2016年工大共創(chuàng)數(shù)學(xué)三試卷

1、考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心啟用前2016 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué) 三(科目代碼:304) (模擬一)考生注意事項(xiàng)1. 答題前，考生須在答題紙指定位置上填寫考生姓名、報(bào)考和考生編號(hào)。2. 必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。3. 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。4. 考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋回。3數(shù)學(xué)三 (模擬一)得分評(píng)卷人考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的

2、字母填在題后的 括號(hào)里.(1) 設(shè) f (u) 為可導(dǎo)函數(shù)，曲線 y = f (ex ) 的過點(diǎn)(1, 2) ，且它在點(diǎn)(1, 2) 處的切線過點(diǎn)(0, 0) ，那么函數(shù)f (u) 在u = e 處，當(dāng)u 取得增量Du = 0.01時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值增量的線性主部是（）(A) 0.02(B)0.02e(C)- 0.02(D)e-0.02bb(2) 設(shè)f (x)g(x) 在區(qū)間a,b 上可導(dǎo)， 且f (a) = g(a) = 0, f (b) = g(b) = 2 ，且 f ¢¢(x ) < 0 ，g¢¢(x) > 0 ，記 S1= ò

3、a f (x) d x, S2= òa g(x) d x ，則（）.（A） S2 < b - a < S1（C） S1 < S2 < b - a（B） S1 < b - a < S2（D） b - a < S2 < S1(3) 設(shè)函數(shù) z = (1+ ey ) cos x - yey ，則函數(shù) z = f (x, y) （）(A) 無極值(B) 有有限個(gè)極值(C)有無窮多個(gè)極大值(D) 有無窮多個(gè)極小值a+p(4) 積分 I = òaln(3 sin 2的值().（A）是與 a 無關(guān)的負(fù)的常數(shù)（B）是與 a 無關(guān)的正的常數(shù)（C

4、） 恒為零（D）不為常數(shù)(5) 下列矩陣 A1æ 111 öç÷= ç 222 ÷,èøç 333 ÷æ 100 öç÷2A = ç 200 ÷,èøç 000 ÷æ 321 öç÷3A = ç 000 ÷,èøç 000 ÷æ 320 öç÷4A = 

5、31; 001 ÷, 中兩兩相似èøç 000 ÷的是(A)A3, A4(B)A1, A2(C)A1, A3(D)A2, A3(6) 設(shè)組 (I): a1,a2,a3,a4,a5 均為 4 維列， A = (a1,a2,a3,a4,a5 ) ，若 h1 = (-1,1,0,0,0) ，h2 = (0,1,3,1,0)，h3= (1,0,5,1,1)T 是齊次方AX = 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則組(I)的一個(gè)極大無關(guān)組是（）.(A)a1,a2(B)a1,a4(C)a3,a5(D)a1,a3,a4(7) 設(shè)隨量 X 的概率密度函數(shù)為 f (x) ，數(shù)

6、學(xué)期望 E( X ) = 0 ，則（）.+¥+¥+¥+¥(A) ò0f (x)dx = ò0ò0+¥f (-x)dx(B) ò0f (x)dx = -ò0ò0+¥f (-x)dx(C)0xf (f (-x)dx(D)0xf (f (-x)dx(8) 設(shè)隨量 X 不小于零，且分布函數(shù)為 F (x) ，則對(duì) y > 0 時(shí)，正確（）(A)Y =1- X 的分布函數(shù))(B)Y = X 2 的分布函數(shù))(C) Y = aX 的分布函數(shù) FY ( y) = F(ay)(D)Y =

7、 1 的分布函數(shù))X得分評(píng)卷人二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。(9) 設(shè) f ¢(u) = ln(1+ u2 ), g(x) = f ( 2x -1 ，則 g¢(0) =x +1 ) +¥d x(10) 設(shè)點(diǎn)a 滿足等式= 2, n = 1, 2,，則lim a =.nnòax(ln x)n+1n®¥ n(11) 設(shè)函數(shù) f (x, y) 連續(xù)，且 f (x, y) = xyòòx2 + y2 £1f (x, y)dxdy + 2(x2 + y2 ) ，則 f (

8、x, y) = (12) 設(shè)曲線 y = f (x) 過點(diǎn)(0，-1)，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率為 2xln(1+x2)，則 f (x) =.5(13) 已知 D4 =-51134，則 2A11 - 4M21 - 6M41 =(14) 設(shè)隨 量 X ,Y , Z 兩兩不相關(guān)，方差相等且不為零，則 X + Y 與 X + Z 的相 數(shù)為.三、解答題：1523 小題，共 94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(15) (本小題滿分 10 分) 設(shè) f (x) = x3 + ax2 + bx + c ，若點(diǎn)(1, 0) 是曲線 y = f (x) 的拐點(diǎn)，且 x = 2 是函數(shù) f (x

9、) 的極值點(diǎn)，（）常數(shù) a,b, c 的值；（）求函數(shù) f (x) 的單調(diào)性區(qū)間和凹凸性區(qū)間；（）求函數(shù) f (x) 的極值。(16) (本小題滿分 10 分)設(shè)-1 < a < b ，證明不等式： (a + b)ea+b < ae2a + be2b .(17) (本小題滿分 10 分) 設(shè) f (u, v) 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f ¢(u, v) + f ¢(u, v) = sin(u + v)eu+v ，求uvy( x) = e-2xf ( x, x)所滿足的一階微分方程，并求其通解.í0 ,其他î(18) (本小題滿分 10 分)

10、設(shè) f (x) = ìx +1 ,1 £ x £ 3 ，求 I = òòDf ( y +1) f (x + y2 )dxdy ，其中 D 為全平面區(qū)域.(19) (本小題滿分 10 分)將 f (¥展開成 x 的冪級(jí)數(shù)，并求ån=1(-1)n-1 2n -1æ 11 2 öæ a4 0 ö(20) (本小題滿分 11 分)設(shè) A = ç -1 1 0 ÷ , B = ç -1 0 c ÷ ,問 a,b, c 為何值時(shí),矩陣方程 AX = B 有解

11、,有ç÷ç÷ç 10 1 ÷ç 1b 1 ÷解時(shí),求出全部解.èøèø(21) (本小題滿分 11 分)設(shè)二次型 f () = a2 + 8x x+ 2bx x+ 2cx x 矩陣 A 滿足AB = O ，æ 101 öç÷其中 B = ç 000 ÷ ，èøç 101 ÷331 21 32 3(I)求正交變換 x = Qy ，化二次形 f 為，并寫出所用正交變換；(II)矩陣

12、 A 和 B 是否合同.(22) (本小題滿分 11 分)設(shè)( X ,Y ) 在區(qū)域G =(x, y) | 0 < x <1, -1 < y <1 服從均勻分布，試求：(I)概率PX + 2Y ³ 1 ；（II） Z = X -Y 的密度函數(shù) fZ (z) ；（III）方差 D(X + 2Y ) .(23) (本題滿分 11 分)設(shè)某批的一等品率為 1/10，從這批中 400 件，求其中一等品所占比例與 1/10 之差的絕對(duì)值不超過 0.02 的概率.(I)用切比契夫不等式估計(jì)；(II)利用中心極限定理計(jì)算.考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔

13、導(dǎo)中心啟用前2016 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué) 三（科目代碼:304）（模擬二）考生注意事項(xiàng)1. 答題前，考生須在答題紙指定位置上填寫考生姓名、報(bào)考和考生編號(hào)。2. 必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。3. 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。4. 考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋回。4數(shù)學(xué)三（模擬二）得分評(píng)卷人考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的字母填在題后的 括號(hào)里.（1） 函數(shù) f (x) =ln

14、 x1的無窮間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.(A) 1(B)2(C)3(D)4ò（2） 設(shè)n 為正整數(shù)， f (x) = x sinn t d t ，則（ ）。0（A） n 為奇數(shù)是 f (x) 為周期函數(shù)（B） n 為偶數(shù)時(shí) f (x) 為周期函數(shù)（C） f (x) 必為偶函數(shù)（D） f (x) 必為有界函數(shù)ìí（3） 函數(shù) f (x, y) = ïïîxyx2 + y2sin0,1,x2 + y2x2 + y2 ¹ 0x2 + y2 = 0在(0, 0) 處（）.（A） 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不（B）偏導(dǎo)數(shù)但不連續(xù)（C） 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)但不可微

15、（D）可微p（4） 設(shè)在極坐標(biāo)系下二次積分 I = ò 4 dq ò2sinqf (r cosq , r sinq )rdr ，那么在直角坐標(biāo)系下有00I = （ ）1x11+ 1- x2（A） ò0 dxò1- 1-x2f (x, y)dy（B） ò0 dxòxf (x, y)dy1y22 y- y212 y- y2（C） ò0 dyò0 f (x, y)dy + ò1 dxò0f (x, y)dy （D） ò0 dxòyf (x, y)dy（5） 設(shè) A 是一個(gè) n 階矩

16、陣，交換 A 的第i 列和第 j 列后，再交換第i 行和第 j 行得矩陣 B ，則 A, B 之間是（）（A）等價(jià)但不相似（B）相似但不合同（C）相似，合同但不等價(jià)（D）等價(jià)，相似，合同（6） 設(shè) A, B 是 n 階方陣，齊次方程式組 A x = 0 與 B x = 0 有相同的基礎(chǔ)解系x1,x2,x3 ，則在下列方以x1,x2,x3 為基礎(chǔ)解系的方是()(A) ( A+ B )x = 0(B)AB x = 0(C)BA x = 0(D) æ A ö x = 0ç B ÷èøìle-lx , x ³ 01（7）

17、設(shè)隨 量 X f (x) = íî0,x < 0(l > 0) ，且 X 的數(shù)學(xué)期望 E( X ) =，對(duì) X 進(jìn)行2觀察，則第三次觀察件X > 1 第二次出現(xiàn)的概率（）.2(A)2 (1- 1)(B)1- 1 (1- 1)2(C)2 (1- 1)2(D)1 (1- 1)2e2eeeeeee（8） 設(shè)n-1nå是來自總體 X N (m,s 2 ) 的樣本，對(duì)統(tǒng)計(jì)量Y = k( Xi=1i+1- X )2 ，若滿足iE(Y ) = s 2 ，則 k 為（）.(A)1n -11(B)n(C)12(n -1)1(D)2n得分評(píng)卷人二、填空題：914 小

18、題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。xx2（9）設(shè) f (x) = lim(1-+)t ,則曲線 y = f (x) 在 x = 1處的切線方程為.2t ®¥2t2t2（10）. 已知函數(shù) f (x) 滿足等式 xf ¢(x) - f (2 ，且f (2) =0，那么ò0 f (x)dx = （11） 設(shè) f (u) 為連續(xù)函數(shù)，且 x2 + y2 + z2 = ò y f (x - y - t)dt ，那么 z( ¶z + ¶z ) =x¶x¶y（12） 若系數(shù)線性齊次微分方程 y &#

19、162; + ay¢ + by = 0 的通y = (C + C x)ex ，則非齊次方程12y ¢ + ay¢ + by = x 滿足條件 y (0) = 0, y¢(0)0 的 æ 1-1ö（13）若 A =, B = A2 - 3A + 2E ，其中 E 為矩陣，則 B-1 = 23ç÷èø( 14 ) 設(shè)A 與B 是相互兩隨機(jī),且 P(B) = 0.6 , P(B - A) = 0.3,則概率P( A È B) =三、解答題：1523 小題，共 94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證

20、明過程或演算步驟。（15）（本小題滿分 10 分）. (I) 在曲線 y = ex 上找一條切線使得該切線與曲線 y = ex 、y 軸及直線 x = 2圍成的圖形面積最小；()求(I)中的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積（16）（本小題滿分 10 分） 設(shè) y = f (x) 在0,1 上非負(fù)連續(xù)， x0 Î(0,1) ，且在0, x0 上以 f (x0 ) 為高的矩形面積等于函數(shù) f (x) 在x0 ,1 上的平均值。試證明：（點(diǎn)x Î(x0 ,1) 內(nèi)使得 f (x ) = x0 f (x0 )；（）h Î(0,1) 使得(x - x0 ) f &

21、#162;(h) = (x0 -1) f (x0 ) 。（17）（本小題滿分 10 分）計(jì)算二重積分 I = òò x(x + yex2 ) sgn( y - x2 ) ds ，其中 D :1x1，D1sgn(x) =ìï 1,0y,且符號(hào)函數(shù)í 0,ïî-1,x > 0 x = 0 . x < 0（18） （本小題滿分 10 分）設(shè)某廠生產(chǎn)甲、乙兩種，當(dāng)這兩種 的產(chǎn)量分別為 x 和 y （:噸）時(shí)的總 函數(shù)為 R(x, y) = 27x + 42y - x2 - 2xy - 4y2 和總成本函數(shù)為C(x, y)

22、 = 36 +12x + 8y（：萬元），除此以外生產(chǎn)甲種每噸還需支付排污費(fèi)用 1 萬元，生產(chǎn)乙種每噸還需支付排污費(fèi)用 2 萬元.（）在不限制排污費(fèi)用的前提下，兩種的產(chǎn)量各為多少噸時(shí)總利潤最大？最大利潤是多少？（）在限制排污費(fèi)用支出總量為 6 萬元的情況下，這兩種的產(chǎn)量各為多少噸時(shí)總利潤最大？最大利潤是多少？¥(19) （本小題滿分 10 分）設(shè)在區(qū)間np ,(n +1)p 上由曲線 y = e-x sin x 與 x 軸所圍成平面圖形的面積為 an (n = 0,1,2,L) ，（）證明級(jí)數(shù)ånan 收斂；（）并求其和。n =0（20）（本小題滿分 11 分） 設(shè)有組a

23、= (1,1,1, 2)T，a = (3, a + 4, 2a + 5, a + 7)T ，1234a = (4, 6,8,10)T ,a = (2,3, 2a + 3,5)T （I）求組a ，a ，a ，a 的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組；12341234（）令 b(0,1,3, b)T ,若任意的 4 維列 g 均可由a ,a ,a ,a , b 線性表示，求 a,b 的值（21）（本小題滿分 11 分）設(shè) A 為三階方陣， a1,a2,a3 是線性無關(guān)的三維列 組，且 Aa1 = 2a1 ， Aa2 = 3a2 + 2a3 ， Aa3 = 2a2 + 3a3 （I）求 A ；（）證明 A 與對(duì)

24、角陣相似，并求相應(yīng)的相似變換矩陣（22）（本小題滿分 11 分）設(shè)( X ,Y ) 密度函數(shù)為íf (x, y) = ìï 1 +< y < 1, , 求：îï0,其他,（I）邊緣密度函數(shù) fX (x), fY ( y) ；（II）條件密度函數(shù) fY |X ( y | x) ；（III）協(xié)方差COV( X , 2Y +1) ì a,- 1 < x < 0,í（23）（本小題滿分 11 分）設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為 f ( x) = ï bx,0 £ x < 1, ，其中a 是

25、未知參數(shù)，îï 0,其他,對(duì) X 的樣本值為 0.5、-0.1、0.7、 -0.5 、0.8、-0.8 、 -0.2 、 -0.6 .試求（I）參數(shù)a 的矩估計(jì)；（II）參數(shù)a 的最大似然估計(jì).考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心啟用前2016 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué) 三（科目代碼:304）（模擬三）考生注意事項(xiàng)1. 答題前，考生須在答題紙指定位置上填寫考生姓名、報(bào)考和考生編號(hào)。2. 必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。3. 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。4. 考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋回。3數(shù)學(xué)

26、三 (模擬三)得分評(píng)卷人考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的字母填在題后的 括號(hào)里.（1） 設(shè)lim xn 與lim yn 均不，那么下列命題正確的是（）.n®¥n®¥（A） 若lim( xn + yn ) 不，則lim( xn - yn ) 必也不n®¥（B） 若lim( xn + yn )n®¥n®¥，則lim( xn - yn ) 必也n&

27、#174;¥（C） 若lim( xn + yn ) 與lim( xn - yn ) 均不n®¥n®¥（D） 若lim( xn + yn ) 與lim( xn - yn ) 中只要有一個(gè)，另一個(gè)必定不n®¥n®¥（2） 設(shè) f (x) 在(-¥, +¥) 內(nèi)可導(dǎo)， f ¢¢(0) < 0 ，且lim f (x) = 1，則有（ ）。x®0x（A） x ¹ 0 時(shí)恒有 f (x) > x(B)x ¹ 0 時(shí)恒有 f (x) &l

28、t; x(C) x > 0 時(shí) f (x) > x ， x < 0 時(shí) f (x) < x(D) x > 0 時(shí) f (x) < x ， x < 0 時(shí) f (x) > xxtò0 ò0 f (t - u)dt（3） 設(shè)曲線 y = f (x) 與 y = tan 2x 在原點(diǎn)處相切，則極限 I = limx®0x(1- e-2x )= （）1(A) 0(B)61(C)12(D)1¥¥¥（4） 設(shè)級(jí)數(shù)å nan 與ån (an - an-1 ) 收斂，則級(jí)數(shù)å

29、; an （）。n=1n=1n=1（A）收斂（B） 發(fā)散（C）不定（D） 與an 有關(guān)æ a11a12a13 öæ a12+ a13a11a13 öæ0 öç（5） 設(shè) A =aaa÷ç為可逆矩陣， B =a+ aaa÷又 P = ç0 ÷ç212223 ÷ç22232123 ÷1ç÷ç aaa÷ç a+ aaa÷ç1 ÷è313233 ø

30、;è32333133 øèø011000æ 100 öç÷2P = ç 001 ÷æ 100 öç÷3P = ç 010 ÷æ 100 öç÷4P = ç 010 ÷ç 010 ÷ç 0-11 ÷ç 101 ÷èøèøèø242 31 34 1則 B-1 =（

31、）(A)P A-1P(B)A-1P P(C)PP A-1(D)P PA-1（6） 已知 b1 = a1 + 2a2 + 3a3 ，b2 = -a1 +a2 ，b3 = 5a1 + 2a2 + 7a3 則下列結(jié)論正確的是()（A）組 b1 ， b2 ， b3 線性無關(guān)（B）組 b1 ， b2 ， b3 線性相關(guān)（C）僅當(dāng)組a1,a2,a3 線性無關(guān)時(shí)，組 b1 ， b2 ， b3 線性無關(guān)（D）僅當(dāng)組a1,a2,a3 線性相關(guān)時(shí)，組 b1 ， b2 ， b3 線性相關(guān)(7)設(shè)隨量 X 服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù) f (x) 在 x = 1 處有駐點(diǎn)，且 f (1) = 1，則概率PX 

32、9; 0 為（）.(A)1- F(0)(B)1- F()12p(C)F(1)(D)1F() 2pí0,(8)設(shè)隨機(jī)A 和 B 互不相容，且0 < P(A) < 1， 0 < P(B) < 1，令 X = ì1,îA發(fā)生; A不發(fā)生í0,Y = ì1,îB發(fā)生， X 與Y 的相數(shù)為 r ，則（）.B不發(fā)生，(A)r = 0(B)r = 1(C)r < 0(D)r > 0得分評(píng)卷人二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。ex -1 1 （9） lim()sin x =.

33、 。x®0nxp x2(n) （10） 是 f (+ 2) sin，此處 n 為正整數(shù)，那么 f8(2) =。（11） 設(shè)函數(shù) F(x, y) 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) z = z(x, y) 由方程 F ( x , z2 ) = xy2 + e-z 決定，則全y微分 dz =.（12） 設(shè)函數(shù) f (x) 是滿足方程 xf ¢(x) - f (2 ，且有 f (1) = 0 ，則 1 f (x)dx =。ò0æ 100 öç÷（13） 設(shè) 3 階方陣 A 有可逆矩陣 P ，使得 P -1AP = ç 020 &#

34、247; ， A* 為 A 的伴隨矩陣，則èøç 003 ÷P-1A*P =(14)設(shè) X 與Y 相互，且 X U (0,1),P(maxX ,Y > 1) =.2Y E(l) 且Y 的數(shù)學(xué)期望為 1/2，則概率三、解答題：1523 小題，共 94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15) （本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)，且lim(sin x + f (x) = 3 ，求 f ¢(0) 。x®0x2x（16）（本題滿分 10 分） 設(shè) f (x) 在0,1 上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且 f

35、(0) = 0 ，證明： $h Î0,1 使得òf ¢(h) = 2 1 f (x) d x .0xf ( )（17）（本題滿分 10 分） 設(shè)函數(shù) z =x + g(xy, x2 - y),y且函數(shù) f (u) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，g(v, w)具有 連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試求¶2 z¶x¶y考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心（18）（本題滿分 10 分） 設(shè)某出租車公司，預(yù)備賣出公司的汽車，汽車的轉(zhuǎn)讓價(jià)格是時(shí)間t 的函數(shù)- tP(t) = Ce 10 （時(shí)間t 為周），其中C 為汽車的初始價(jià)格，由于該車一直在經(jīng)營， t 周時(shí)

36、利潤的邊際函數(shù)C - t為e 5 ，試求（I）汽車多長時(shí)間賣出時(shí)總利潤達(dá)到最大？最大利潤為多少;(II)此時(shí)車價(jià)是多少元？2n=0¥ n2 +1 n¥(-1)n4n +1（19）（本題滿分 10 分）求冪級(jí)數(shù)åxn=0的收斂域及和函數(shù)且計(jì)算å(n +1)3n 的值（20）（本題滿分 11 分） 已知二次型 f (3) = a2 + 22x3 經(jīng)過正交變換 x = Py后化為 f = -2 y2 + y2 + y2 ，其中 x = (1233)T ， y = ( y , y , y )T 求（I）常數(shù)a ；（II）正交矩陣123P （21）（本題滿分 11

37、 分）設(shè) A 是 n 階方陣，矩陣 B = (a1 a2 a3) ，其中a1,a2,a3 是 n 維列，a1 ¹ 0 ，且滿足 A(a1 a2 a3) = (a1a1 + a2a2 + a3)，證明：（I）齊次線性方Bx = 0 僅有零解；（II） BT B 是正定矩陣，其中 BT 是 B 的轉(zhuǎn)置矩陣（22）（本題滿分 11 分）設(shè) X 的密度函數(shù)為 f (x) = ï Bx,ìA,- 2 < x < 0,í0 £ x < 1, 且 E( X 2 ) = 3 .試求（I）常數(shù)ïî0,其他,4A、B ；（II

38、） Y = X 的概率密度函數(shù) fY (x) ；(III) 方差 D(Y ) .（23）（本題滿分 11 分）設(shè)連續(xù)型總體 X 的分布函數(shù)為 F (x) =ì1- a , x > q ,ïíïîx20,x £ q ,（其中 q > 0 ），且X1, X 為總體 X 的簡單隨機(jī)樣本.試求：（I）常數(shù) a ；（II）參數(shù)q 的極大似然估計(jì)q ；（III）nLE(2n -1)q ) .L考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心啟用前2016 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué) 三（科目代碼:304）（模擬四）考生注

39、意事項(xiàng)1. 答題前，考生須在答題紙指定位置上填寫考生姓名、報(bào)考和考生編號(hào)。2. 必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。3. 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。4. 考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋回。3數(shù)學(xué)三（模擬四）得分評(píng)卷人考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的字母填在題后的 括號(hào)里.ì f (（1） 設(shè) f (x) 在 x = 0 處連續(xù)， g(x) = ï¹ 0, 若 g(

40、x) 在 x = 0 處連續(xù)，則（ ）。íarctan xîï1,x = 0（A） f (0) = 2, f ¢(0) 不（B） f (0) = 2 不能確定 f ¢(0) 是否（C） f (0) = 0, f ¢(0)= 12 1（D） f (0) = 0, f ¢(0)=2+¥- 1 x（2） 若lim(1+ a sin x)ln(1+2x) = òxe 2 d x ，則 a =（）。x®0（A） -3-a3（B） -2（C） -1（D） 0（3） 設(shè)函數(shù) f (x, y) = e-x (a

41、x + b - y2 ) 中常數(shù) a,b 滿足條件（）時(shí)， (-1, 0) 為其極大值點(diǎn)。（A ） a < 0,b = -2a（B）a = 0,b = -2a（C）a > 0,b = 2a（D）a ³ 0,b = 2a（4） 微分方程 y¢¢ + 4y = e-2x +sin 2x 的一個(gè)特解形式是（）（A） Ae-2x + B cos 2x + C sin 2x（C） Ae-2x + x(B cos 2x + C sin 2x)（B） Axe-2x + B cos 2x + C sin 2x（D） Axe-2x + x(B cos 2x + C si

42、n 2x)é 1-11 ù（5） 設(shè) A 為三階非零矩陣，且滿足 AB = O ，其中 B = ê2a 1- a 2a ú ，則（）êúêë a - a a2 - 2úû（A） a = -1, r(A) = 1（B） a ¹ -1, r(A) = 2（C） a = 2, r(A) = 1（D） a ¹ 2,r(A) = 2（6）已知5´ 4 矩陣 A = (a ,a ,a ,a ) ，若h = (3 1-2 1 )T ，h = (0 1 0 1)T 是齊次線性方12

43、3412Ax = 0 的基礎(chǔ)解系，那么下列命題（1） a1,a3 線性無關(guān)（2）a1 可由a2 ,a3 線性表出（3） a3 ,a4 線性無關(guān)（4）秩r (a1,a1, +a2,a3 -a4 ) = 3中正確的是（）.（A） （1）（3）（B） （2）（4）（C） （2）（3）（D） （1）（4）(7) 設(shè)隨量 X 的概率密度函數(shù)為 f (x) ，則隨量 X的概率密度函數(shù)為（）.(A)f1 (x) =f (x) + f (-x) 2(B)f1(x) = f (x) + f (-x)ì f (x) + f (-x) , x > 0,ì f (x) + f (-x), x

44、 > 0,(C)f (x) = ï2(D)f (x) = í1íïî0,x £ 01î0,x £ 0ì 0,x < 1,ï 23(8) 設(shè) X 與Y 相互， X 的分布函數(shù)為 F (x) = í , 1 £ x < 2, 且YE(l)（ l = 1的指數(shù)分布），則ï概率 PXY > 1 =（）.ïî 1,x > 2,(A)1- 13- 1(2e-1 + e 2 )(B)- 12e-1 + e 2(C)1 (2e-1

45、+ e- 2 )13(D)1 (2e3- 1+ -2e 1)得分評(píng)卷人二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。（9） 設(shè) y = y(x) 由方程tan(x2 + y) - ex + xy = 0 確定，且 y Î(- p , p ) 則d y2 2x=0=。（10） 設(shè) f (x) =x + 2 , 則 f (n) (x) =.x2 -1（11） 設(shè)需求函數(shù)Q = Q(P) 為價(jià)格 P 的減函數(shù)，且滿足Q(0) = 10 ，已知需求價(jià)格彈性h =需求價(jià)格函數(shù)為：。P, 則50 - Px2 yt¶2 z（12） 設(shè) z = ò1f

46、 (t, e )dt ，其中 f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則¶x¶y = .æ110ç- 3ö÷（13）設(shè) A = ç1 -1 2- 1÷ ，則方Ax = 0 解空間的一組規(guī)范正交基為.èøç101 - 2÷（14）設(shè) X ,Y 相互同分布 N (0, 4) ，且 X1, X4 是來自 X 的簡單隨機(jī)樣本，且 X 為樣本均值，記 Z =4åi=1( Xi- X )2 ，若統(tǒng)計(jì)量C YZ服從t 分布，則常數(shù)C =.ò-¥三、解答題：1523 小題，共

47、94 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。ï2ì2, x £ 0,æ x2 1 ö x4（15）（本題滿分 10 分）設(shè) f (x) = íp (1+ xîï sin x,)x > 0，求極限limçf (t) d t ÷。x®0 èø（16）（本題滿分 10 分）設(shè) f (x) 在0, a 上可導(dǎo)，且在(0, a) 內(nèi)取得最小值，又f ¢¢(x) £ M ，求證： f ¢(0) +f ¢(a)

48、63; Ma .¶2uxy（17）（本題滿分 10 分）設(shè)u = f (xy) 滿足¶x¶y = (xy +1)e且 f ¢(1) = f (1) = e +1, 求 f (xy) .，其中 f (t) ，當(dāng)t ¹ 0 時(shí)，導(dǎo)數(shù)連續(xù)，（18）（本題滿分 10 分）(I)在曲線 y = ex 上找一條切線使得該切線與曲線 y = ex 、y 軸及直線 x = 2 圍成的圖形面積最小；()求(I)中的圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.（19）（本題滿分 10 分）計(jì)算二重積分 I = òòsin x sin y 

49、15;maxx, yds ，其中 D : 0 £ x £ p , 0 £ y £ p D考研氧氣吧考研有我數(shù)學(xué)沖刺模擬題共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心æ1111 öç123a ÷（20）（本題滿分 11 分） （I）設(shè) A = ç÷，若4 階非零矩陣 B ，使 AB = O ，問：4ç149ç1827a2 ÷a3 ÷èø B 是否可逆？ a 可能取哪些值？（II）已知 3 階矩陣 A 的特征值為1, 2, -3，求 A* + 2E （21）

50、（本題滿分 11 分）設(shè) A 是各行元和均為 0 的三階矩陣，a，b 是線性無關(guān)的三維列，并滿足 Aa = 3b , Ab = 3a ,（I）證明矩陣 A 和對(duì)角矩陣相似； （II）如果a=（0-1 1）T，b =（1 0-1）T ，求矩陣 A ;（III）用配化二次型 xT Ax 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用坐標(biāo)變換。(22)（本小題滿分 11 分）設(shè)隨量T 為在-1,3 上的均勻分布，令X = ì 1, T > 0,Y = ì 1, T > 1,í 0，T £ 0,í 0，T £ 1.îî試求：（I） (

51、X ,Y ) 聯(lián)合分布律；（II） Z = X + Y 的分布律；（III）方差 D( X -Y ) .12n(23) （ 本小題滿分 11 分）設(shè)總體 X N (m,s 2 ) ， X , X (n ³ 2) 是 X 的簡單隨機(jī)樣本，且åX = 1 2n2n i=1nXi 及統(tǒng)計(jì)量Y = åi=1()2 .（I）求 E(Y ) ；（II） m = 0時(shí)，試求 D( X 2 ) .考研氧氣吧數(shù)學(xué)沖刺模擬題考研有我共創(chuàng)（合工大）考研輔導(dǎo)中心啟用前2016 年全國研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué) 三（科目代碼:304）（模擬五）考生注意事項(xiàng)1. 答題前，考生須在答題紙指定位置

52、上填寫考生姓名、報(bào)考和考生編號(hào)。2. 必須書寫在答題紙指定的位置上，寫在其他地方無效。3. 填（書）寫必須使用藍(lán)（黑）色字跡鋼筆、圓珠筆或簽字筆。4. 考試結(jié)束，將答題紙和試題一并裝入試題袋回。3數(shù)學(xué)三（模擬五）考生注意:本試卷共二十三題,滿分 150 分,考試時(shí)間為 3 小時(shí).得分評(píng)卷人一、選擇題：（1）（8）小題,每小題 4 分,共 32 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求,將所選項(xiàng)前的字母填在題后的 括號(hào)里.（1） 設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x = 1 處取得增量Dx 時(shí)相應(yīng)的函數(shù)值增量Dy = Dx + o(Dx) ，且 f (1) = 0 ，ex2則當(dāng) x &#

53、174; 0 時(shí) ò1f (t) d t 是ln(1+ x ) 的（）。4（A）高階無窮?。˙）低階無窮?。–）等價(jià)無窮?。―）同階而非等價(jià)無窮?。?） 下列命題中正確的是（ ）.（A) 設(shè)(x0 , f (x0 ) 是曲線 y = f (x) 的拐點(diǎn)，則 x = x0 一定不是函數(shù) f (x) 的極值點(diǎn)（B) 設(shè) x = x0 是函數(shù) f (x) 的極小值點(diǎn)，則必有 f ¢(x0 ) = 0, f ¢(x0 ) > 0（C) 設(shè) f (x) 在區(qū)間a, b 上可導(dǎo)，且 f ¢(a) f ¢(b) < 0 ，則 f (x) 在區(qū)間a

54、, b 上的最大值與最小值必有一個(gè)在區(qū)間(a, b) 的內(nèi)部取得（D) 設(shè) f (x) 在區(qū)間(a, b) 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn) x0 ，且 x0 是 f (x) 的極小值點(diǎn)，則 f (x0 ) 為 f (x) 在區(qū)間(a,b) 內(nèi)的最小值（3）設(shè) z = f (x, y) 在(1, 1)可微，且lim f (x, y) - f (1,1) + 2x - 3y +1 = 0 ，f (1+ t,1) - f (1,1- 2t)x®1 y®1(x -1)2 + ( y -1)2則極限limt ®0t= （）.(A) 1(B)2(C) 3(D) 4（4）設(shè)平面區(qū)域 D : x

55、2 + y2 £ 1，記I1 = òò(x + y)3ds ,I = òòcos x sin y ds ,I = òòe-1ds ，22-( x2 + y2 )23DDD則有()（A） I1 > I2 > I3 （B） I2 > I1 > I3 （C） I1 > I3 > I2 （D） I2 > I3 > I1 Aa3 = 0 ，其中a1,a2,a3 為 3 維非，且a1,a2 線性無關(guān)，則矩陣 P 不能是（）。(A)(-a1,5a2,a3 )(B)(a2,a1,a3 )(C) (a1 +a2,a2,a3 )(D) (a1,a2,a2 + a3 )（6）設(shè) A 是三階矩陣,x1 = (12-2)T ， x= (2 1-1)T ， x= (1 1t )T 是線性非齊次方23的 Ax = b 解,其中b = (1 3-2)T ,則（）.(A)(C)t = -1 ,必有 r( A) = 1t ¹ -1,必有r( A) = 1(B)(D)t = -1 ,必有r( A) = 2t