平行四邊形有關(guān)的常用輔助線

1、PART A知識(shí)講解六類與平行四邊形有關(guān)的常見(jiàn)輔助線，供借鑒：第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE CF ,請(qǐng)你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已 有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié) DB,DF，設(shè)DB, AC交于點(diǎn)O丁四邊形 ABCD為平行四邊形 AE FC.，四邊形EBFD為平行四邊形AO AE OC FC BFAO OC,DO OB即 OE OFDE圖1圖2第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四

2、邊形 ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC 12, BD 10, AB m,那么m的取值范圍是（）A1 m 11 b2 m 22c10 m 12 d5 m 6解：將線段 DB沿DC方向平移，使得 DB CE ,DC BE ,則有四邊形CDBE為平 行四邊形，.在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m . 12 10 2m 12 10,即 2 2m 22 解得 1 m 11 故選 A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3,四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明

3、：過(guò)A,D分別作AE BC于點(diǎn)E, DF BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F .AC2AE2 CE2AB2BE2 (BC BE)2AB2 BC2 2BE BC22222222BDDF BF(CDCF) (BC CF) CD BC 2BC CF則 AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE.四邊形 ABCD為平行四邊形AB/CD 且 AB CD , AD BC ABC DCF AEB DFC 900ABE DCFBE CF_22_222_2AC BD AB BC CD DA第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4,在正方形ABCD中，E,F

4、分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP AB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) K丁四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 AB CD, CD AD, BAD BCD D 90 1 K 又: D DAK 90, DF AFCDF KAF八八 1八1 AK CD AB . CE -CD,DF -AD . CE DF 22 BCD D 90BCE CDF， 1213 90023 900CPB 900，貝 U KPB 900AP AB第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)

5、上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于 F ,則有AEDs FEC, FABs FEC , AED s FAB第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線例6已知：如右上圖6,在平行四邊形 ABCD中，AN1 八BN,BE -BC,NE3交BD于解：連結(jié)F ,求 BF:BDAC交BD于點(diǎn)O,連ZON四邊形ABCD為平行四邊形OA OC,OBBDOD ANBN一,1 一一ON / BC 且 ON22bcBE2 BF BEBFBO1 -BC 325:.BE :ONBF : BD2:31:5ONBF 2FO 3FO綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對(duì)角線

6、，平移對(duì)角線，延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與 頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形,為證明解決問(wèn)題創(chuàng)造條件。PART B綜合演練一、一般多邊行1、如圖，四邊形 ABCD中，E、F、G、H是四邊形各邊的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGH是平2、某風(fēng)箏廠準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏色不同的布料生產(chǎn)形狀如圖所示的風(fēng)箏，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形 ABCD的中點(diǎn)，其陰影部分用的甲布料，其余部分用乙布料（裁剪兩種布料時(shí)，均不計(jì)余料），若生產(chǎn)這批風(fēng)箏需要甲布料30匹，那么需要乙布料3、提出問(wèn)題：如圖所示，在四邊形ABCD中，P是AD邊上任意一點(diǎn)， PBC與4ABC和 DBC的面積之

7、間有什么關(guān)系？探究問(wèn)題：為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以先從一些簡(jiǎn)單的,（1）當(dāng)AP= 1AD時(shí)（如圖）：21一，一 cAP= - ad , 4ABP 和4ABD 的圖相等，S abp2特殊的情形入手:2sABD 1一 ，-一-1c, PD=AD AP= -AD , CDP 和 CDA 的圖相等，S CDP -S CDA。22S PBCS四邊形 ABCDS ABPS CDP一S四邊形ABCD一S四邊形ABCD=1SS DBC221s21s 21 S1SABD 八 S2四邊形ABCDABCCDAS DBC 2 &9邊形 ABCDS ABC（2）當(dāng) AP= 1 ad 3（3）當(dāng) AP= 1AD 6時(shí)，探

8、求SPBC與S ABC與S DBC之間的關(guān)系，寫出求解過(guò)程;時(shí)，S PBC與S ABC和S DBC之間的關(guān)系式為（4） 一般地,，,一 1當(dāng)AP= AD （ n表不正整數(shù)）時(shí)，探求S PBC與S ABC和S DBC之間的關(guān)系,n寫出求解過(guò)程;問(wèn)題解決:當(dāng) AP= m ADn01時(shí)，S PBC與S ABC和S DBC之間的關(guān)系為nI二、多邊形1、如圖，如果直線 m是多邊形 ABCDE的對(duì)稱軸，其中/ A=130 , Z B=110那么/ BCD的度數(shù)等于（A、40）B、50C、60D、702、一個(gè)零件的形狀如圖所示，按規(guī)定/A應(yīng)等于90 , / B、/ C應(yīng)分別為21和32 ,檢驗(yàn)工人量得/ B

9、DC=148 ,就斷定這個(gè)零件不合格，這是為什么呢?3、王師傅有兩塊板材邊角料，其中一塊是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形板子，另一塊是上底為30cm ,下底為120cm ,高為60cm的直角梯形板子(如圖)，王師傅想將這兩塊板 子裁剪成兩塊全等的矩形板材，他將兩塊板子疊放在一起，使梯形的兩個(gè)直角頂點(diǎn)分別與正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)重合，兩塊板子的重疊部分為五邊形ABCFE圍成的區(qū)域(如圖)，由于受材料紋理的限制，要求裁出的矩形要以點(diǎn)B為一個(gè)頂點(diǎn)。(1)求BC的長(zhǎng)。(2)利用圖求出矩形頂點(diǎn) B所對(duì)的頂點(diǎn)到 BC邊的距離X ( cm)為多少時(shí)，矩形的 面積y(cm2)最大？最大面積是多少？(3)若想使裁出的矩形為

10、正方形，試求出面積最大的正方形的邊長(zhǎng)。三、平行四邊形(矩形、菱形、正方形與其相同)1、如圖，已知 ABC是等邊三角形，D、E分別在BC、AC上，且CD=CE ,連結(jié)DE并延 長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=AE ,連結(jié) AF、BE和CF。(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，用符號(hào)“且”表示，并加以證明；(2)判斷四邊形 ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由;(3)若AB=6 , BD=2DC ,求四邊形 ABEF的面積。2、如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是 AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在DC邊上，且GH= - DC o2若AB=10, BC=12,則圖中陰影部分的面積為 。3、如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD對(duì)角線BD所在直線上兩點(diǎn)，DE=BF ,請(qǐng)你以F 為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中