高中物理奧賽常用數(shù)學(xué)公式(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中物理奧賽常用數(shù)學(xué)公式一、等差、等比數(shù)列1定義：2.公式(1)通項(xiàng) (2)前n項(xiàng)和 也是等差數(shù)列二.數(shù)列求和 (1)(2) 三、三角公式1、 和差角公式2、 倍角公式 萬(wàn)能公式3、 半角公式，升降冪公式4、積化和差，和差化積公式（2）正弦定理 (R是外接圓半徑)（3）余弦定理 （4）其中為半周長(zhǎng)四、重要不等式123五、球1、2、球面距離（是徑度差）3、球內(nèi)接長(zhǎng)方體 側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)形長(zhǎng)方體球內(nèi)接長(zhǎng)方體4、體積 多面體內(nèi)切球半徑 ： 六、二項(xiàng)式定理（1）（2）七、導(dǎo)數(shù)1二、運(yùn)算法則：三、導(dǎo)數(shù)公式（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）8、設(shè)三角形

2、ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL 中考不需要，競(jìng)賽中很顯然的結(jié)論 9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。 高中競(jìng)賽中非常重要的定理，稱為歐拉線10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上， 高中競(jìng)賽中的常用定理11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上 高中競(jìng)賽中會(huì)用，不常用12、庫(kù)立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓) 圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓

3、圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。 高中競(jìng)賽的題目，不用掌握13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長(zhǎng)的一半 重要 14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn) 重要15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 初中競(jìng)賽需要，重要16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有nAB2+mAC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中競(jìng)賽需要，重要17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)

4、M和對(duì)角線交點(diǎn)E的直線垂直于CD 顯然的結(jié)論，不需要掌握18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上 高中競(jìng)賽需要，重要19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有ABCD+ADBC=ACBD 初中競(jìng)賽需要，重要 20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰BDC、CEA、AFB，則DEF是正三角形， 學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)后是顯然的結(jié)論，不需要掌握21、愛(ài)爾可斯定理1：若ABC和三角形都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。 不需要掌握

5、22、愛(ài)爾可斯定理2：若ABC、DEF、GHI都是正三角形，則由三角形ADG、BEH、CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。 不需要掌握23、梅涅勞斯定理：設(shè)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 BPPCCQQAARRB=1 初中競(jìng)賽需要，重要 24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略) 初中競(jìng)賽需要，重要 25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)ABC的A的外角平分線交邊CA于Q、C的平分線交邊AB于R，、B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線。 不用掌握26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和

6、BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線 不用掌握27、塞瓦定理：設(shè)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPCCQQAARRB()=1. 初中競(jìng)賽需要，重要28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中心M 不用掌握 29、塞瓦定理的逆定理：(略) 初中競(jìng)賽需要，重要30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn) 這個(gè)定理用塞瓦定理來(lái)證明將毫無(wú)幾何美感，應(yīng)該用中位

7、線證明才漂亮31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。 不用掌握32、西摩松定理：從ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線) 初中競(jìng)賽的常用定理33、西摩松定理的逆定理：(略) 初中競(jìng)賽的常用定理34、史坦納定理：設(shè)ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過(guò)線段PH的中心。 不用掌握35、史坦納定理的應(yīng)用定理：ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和ABC的垂心H同在一條(與

8、西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于ABC的鏡象線。 不用掌握 36、波朗杰、騰下定理：設(shè)ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2). 不用掌握 37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn) 不用掌握 38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)。 不用掌握39、波朗杰、騰下定理

9、推論3：考查ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn) 不用掌握40、波朗杰、騰下定理推論4：從ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于ABC的西摩松線交于一點(diǎn)。 不用掌41、關(guān)于西摩松線的定理1：ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。 不用掌握42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角

10、形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)。 不用掌握43、卡諾定理：通過(guò)ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。44、奧倍爾定理：通過(guò)ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線 不用掌握45、清宮定理：設(shè)P、Q為ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V

11、、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線 不用掌46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQOP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)) 不用掌握47、朗古來(lái)定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，

12、則四個(gè)垂足在同一條直線上。 不用掌握48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線段的中點(diǎn)九點(diǎn)共圓通常稱這個(gè)圓為九點(diǎn)圓nine-point circle,或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓. 上面已經(jīng)有、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)。 不用掌握50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)。不用掌握51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直

13、線上。這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。 不用掌握52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。 不用掌握53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。 不用掌握54、費(fèi)爾巴赫定理：

14、三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。 不用掌握 55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形。 這是我認(rèn)為的平面幾何中最漂亮最神奇的幾個(gè)定理之一，但不用掌握 56、牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三條共線。這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線。 高中競(jìng)賽中常57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。 不用掌握58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形ABC、DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線。 高中競(jìng)賽中偶爾會(huì)用59、笛沙格定理2：相異平面上