(2)兩個都為零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(

4、6)方向相反,模不等. 五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 下列命題中: (1)向量只含有大小和方向兩個要素. (2)只有大小和方向而無特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量. (4)點A相對于點B的位置向量是. 正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2. 設(shè)O是正ABC的中心,則向量是( ) A.有相同起點的向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.相等向量3. 的充要條件是( ) A. B.且 l C. D.且與同向4. 是四邊形是平行四邊形的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件5. 依據(jù)

5、下列條件,能判斷四邊形ABCD是菱形的是( ) A. B.且C.且 D.且6. 下列關(guān)于零向量的說法中,錯誤的是( ) A.零向量沒有方向 B.零向量的長度為 C.零向量與任一向量平行 D.零向量的方向任意7. 設(shè)與已知向量等長且方向相反的向量為,則它們的和向量等于( ) A.0 B. C.2 D.2（二）填空題：8. 下列說法中: (1)與的長度相等 (2)長度不等且方向相反的兩個向量不一定共線 (3)兩個有共同起點且相等的向量,終點必相同(4)長度相等的兩個向量必共線。錯誤的說法有 .9. 下列命題中: (1)單位向量都相等 (2)單位向量都共線 (3)共線的單位向量必相等 (4)與一非零

6、向量共線的單位向量有且只有一個.中正確的命題的個數(shù)有 個.10. 下列命題中: (1)若=0,則=0. (2)若,則或.(3)若與是平行向量,則. (4)若,則.其中正確的命題是 (只填序號).（三）解答題：11. 如圖,四邊形ABCD于ABDE都是平行四邊形.(1) 若,求;(2) 若,求;(3) 寫出和相等的所有向量;(4) 寫出和共線的所有向量.向量的加法與減法運算一、高考要求：掌握求向量和與差的三角形法則和平行四邊形法則.掌握向量加法的交換律與結(jié)合律.二、知識要點：1. 已知向量、,在平面上任取一點A,作,作向量,則向量叫做向量與的和(或和向量),記作+,即.這種求兩個向量和的作圖法則

7、,叫做向量求和的三角形法則.2. 已知向量、,在平面上任取一點A,作,如果A、B、D不共線,則以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,則對角線上的向量=+=+.這種求兩個向量和的作圖法則,叫做向量求和的平行四邊形法則.3. 已知向量、,在平面上任取一點O,作,則+=,向量叫做向量與的差,并記作-,即=.由此推知:(1) 如果把兩個向量的始點放在一起,則這兩個向量的差是減向量的終點到被減向量的終點的向量;(2) 一個向量等于它的終點相對于點O的位置向量減去它的始點相對于點O的位置向量;(3) 一個向量減去另一個向量,等于加上這個向量的相反向量.4. 向量加法滿足如下運算律: (1); (2).三

8、、典型例題：例1:已知任意兩個向量、,不等式是否正確?為什么?例2:作圖驗證:.四、歸納小結(jié)：1. 向量的加法有三角形法則()或平行四邊形法則(+=),向量的減法法則().2. 向量的加減法完全不同于數(shù)量的加減法.向量加法的三角形法則的特點是,各個加向量的首尾相接,和向量是首指向尾.向量減法的三角形法則的特點是,減向量和被減向量同起點,差向量是由減向量指向被減向量.3. 任一向量等于它的終點向量減去它的起點向量(相對于一個基點). 五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 化簡的結(jié)果為( ) A. B. C. D.02. 在ABC中,則等于( ) A. B. C. D.3. 下列四式中不能化簡為的

9、是( ) A. B.C. D.4. 如圖,平行四邊形ABCD中,下列等式錯誤的是( ) A. B. C. D.5. 下列命題中，錯誤的是( )A.對任意兩個向量、,都有 B.在ABC中,C.已知向量,對平面上任意一點O,都有D.若三個非零向量、滿足條件,則表示它們的有向線段一定能構(gòu)成三角形6下列等式中，正確的個數(shù)是( ) ;.A.2 B.3 C.4 D.5（二）填空題：6. 在ABC中,= ,= .7. 化簡:= ,= .（三）解答題：8. 若某人從點A向東位移60m到達點B,又從點B向東偏北方向位移50m到達點C,再從點C向北偏西方向位移30m到達點D,試作出點A到點D的位移圖示.數(shù)乘向量一

10、、高考要求：掌握數(shù)乘向量的運算及其運算律.二、知識要點：1. 數(shù)乘向量的一般定義:實數(shù)和向量的乘積是一個向量,記作.當(dāng)時,與同方向,;當(dāng)時,與反方向,;當(dāng)或時,.2. 數(shù)乘向量滿足以下運算律: (1)1=,(-1)=; (2);(3); (4).三、典型例題：例1:化簡: 例2:求向量:四、歸納小結(jié)：向量的加法、減法與倍積的綜合運算,通常叫做向量的線性運算.五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 下列關(guān)于數(shù)乘向量的運算律錯誤的一個是( ) A. B. C. D.2. D,E,F分別為ABC的邊BC,CA,AB上的中點,且,給出下列命題,其中正確命題的個數(shù)是( ) ; ; ; . A.1 B.2

11、C.3 D.43. 已知AM是ABC的BC邊上的中線,若,則等于( ) A. B. C. D.4. 設(shè)四邊形ABCD中,有,且,則這個四邊形是( ) A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形（二）填空題：5. 化簡:= .6. 若向量滿足等式: ,則= .7. 數(shù)乘向量的幾何意義是 .（三）解答題：8. 已知向量(也稱矢量),求作向量. 9. 已知、不平行,求實數(shù)x、y使向量等式恒成立.10. 任意四邊形ABCD中,E是AD的中點,F是BC的中點,求證:. 平行向量和軸上向量的坐標(biāo)運算一、高考要求：掌握向量平行的條件,理解平行向量基本定理和軸上向量的坐標(biāo)及其運算.二、知識要點：1. 平

12、行向量基本定理:如果向量,則的充分必要條件是,存在唯一的實數(shù),使.該定理是驗證兩向量是否平行的標(biāo)準(zhǔn).2. 已知軸,取單位向量,使與同方向,對軸上任意向量,一定存在唯一實數(shù)x,使.這里的x叫做在軸上的坐標(biāo)(或數(shù)量),x的絕對值等于的長,當(dāng)與同方向時,x是正數(shù),當(dāng)與反方向時,x是負數(shù).(1) 設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng);=.這就是說,軸上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等;軸上兩個向量和的坐標(biāo)等于兩個向量的坐標(biāo)的和.(2) 向量的坐標(biāo)通常用AB表示,常把軸上向量運算轉(zhuǎn)化為它們的坐標(biāo)運算,得著名的沙爾公式:AB+BC=AC.(3) 軸上向量的坐標(biāo)運算:起點和終點在軸上的向量的坐標(biāo)等于它的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)

13、.即在軸x上,若點A的坐標(biāo)為,點B的坐標(biāo)為,則AB=.可得到數(shù)軸上兩點的距離公式:.三、典型例題：例1:已知:MN是ABC的中位線,求證:.例2:已知:,試問向量與是否平行?并求.例3:已知:A、B、C、D是軸上任意四點,求證:四、歸納小結(jié)：1. 平面向量基本定理給出了平行向量的另一等價的代換式,可以通過向量的運算解決幾何中的平行問題.即判斷兩個向量平行的基本方法是,一個向量是否能寫成另一向量的數(shù)乘形式.2. 數(shù)軸上任一點P相對于原點O的位置向量的坐標(biāo),就是點P的坐標(biāo),它建立了點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)之間的聯(lián)系.五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 如果,那么與的關(guān)系一定是( ) A.相等 B.平行

14、 C.平行且同向 D.平行且反向2. 若,且,則四邊形ABCD是( ) A.平行四邊形 B.梯形 C.等腰梯形 D.菱形3. “”是“且”的( ) A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件（二）填空題：4. 若,那么與的關(guān)系是 .5. 在軸上,若,則= .6. 已知:數(shù)軸上三點A、B、C的坐標(biāo)分別是-5、-2、6,則= ,= , = .（三）解答題：7. 已知:點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點,求證:EF=HG. 向量的分解一、高考要求：理解平面向量的分解定理.二、知識要點：1. 平面向量的分解定理:設(shè),是平面上的兩個不共線的向量,

15、則平面上任意一個向量能唯一地表示成,的線性組合,即.2. 直線的向量參數(shù)方程：(t為參數(shù)):;.特別地,當(dāng)時,此為中點向量表達式.三、典型例題：例1:如圖,在ABC中,M是AB的中點,E是中線CM的中點,AE的延長線交BC于F,MHAF,交BC于點H,設(shè),試用基底、表示、.例2:如圖,A、B是直線上任意兩點,O是外一點,求證:點P在直線上的充要條件是:存在實數(shù)t,使.四、歸納小結(jié)：平面向量分解定理告訴我們:平面上取定兩個不平行的向量作為基向量,則平面上的任一向量都可以表示為基向量的線性組合.于是,向量之間的運算轉(zhuǎn)化為對兩個向量的線性運算.五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 如圖,用基底向量、

16、表示向量、,不正確的一個是( ) A.=+2 B.=2+3 C.=3+ D.=+32. 在平行四邊形ABCD中,O是對角線AC和BD的交點,則等于( ) A. B. C. D.3. 已知平行四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD相交于點M,設(shè),則用基底向量、分別表示、中,錯誤的一個是( ) A. B. C. D. 4. 若點P滿足向量方程,當(dāng)t在R內(nèi)任意取值時,點P的軌跡是( ) A.直線OA B.直線OB C.直線AB D.一條拋物線（二）填空題：5. 已知O、A、B三點不共線,則用向量、分別表示線段AB的三等分點P、Q相對于點O的位置向量為 .6. 在ABC中,DEBC,并分別與邊AB、AC

17、交于點D、E,如果AD=AB,則用、表示向量為 .7. 正方形ABCD中,E為DC的中點,則= .8. 平行四邊形的邊BC和CD的中點分別為E、F,把向量表示成、的線性組合為 .（三）解答題：9. ABCD是梯形,ABCD且AB=2CD,M、N分別是DC和AB的中點,求和. 向量的直角坐標(biāo)一、高考要求：掌握向量的直角坐標(biāo)和點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,熟練掌握向量的直角坐標(biāo)運算,會求滿足一定條件的點的坐標(biāo),掌握平行向量坐標(biāo)間的關(guān)系.二、知識要點：1. 在直角坐標(biāo)系XOY內(nèi),分別取與x軸、與y軸方向相同的兩個單位向量、,在XOY平面上任作一向量,由平面向量分解定理可知,存在唯一的有序?qū)崝?shù)對,使得,則叫做向

18、量在直角坐標(biāo)系XOY中的坐標(biāo),記作.2. 向量的直角坐標(biāo):任意向量的坐標(biāo)等于終點B的坐標(biāo)減去起點A的坐標(biāo),即若A、B,則.向量的直角坐標(biāo),也常根據(jù)向量的長度和方向來求:.3. 向量的坐標(biāo)運算公式:設(shè),則:;.三、典型例題：例1:已知A(-2,1)、B(1,3),求線段AB的中點M和三等分點P、的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).例2:若向量,把向量表示為和的線性組合.四、歸納小結(jié)：1. 向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是向量在x軸和y軸上投影的數(shù)量,向量的直角坐標(biāo)運算公式是通過對基向量的運算得到的.2. 要求平面上一點的坐標(biāo),只須求出該點的位置向量的坐標(biāo).五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題：1. 已知向量,向量,下列

19、式子中錯誤的是( ) A. B. C. D.2. 已知,則的充要條件是( ) A. B. C.且 D.或3. 已知點A(-1,1),B(-4,5),若,則點C的坐標(biāo)是( ) A.(-10,13) B.(9,-12) C.(-5,7) D.(5,-7)4. 已知點A(1,2),B(-1,3),則的坐標(biāo)是( ) A.(-5,5) B.(5,-5) C.(-1,13) D.(1,-13)5. 已知A(1,5),B(-3,3),則AOB的重心的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D.6. 已知向量,向量,則等于( ) A.(-1,-12) B.(3,-5) C.(7,-12) D.(7,0)7. 已知=(

20、-4,4),點A(1,-1),B(2,-2),那么( )A. B. C. D. 8. 已知點A(1,2),B(k,-10),C(3,8),且A,B,C三點共線,則k=( )A.-2 B.-3 C.-4 D.-59. 已知,則x=( ) A.6 B.-6 C. D.（二）填空題：10. 設(shè)平行四邊形ABCD的對角線交于點O,則的坐標(biāo)是 .11. 已知,且,則p,q的值分別為 .12. 若向量與是方向相反的向量,則m= .（三）解答題：13. 已知,實數(shù)x,y滿足等式,求x,y.14. 已知向量,將向量的長度保持不變繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置,求點的坐標(biāo).(1) 向量=(-3,4)、=(-1

21、,1),點A的坐標(biāo)為(1,0).求; (2)若,求B點的坐標(biāo). 向量的長度和中點公式一、高考要求：熟練掌握向量的長度(模)的計算公式(即兩點間的距離公式)、中點公式.二、知識要點：1. 向量的長度(模)公式:若,則;若A,B,則.2. 中點公式:若A,B,點M(x,y)是線段AB的中點,則.三、典型例題：例1:已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),求頂點D的坐標(biāo).例2:已知A(3,8),B(-11,3),C(-8,-2),求證:ABC為等腰三角形.四、歸納小結(jié)：向量的長度公式、距離公式是幾何度量的最基本公式,中點公式是中心對稱的坐標(biāo)表示.五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（

22、一）選擇題：1. 已知向量=(3,m)的長度是5,則m的值為( ) A.4 B.-4 C.±4 D.162. 若A(1 , 3),B(2 , 5),C(4 ,2),D(6,6),則( ) A. B. C. D.3. 已知平行四邊形ABCD的頂點A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),則頂點D的坐標(biāo)是( ) A.(0,4) B.(2,2) C.(-1,5) D.(1,5)4. 已知點P的橫坐標(biāo)是7,點P到點N(-1,5)的距離是10,則點P的坐標(biāo)是( ) A.(7,11) B.(7,-1) C.(7,11)或(7,-1) D.(7,-11)或(7,1)（二）填空題：5. 已知A(

23、-3 , 4),B(4 , -3),則= ,= ,線段AB的中點坐標(biāo)是 .6. 已知點P(x,2),Q(-2,-3),M(1,1),且,則x的值是 .（三）解答題：7. 已知平行四邊形ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求頂點D的坐標(biāo).8. 已知點A(5,1),B(1,3),及,求的坐標(biāo)和長度. 平移公式一、高考要求：掌握平移公式,會求滿足一定條件的點的坐標(biāo).二、知識要點：1. 平移是一種基本的幾何(保距)變換,它本身就是一個向量.教材中有點的平移和坐標(biāo)軸的平移2. 在圖形F上任取一點P(x,y),設(shè)平移向量到圖形上的點,則點的平移公式為:.三、典型例題：例1:一種函

24、數(shù)的圖象F平移向量到的位置,求圖象的函數(shù)解析式.例2:已知拋物線F:經(jīng)一平移變換為:,求平移變換公式.四、歸納小結(jié)：點的平移法則:函數(shù)y=f(x)的圖象平移向量后,得到新圖形的方程是:y-=f(x-).這就是說,在方程y=f(x)中,把x,y分別換成x-,y-,即可得到圖象的方程.五、基礎(chǔ)知識訓(xùn)練：（一）選擇題： 1. 點A(-2,1)平移向量=(3,2)后,得到對應(yīng)點的坐標(biāo)是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)2. 將函數(shù)的圖象F,平移向量=(-3,1)到圖象,則對應(yīng)的解析式是( ) A. B. C. D.3. 將函數(shù)y=2x的圖象,平移向量=(0,

25、3)到,則的方程是( ) A.y=x B.y=2(x+3) C.y=6x D.y=2x+34. 將函數(shù)的圖象右移個單位,平移后對應(yīng)的函數(shù)為( ) A. B. C. D.5. 將函數(shù)y=sin2x的圖象平移向量得到函數(shù)的圖象,則為( ) A.(,0) B.(,0) C. (,0) D. (,0)6. 將方程x2-4x-4y-8=0表示的圖形經(jīng)過平移向量變換到x2=4y的圖形,則=( )A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)7. 函數(shù)的圖象平移向量后得到函數(shù)的圖象,則為( )A.(2,1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(-2,-1)（二）填空題：8. 在平移變換下,點A(1,0)變?yōu)?4,3),則平移向量= .9. F:拋物線經(jīng)一平移變換到,其平移變換公式為 .10. 把圖形F平移向量=(2,3)后得到圖象,已知的解析式為,則F對應(yīng)的函數(shù)解析式為 .（三）解答題：11. 已知函數(shù)的圖象為F,把F平移向量=(3,2)到圖象,求圖象的表達式.向量的射影與內(nèi)積一、高考要求：了解向量在軸上投影的概念,掌握向量在軸上