新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二第四章圓與方程-經(jīng)典例題-[含答案]

1、習(xí)題精選精講圓標(biāo)準(zhǔn)方程已知圓心C(a,b)和半徑r ,即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 心 C(a,b) 和半徑r ,進(jìn)而可解得與圓有關(guān)的任何問題 一、求圓的方程(xa)2(y b)2一，、2,、22 一一已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a) (y b) r ,即得圓例 1 (06卷文)以點(diǎn)(2, 1)為圓心且與直線3x4y0相切的圓的方程為(A) (x (C)(x2)2)(y(y1)1)解已知圓心為(2,(B)(x(D)(x2)2)(y(y1)1)1),且由題意知線心距等于圓半徑，即 d故選(C).點(diǎn)評(píng)：一般先求得圓心和半徑,再代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x a)26 4 5.32 42,2,.、2;所求的圓方程為(x 2)

2、(y 1),.、22 一一(y b) r即得圓的方程.二、位置關(guān)系問題例2 (06卷文)直線x(A) (0-2 1)(C)( '.2 1, 2 1)2解化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21與圓x2 y2(B) (, 2 1, .22ay 0 (a1)0)沒有公共點(diǎn)，則a的取值圍是(y(D)(0, 2 1)、22a) a ,即得圓心C(0,a)和半徑r直線x y 1與已知圓沒有公共點(diǎn)，：線心距d 2a.1 r a平方去分母得a2 2a 1V21 aV21,注意到 a 0點(diǎn)評(píng)：一般通過比較線心距 d與圓半徑 圓相交.三、切線問題:0 a 氏 1,故選(A).r的大小來處理直線與圓的位置關(guān)系：d r線圓相離；

3、d r線圓相切;例 3 (06卷理)過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓x22y 4x(A) y3x或y(C) y3x或y1x31x3(B) y(D) y3x或y3x或y八5八一，2y0相切的直線方程為(21x31x3解 化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x 2)2(y 1)25-，即得圓心C(2, 1)和半徑r設(shè)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程為ykx ,即 kx y0,：線心距d 3 r-k2 1j| ,平方去分母得(3k 1)(k3) 0 ,解得1八、k 3或：所求的切線方程為3y 3x 或 y1x ,故選(A).3點(diǎn)評(píng)：一般通過線心距d與圓半徑r相等和待定系數(shù)法，或切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑來處理切線問題 四、弦長問題例4 (06卷理)設(shè)

4、直線ax y 3解由已知圓(x 1)2 (y 2)20與圓(x 1)2 (y 2)24,即得圓心 C(1,2) 和半徑r4相交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的長為243,則2.線心距dAB 22(v) r( a21 )21(v'3)222,即(a 1)2 a20.點(diǎn)評(píng)：一般在線心距d、弦長AB的一半和圓半徑r所組成的直角三角形中處理弦長問題：d2 ("AB)22五、夾角問題22例5 (06全國卷一文)從圓x 2x y 2 y10外一點(diǎn)P(3,2)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為(A)1(B)3(C)(D) 025222解 已知圓化為(x 1) (y 1)1,即得圓心C(1,

5、1)和半徑r 1. 一 ，2設(shè)由P(3,2)向這個(gè)圓作的兩條切線的夾角為 ,則在切線長、半徑r和PC構(gòu)成的直角三角形中，cos-,2后23cos 2cos 1 一，故選(B).25點(diǎn)評(píng)：處理兩切線夾角問題的方法是：先在切線長、半徑 r和夾角問題.六、圓心角問題例6 (06全國卷二)過點(diǎn)(1, J2)的直線l將圓(x 2)2y222._解 由已知圓(x 2) y 4,即得圓心C(2,0)和半徑rPC所構(gòu)成的直角三角形中求得 一的三角函數(shù)值，再用二倍角公式解決24分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線 l的斜率k 2.設(shè) P(1, V2),則 kPC1、；2 ； PC直線l時(shí)弦最短，從而劣弧所

6、對(duì)的圓心角最小，：直線l的斜率k kPC點(diǎn)評(píng)：一般利用圓心角及其所對(duì)的弧或弦的關(guān)系處理圓心角問題：在同圓中，若圓心角最小則其所對(duì)的弧長與弦長也最短，若弧長與弦長 最短則所對(duì)的圓心角也最小.七、最值問題例7 (06卷文)圓x2 y2 4x 4y 100上的點(diǎn)到直線x y 140的最大距離與最小距離的差是()(A) 30(B) 18(C) 6 , 2(D) 5 - 2解 已知圓化為(x 2)2 (y 2)218,即得圓心C(2,2)和半徑r 3<2 .設(shè)線心距為d ,則圓上的點(diǎn)到直線x y 140的最大距離為d r ,最小距離為d r , . (d r) (d r) 2r6J2 ,故選(C)

7、.點(diǎn)評(píng)：圓上一點(diǎn)到某直線距離的最值問題一般轉(zhuǎn)化為線心距d與圓半徑r的關(guān)系解決：圓上的點(diǎn)到該直線的最大距離為d r ,最小距離為d r.八、綜合問題例8 (06卷理)若圓x2取值圍是()y2 4x 4y 10 0上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l : axby 0的距離為2y2 ,則直線l的傾斜角的r , r 5 ,(A)1，(B) -,-12 412 12解 已知圓化為(x 2)2 (y,圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線©廠，二(d)0，t 6 322)218 ,即得圓心C(2,2)和半徑rl : ax by 0的距離為2亞，d3. 2 .2a 2b一 a2 b2由直線l的斜率ka 代入得 k

8、2 4k 1 0,解得 2 T3 k 2 53,又 tan 一 b12r 2亞 2z,即 a2 4ab b2 0,2 33 , tan 2 <3，.直線 l 的125傾斜角的取值圍是 1 ,故選(B).12'12“圓心半徑線心距”的七字歌得到正確而迅速地解決點(diǎn)評(píng)：處理與圓有關(guān)的任何問題總是先通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而以 圓的方程1.確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件.圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用圍(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2 + (y b)2=r2,其中(a, b)是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑；D ED2 E2 4F(2) 圓的一般方程：x2 + y2+ Dx+Ey

9、 + F = 0 (D2+E2-4F>0),圓心坐標(biāo)為( 一, ),半徑為r=2222 .直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.(1)法一：直線：Ax+By+C = 0;圓：x2+ y2 + Dx + Ey+ F=0.Ax By C 0x2 y2 Dx Ey F7肖元一元二次方程0-判別式0 相交0 相切0 相離(2)法二：直線：Ax + By+C=0;圓：(x a)2+(yb)2=r2,圓心(a, b)到直線的距離為Aa Bb Cd=.A2 B2dr相交dr相切dr相離3 .兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為。1、 。2,半徑分別為ri、 r2,I O1O2 I為圓心距，則兩圓位置關(guān)系

10、如下：1 O1O2 | > ri+ r2兩圓外離；I O1O2 I = ri+r2兩圓外切；I r一21 < I O1O21 < r1十L2兩圓相父；I O1O2 I = I ri-r21兩圓切；0< I O1O2 I < I ri-r2 I 兩圓含.點(diǎn)擊雙基1 .方程 x2+y2 2 (t+3) x+2 (1-4t2) y+16t4+9=0 (tGR)表示圓方程，則 t 的取值圍是A. -1<t<- B.1<t< I。 1 <t<1D.1<t<27271解析：由 D2+E2 4F>0,得 7t2 6t-1&l

11、t;0,即一<t<1.答案：C72.點(diǎn)P (5a+1, 12a)在圓(x1) 2+y2=1的部，則a的取值圍是A. I a I < 1 B.av C. | a | v D. I a I v 13513解析：點(diǎn) P 在圓(x1)2+y2=1 部 (5a+1 1) 2+ (12a) 2< 1|a|<1.答案：d133.已知圓的方程為(x-a) 2+ (y-b) 2=r2 (r>0),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.當(dāng)a2+b2=r2時(shí)，圓必過原點(diǎn)B.當(dāng)a=r時(shí)，圓與y軸相切C.當(dāng)b=r時(shí)，圓與x軸相切D.當(dāng)b<r時(shí)，圓與x軸相交解析：已知圓的圓心坐標(biāo)為(a, b),半

12、徑為r,當(dāng)b<r時(shí)，圓心到x軸的距離為|b|,只有當(dāng)|b|<r時(shí)，才有圓與x軸相交, 故D是錯(cuò)誤的.故選D.答案：D典例剖析【例2】一圓與y軸相切，圓心在直線 x-3y=0±,且直線y=x截圓所得弦長為2”,求此圓的方程.剖析：利用圓的性質(zhì)：半弦、半徑和弦心距構(gòu)成的直角三角形解：因圓與y軸相切，且圓心在直線 x 3y=0上，故設(shè)圓方程為(x3b) 2+ (y-b) 2=9b2又因?yàn)橹本€y=x截圓得弦長為2 J7 ,則有(網(wǎng)_") 2+ ( J7 ) 2=9b2,解得b=+ 1.故所求圓方程為.2(x3) 2+ (y1) 2=9 或(x+3) 2+ (y+1) 2

13、=9.夯實(shí)基礎(chǔ)1. 方程x2+y2+Dx+Ey+F = 0 (D2+E2-4F>0)表示的曲線關(guān)于 x+y=0成軸對(duì)稱圖形，則A.D+E=0B.B.D+F=0C.E+F=0 D. D+E+F=0解析：曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，即圓心在 x+y=0上.答案：A2. (2004年全國口，8)在坐標(biāo)平面，與點(diǎn) A (1,2)距離為1,且與點(diǎn)B (3, 1)距離為2的直線共有A.1條B.2條C.3條D.4條解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求.答案：B3. (2005年黃岡市調(diào)研題)圓 x2+y2+x6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kx- y+4=0對(duì)

14、稱，則k=.1解析：圓心( 1,3)在直線上，代入 kx-y+4=0,得k=2.答案：224. (2004年全國卷W, 16)設(shè)P為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到直線3x 4y10=0的 距離的最小值為 解析：圓心(0, 0)至ij直線3x4y10=0的距離d=L0J=2.再由dr=21=1,知最小距離為1.答案：155. (2005年啟東市調(diào)研題) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q,滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱, (1)求m的值；(2)求直線PQ的方程.而b<r不能保證|b|<r,又滿足OP - OQ =0.解：(1)曲線方程為(x+1)

15、2+ (y-3) 2=9表示圓心為(一1, 3),半徑為3的圓.點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線 x+my+4=0對(duì)稱，：圓心(1,3)在直線上.代入得m=1.(2) .直線PQ與直線y=x+4垂直，:設(shè) P (x1，y。、Q (x2, y2), PQ 方程為 y= x+b.將直線 y=x+b 代入圓方程，得 2x2+2 (4-b) x+b2 6b+1=0.A =4 (4 b)y1 . y2=b2- b2 4X2X ( b2 6b+1) >0,得 2 3,2 <b<2+3 J2 .由韋達(dá)定理得 xI+x2= (4 b), x x2=b6b_12,b2 6b 1(x什x2)+x1 x2

16、=+4b OP - OQ =0,x1x2+y1y2=0,即 b2- 6b+1+4b=0.2解彳導(dǎo)b=1 e (2 3j2, 2+3 J2).：所求的直線方程為y= x+1. 培養(yǎng)能力7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2- 4x+1=0.求(1) _y的最大值和最小值；(2) y x的最小值;X(3) X2+y2的最大值和最小值.解：(1)如圖，方程X2+y2- 4X+1=0表示以點(diǎn)(2, 0)為圓心，以 J3為半徑的圓.設(shè)Y = k,即y=kx,由圓心(2, 0)至I y=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值 .由12k 0| = J3 ,x. k2 1解彳導(dǎo) k2=3.所以

17、kmax= 33 , kmin= <3 .(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b,僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得 |2 0 1b|=/3 ,2即 b=-2± 6Q ,故(y- x) min= -2 6Q .(3)x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC,與圓交于B點(diǎn)，并延長交圓于C',則(x2+y2)max=| OC ' I =2+J3,(x2+y2)min= | OB |=2- <3 .8.(文)求過兩點(diǎn)A (1, 4)、B (3,2),且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)Mi(2, 3), M

18、2(2,4)與圓的位置關(guān)系.解：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求彳I圓心坐標(biāo)和圓的半徑即可4 2因?yàn)閳A過A、B兩點(diǎn)，所以圓心在線段 AB的垂直平分線上.由kAB= 1, AB的中點(diǎn)為(2, 3),1 3故AB的垂直平分線的方程為 y-3=x-2,即xy+1=0.又圓心在直線y=0上，因此圓心坐標(biāo)是方程組lx y+1=0,dy=0的解，即圓心坐標(biāo)為(一1,0).&彳至f=& 1 1)2 (0 4)2 =J20,所以得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1) 2+y2=20.因?yàn)镸1到圓心C ( 1 , 0)的距離為J(2 1)2(3 0)2 = J18 , |M1C|<r ,所以M1在圓C ;

19、而點(diǎn)M2到圓心C的距離|M2c|=/(2 1)2 (4 0)2 =J25> J20 ,所以 M2在圓 C 外.,一22_22一_一一 ._.一 一“求經(jīng)過兩圓x y 6x4 0和xy6y280的交點(diǎn)，并且圓心在直線x y 4 0上的圓的方程?！蓖瑢W(xué)們普遍使用下面兩種方法求解：方法一：先求出兩已知圓交點(diǎn)a11,3, A26, 2，再設(shè)圓心坐標(biāo)為B(b4,b),根據(jù)ABA2B r ,可求出圓心坐標(biāo)及半徑r,于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點(diǎn)A1,3, A26, 2 ,再設(shè)所求圓的方程為：x2 y2 Dx Ey F0,其圓心為 W , 3 ,代入x y 4 0 ,再將Ai,A2兩點(diǎn)

20、坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，可得三個(gè)關(guān)于D,E,F的三元一次方程組，求出 D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點(diǎn)的圓系”的方法求解，可以更加方便。經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系設(shè)圓C1與C2的方程為：C1: x2 y2 D1x E1y F1 022C2: x yD2x E2 y F2 0.并且兩圓相交于兩點(diǎn)。引進(jìn)一個(gè)參數(shù)，并令：22_22x yD1xE1yF1 +(x yD2xE2 yF2)=0其中 -1。引進(jìn)兩個(gè)參數(shù) 1/221 (x yD1xE1yF1)+不論參數(shù)取何值，方程與中的222 (x yD2x E2y F2) =0 其中 1 + 2 0x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的系數(shù)相

21、等，方程沒有 xy項(xiàng)，而且兩已知圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程與，所以與都是經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系，但是與稍有不同：(1)當(dāng) =0時(shí)，方程的曲線就是圓 C1；不論 為何值，方程的曲線都不會(huì)是圓C2。所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的一切圓，包括圓C1在，但不包括圓C2。1 =0時(shí)，方程的曲線就是圓 C2；當(dāng)2=0時(shí)，方程的曲線就是圓C1和圓C2在。Clo所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的一切圓，包括圓下面應(yīng)用圓系來解本文前面的問題:設(shè)經(jīng)過已知兩圓的交點(diǎn)的圓的方程為:22x y 6x22(x y6y28) 0.(-1)則其圓心坐標(biāo)為所求圓的圓心在直線x0上：+ 4=01解得=-7所求圓的方程為：x2下

22、面再舉兩例說明圓系的應(yīng)用2例1.求經(jīng)過兩已知圓：x6x4x4 7(6y 28)-20即：x7y324y0的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。解：設(shè)經(jīng)過兩已知圓交點(diǎn)的圓系的方程為:22x y 4x6其圓心的橫坐標(biāo)為:(x222一y 4y 6)-1)所求圓的方程為:4x112-(x34y6)6x 2y例2. 設(shè)圓方程為:(求證:4)x2 (4)y2(24)x(1240) y 48164其中證明:不論 為何值，所給圓必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)。、一,， 2把所給方程寫為：4(x2一，2y x 10y 41) (x2x12y48) 0這是經(jīng)過以下兩個(gè)圓的交點(diǎn)的圓系的方程:2x2x2y2yx 10y2x 12y41

23、48所以，不論 為何值，所給圓必經(jīng)過這兩個(gè)圓的兩個(gè)交點(diǎn)0直線與圓的位置關(guān)系二、例題選析例1：求由下列條件所決定圓2y4的圓的切線方程;(1)經(jīng)過點(diǎn) P«3,1)， 經(jīng)過點(diǎn)Q(3,0),斜率為1解：(1)32 02設(shè)切線方程為y(V3)2 124 .點(diǎn)P(J3,1)在圓上，故所求切線方程為4 :點(diǎn)Q在圓外。k(x 3)即 kx y 3k 0<3x y 4。直線與圓相切,:圓心到直線的距離等于半徑，：3klL 21 k25、5;所求切線方程為(3)設(shè)圓的切線方程為(2b)2 4;所求切線方程為x2<15(x 3)。5y x b,代入圓的方程。2(b2 4) 0 ,解得 by

24、2 近 0。整理得，2x22v12。2bx.2b 40 , 直線與圓相切判別式法求切線方程適用圓錐曲線，當(dāng)然對(duì)于圓也適用。小結(jié)：利用圓心到切線的距離等于半徑是解決圓的切線問題的常用方法。22例2：已知點(diǎn)P(X0, yo)在圓x y Dx Ey F0的外部，過P作圓的切線，切點(diǎn)為 M ,求證1 _22 Z Z Z-PM | Jxo yo Dxo Ey。F。證明：如圖7-53-1 ,圓心C( _D E)2 ' 2半徑CM 11D2 E2 4F , 2- IDT2E1CPI /X0 萬)(yo -)由勾股定理得2 2222PM | jCP| CM22/D2/E2D2 E24F(X02)(y0

25、2)4x2 y： Dxo Eyo F小結(jié)：(1)此題的證明，給出了切線長公式，即將圓外一點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的一般方程左端，再取算術(shù)平方根即為切線長。 - - - - -222以CP為直徑的圓與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，則M、N為切點(diǎn)。若圓C的方程為x y r ,則兩切點(diǎn)連線所在的直線方程為2XoX y°y r。例3：從圓外一點(diǎn)P(a,b)向圓x2 y2 r2引割線，交該圓于 A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)軌跡方程。解：如圖7-53-2 ,設(shè)AB的中點(diǎn)M (x, y),連接 OM , OM (x,y), PMOM pmOM PM(x a,y b),0,即(x, y)(x x(x a) 22x ya

26、, yy(yaxb)b) by000，(x r)小結(jié)：此題用向量法求得軌跡方程，顯得簡(jiǎn)明快捷。讀者可用一般方法求軌跡方程，即設(shè)出割線方程，和圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理建立中點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)方程，繼而求得普通方程。還可用兩直線垂直的充要條件，但必須討論斜率存在與不存在兩種情況。都比向量法要麻煩。備選例題：22例 4 ：已知對(duì)于圓 x ( y 1)1 上任意一點(diǎn) P (x, y ) ，不等式 x y m 0 恒成立，數(shù) m 的取值圍。解一：彳直線l ： y x,如圖：7-53-3向下平移與圓相切和相離時(shí)有x y m 0恒成立, 由點(diǎn)到直線的距離公式m軸對(duì)稱軸對(duì)稱是解析幾何的一個(gè)重要容，利用它不僅可以解決

27、點(diǎn)、線、曲線等關(guān)于直線的對(duì)稱問題，而且還可以解決諸如最值、光線反射、角 平分線等問題，并且常得到意想不到的效果。本文將以數(shù)例來談?wù)勊膽?yīng)用。例1、已知點(diǎn)A(4,1) , B(0,4),在直線L: y=3x-1上找一點(diǎn)P,求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)分析：本題的常規(guī)方法是：(1)設(shè)點(diǎn)(2)列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式(3)求解。但本題若這樣做，則就會(huì)走入死胡同。若巧妙利用軸對(duì)稱的知識(shí)則可以輕松解決。解：如圖，設(shè)點(diǎn)C(x,y)是點(diǎn)B關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，則由1.;直線BC的萬程為：y x 4,將其與直線y=3x-1聯(lián)3中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 C (3,3)。顯然：|PA|-|PB| =|PA|-

28、 |PC|0|AC|,當(dāng)且僅當(dāng) A C、P 三點(diǎn)直線AC方程為：2x y 90,與L方程聯(lián)立解得P的坐例2、光線由點(diǎn) C (3, 3)出發(fā)射到直線 L: y=3x-1上，已知 求反射光線方程。解：設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)，則由光線反射的知 所求的反射光線的方程即為直線 AB所在的直線方程。由例1知點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)為B (0,4),3故直線 AB的萬程易求得為： y -x 4。它即為反射光線4例3、已知4ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，/R /C的平分線x y 10 ,求bc所在的直線方程。分析：本題的常規(guī)思路是利用 L1到L2的角的有關(guān)知識(shí)解決問 線的有關(guān)性質(zhì)，則可簡(jiǎn)捷求解。解：設(shè)/ B

29、、/C的平分線分別為Li、L2,則由角平分線的知識(shí)可kl3,得：kBc ,3.一 3 7-立，解得：D，其中D為BC2 2共線時(shí)，|PA|-|PB|最大?？汕蟮茫簶?biāo)為(2,5 )。其被直線L反射后經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),識(shí)易知：點(diǎn) B在反射光線上，故BC關(guān)于L2對(duì)稱，故點(diǎn)A關(guān)于Li、L2的對(duì)稱點(diǎn)A1、A2都應(yīng)該在直線BC上，故BC所在的直線方程即為方程。的分別方程為x 2y 0和題，但較繁，若能注意到角平分知：AB與CB關(guān)于L1對(duì)稱,AC與 AA所在的直線方程。198利用對(duì)稱性可求得：A1( -), a2( 3,0)(過程略)5 ' 5于是bc方程可求得為：4x 17y 120直線和圓1

30、.自點(diǎn)(3, 3)發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓 x2y2 4x 4y 7 0相切，求光線L所在直線方程.解：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x - 2)2+(y -2)2=1 ,它關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程是(x -2)2+(y+ 2)2=1o設(shè)光線L所在直線方程是：y-3 = k(x +3)o15k 51由題設(shè)知對(duì)稱圓的圓心 C' (2, 2)到這條直線的距離等于1,即d | 1 ,1k2整理得12k2 25k 12 0,解彳導(dǎo)k 3或k 4 .故所求的直線方程是y 3-(x 3),或y 3-(x 3),4343即 3x+ 4y-3 = 0,或 4x + 3y + 3=0

31、.,一222 .已知圓C： x y 2x 4y 4 0,是否存在斜率為1的直線l,使以L被圓C截得的弦ab為直徑的圓過原點(diǎn)，若存在求出 直線L的方程，若不存在說明理由.(14分).解：圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x 1)2 (y 2)2 32 假設(shè)存在以AB為直徑的圓M,圓心M的坐標(biāo)為(a, b)由于 CM J_ L , 1- kcM kL= 11- kcM = b 21,即 a+b+1=0 ,得 b= a 1直線 L的方程為 yb=x ,即 x y+b a=02MB CB CM 9 (b a 3)，OM|a2 b22.9 (b a 3)a2 b2 把代入得2CM= |b a 3;以AB為直徑的圓2

32、2a2 a 3 0，：a |或a 1M過原點(diǎn),MA MB OM當(dāng)a 3時(shí)b 勺此時(shí)直線L的方程為：x- y 4=0;當(dāng)a1,時(shí)b 0此時(shí)直線L的方程為：x-y+1=02，2，故這樣的直線L是存在的，方程為x y4=0或x y+1=0.23 . (12分)求過點(diǎn) P (6, -4)且被圓xy220截得長為6&的弦所在的直線方程.解：設(shè)弦所在的直線方程為 y 4 k(x6),即 kx y 6k則圓心(0, 0)到此直線的距離為H 16k 4|.d 1 k2因?yàn)閳A的半弦長、半徑、弦心距恰好構(gòu)成RtA,所以(16L4)2 (3百)2 20 1 k由止匕解得k 1或k 1 .17代入得切線方程

33、工x y 6(2) 4 0或 1717x y 6 ( 1) 4 0,即 7x 17y 26 0或x y 2. ,一.2一 24. (12分)已知圓C: x 1 y 225及直線l : 2m 1 x0.m 1 y 7m 4. m R(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù) 直線l與圓C恒相交；(2)求直線l與圓C所截得的弦長的最短長度及此時(shí)直線l的方程.解:(1)直線方程l: 2m 1 x m 1 y 7m 4,可以改寫為 m 2x y 7x y 4 0,所以直線必經(jīng)過直線一2x y 7 0, 2x y 7 0和x y 4 0的交點(diǎn).由萬程組解得x y 4 033,即兩直線的交點(diǎn)為1A(3,1)又因?yàn)辄c(diǎn)A

34、3,1與圓心C1,2的距離dJ5 5,所以該點(diǎn)在C ,故不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒相交.連接AC，過A作AC的垂線，此時(shí)的直線與圓C相交于B、D . BD為直線被圓所截得的最短弦長.此時(shí)，AC J5, BC 5,所以BD 2,25 5 4痣.即最短弦長為4 J5 .又直線AC的斜率kAC1,所以直線BD的斜率為2.此時(shí)直線方程為：y 1 2x 3,即2x y 5 0.5 (12分)已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y 3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，數(shù)m的值.22解：由 x y X 6y m 0x 2y 3 025y 20y 12 m又 OP_LOQ,：

35、x1x2+y 1y2=0，而 x1 x2=9 6(y1+y2)+4y1 y2=y V2 4012 mV1V254m 2754m 27 12 m 八./曰.0解得 m=3.556.已知圓 C: (x+4) 2+y2=4 和點(diǎn) A(-2 也值？若為定值，求出/ MAN勺弧度數(shù);m 設(shè)圓D的方程為x2 (y b)20),圓D的圓心在若不為定值，說明理由y軸上移動(dòng)，且恒與圓 C外切，設(shè)圓D與y軸交于點(diǎn) M N. /MAN否為定因?yàn)閳AD與圓C外切，所以2r2(r 0),那么 M(0,b r), N(0,b r).16 b2 b2 r2 4r 12.又直線MA, NA的斜率分別為kMAb r .一,kMB

36、2 3b r2 ”3tan MANb r b r2 3 2 34 . 3rb r b r 12 b2 r22x3 2 34.3r4rMAN 一.為定值3227. （14分）已知圓x y 半徑長.x 6y m 0和直線x 2y 3 0交于p、Q兩點(diǎn)，且opoq（o為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及解：將x 3 2 y代入方程x2設(shè)P x/q x2, y2 ，則2x 6y m 0,得 5y 20y 12 m 0 .m 12y1，y2滿足條件：y y24,OP±OQ,x1x2 y1 y20,而 x132y1，x23 2y2,x1x26 y1V24y1y2.,1m 3,此時(shí)0,圓心坐標(biāo)為（一一

37、28. （14分）求圓心'在直線 x y 0上，且過兩圓3）,半徑r2y 2x 10y24 02x 2y 8 0交點(diǎn)的圓的方程.解法一：（利用圓心到兩交點(diǎn)的距離相等求圓心）將兩圓的方程聯(lián)立得方程組2x2xy2 2x 10y 24y2 2x 2y 8解這個(gè)方程組求得兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)0A (-4, 0), B (0, 2).因所求圓心在直線 x y 0上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為 （x, x）,則它到上面的兩上交點(diǎn)(4, 0)和(0, 2)即 4x 12, x又 r ( 4 3)2 32的距離相等,3, y而，故有 （4 x）2 （0 x）2x 3 ,從而圓心坐標(biāo)是（故所求圓的方程為(x3)2x2

38、(2 x)2，3,(y3).3)2 10 .解法二：（利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程）同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo) A （4, 0）, B （0, 2）,弦AB它與直線x y 0交點(diǎn)（一3, 3）2,故所求圓的方程為（x 3） （y 解法三：（用待定系數(shù)法求圓的方程）就是圓心，又半徑3)2同解法一求得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)所求圓的方程為(4程組 a2a)(3b的中垂線為阮，2x0,(xb2b)2a)22r2rA (- 4(y0)b)2故所求圓的方程為（xB （0, 2）.2r2,因兩點(diǎn)在此圓上,r_2_ 23) (y 3)且圓心在0上，所以得方3，,10解法四：（用“圓系”方法求圓的方程.過后想想為什么

39、?設(shè)所求圓的方程為x22x 10y 24)(x22y 2x2y8)1)，即x2y22(11)x2(51-y因圓心在直線0上，所以8(315可知圓心坐標(biāo)為（0,解得2.2代人所設(shè)方程并化簡(jiǎn)，求圓的方程x2 y2 6x6y9. （12分）已知一個(gè)圓截y軸所得的弦為2,被x軸分成的兩段弧長的比為 圓心到直線l: x2y = 0的距離最小時(shí)，求圓的方程.3 ： 1 . （1）設(shè)圓心為（ab）,數(shù)a, b滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)設(shè)圓心P （a, b）,半徑為r,（2）點(diǎn)P到直線x2y=0的距離所以黑a2+1,所以所以（x- 1） 2+（y-1）a= 1b= 1則1b|=左，, _|a-2b|d二也或a一

40、b=2b2= r2.又 |a|2+1=r2,所以a2+ 1 = r2,所以 2b2 = a2+ 1;5d2 = a2 4ab+ 4b2>a2+ 4b2 2 (a2+b2) =2b2a2= 1.1,1.2 = 2 或(x+ 1) 2+(y+1) 2=2.10 已知圓c與圓x2y2 2x 0相外切，并且與直線x J3y 0相切于點(diǎn)Q（3, J3）,求圓C的方程設(shè)圓C的圓心為（a, b）,b -,3311)2b2a <3b4成a 00 X b 4.3所以圓C的方程為11.( 1997全國文,(x25)4)24或x2(y 4,. 3)2 36已知圓滿足:截 y軸所得弦長為2;被x軸分成兩段

41、圓弧，其弧長的比為 3： 1;圓心到直線l:x 2y=0的距5離為"，求該圓的方程.(yb) 2=r2.令 x=0,得 y2 2by+b2+a2 r2=0.5.解：設(shè)圓的方程為(x-a) 2+|y1 y2|=v1(y1 y2)24yly22vr2 a2 =2,得 r2=a2+1令 y=o,得 x22ax+a2+b2 r2=0,X1-x2|=%/(X1x2)2又因?yàn)镻 (a, b)到直線4x1x22 r2 b25x-2y=0的距離為上，得542r ，得 r2=2b2d=|a 2b|.5由、，得更即 a2b=±1.52b2 a2=1綜上可得2b2a 2b 1;1,或 2b 2

42、；a 2b1解得1所求圓的方程為(x+1) 2+ (y+1)2=2 或(x1) 2+ (y1)1或12=2.1于是 r2=2b2=2.112. (1997全國理，25)設(shè)圓滿足：(1)截y軸所得弦長為2; (2)被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為 有圓中，求圓心到直線l : x2y=0的距離最小的圓的方程.3 ： 1 .在滿足條件(1)、(2)的所.解：設(shè)所求圓的圓心為 P (a, b),半徑為r,則P到x軸、y軸的距離分別為|b|、|a|. 由題設(shè)圓P截x軸所得劣弧所又圓心角為 90。，圓P截x軸所得弦長為 三r,故r2 又圓P截y軸所得弦長為2,所以有r2=a2+1,從而有2b2a2=1又點(diǎn)

43、P (a, b)到直線x2y=0距離為d= 1a_ ,5所以 5d2= |a2b|2= a2+ 4b2 4ab >a2+ 4b2 2 (a2 + b2) = 2b2 a2= 1當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí) 5d2=1,從而d取得最小值，2b2,a b由此有 c c 222b a于是所求圓的方程為(a解方程得1bx 1) 2+(y 1)1或12= 2或1由于 r2=2b2,知 r= J2 ,113. (2002 文，16)圓 x2+y2- 2x2y+1 =0 上的動(dòng)點(diǎn).答案：2(x+ 1) 2+(y+ 1) 2 = 2Q到直線3x + 4y + 8 = 0距離的最小值為解析：圓心到直

44、線的距離 d= 134-8|=3：動(dòng)點(diǎn)Q到直線距離的最小值為 d-r=3-1 = 25經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系及應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第82頁有這樣一道題:22求經(jīng)過兩圓x y6x 4 022和x y 6y 28 0的交點(diǎn)，并且圓心在直線方法一：先求出兩已知圓交點(diǎn) A 1,3 , A2 半徑r,于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點(diǎn) A1 1,3 , A240上的圓的方程。”同學(xué)們普遍使用下面兩種方法求解:6,6,2 ,再設(shè)圓心坐標(biāo)為B(b 4,b),根據(jù)A1BA,B r ,可求出圓心坐標(biāo)及再設(shè)所求圓的方程為：x2 y2 Dx Ey F 0,其圓心為, 1 ,代入x y 40 ,再

45、將Ai,A2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，可得三個(gè)關(guān)于 D,E,F的三元一次方程組，求出 D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點(diǎn)的圓系”的方法求解，可以更加方便。弦長例例題】已知直線l : x+2y-2=0與圓C : x2+y2=2相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長 AB.【思考與分析】一條直線和圓相交，直線被圓所截得部分的長稱為弦長.下面我們將采用兩種方法來求出弦長AB.解法一：設(shè)A (x1，y1)、B (x2, y2),則A、B坐標(biāo)即方程組的解，從方程組中消去x可得：5y2-8y+2=0,又 A、B 在直線 l : x+2y-2=0 上，即 xi+2yi-2=0, x2

46、+2y2-2=0, A解法二：作 CMLAB于M , M為AB中點(diǎn)，在 RtACMA中，I AM I = I AB I , I CA I =, I CM I為原點(diǎn)到直線l : x+2y-2=0的距離， 即 I CM I =,所以 |/E |二2|HM |-CH M 兄丫冬二堂苧【小結(jié)】 解法一給出了已知一條直線與一條曲線相交于A、B兩點(diǎn)，求I AB I的一般辦法，設(shè)已知直線為 l ： y=kx+b,與已知曲線C的交點(diǎn)為 A (xi, yi)、B (x2, y2),則有 yi=kx i+b, y2=kx2+b ,即 yi-y2=k (xi-x2),AB=7丘 1/)"卜可岑Lt2y =

47、711$.同理可得m M R I = V可A = y%（ai.）4G力8這兩個(gè)公式一般稱為直線與曲線相交所得線段長公式，顯然這個(gè)公式只與已知直線的斜率k及交點(diǎn)的坐標(biāo)(xi, yi)、(x2, y2)有關(guān)，而與曲線C本身是什么曲線無關(guān)，因此這個(gè)公式在以后的學(xué)習(xí)中會(huì)得到普遍應(yīng)用解法二針對(duì)圓本身的特點(diǎn)給出了簡(jiǎn)單的解法，由于解析幾何本身解決的是幾何圖形的問題，因此對(duì)于圖形本身的特點(diǎn)給予充分的挖掘和 運(yùn)用(例如凡有關(guān)圓的弦的問題，應(yīng)該注意弦心距)往往會(huì)找到解題的捷徑 圓的方程例析.求圓心坐標(biāo)和半徑【例U 求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑：(1) x2+y2-x=0; (2) x2+y2+2ax=0 (a，0;

48、 (3) x2+y2+2ayi=0.【思考與分析】我們先配方得標(biāo)準(zhǔn)方程，然后寫出圓心坐標(biāo)及半徑.解：(i)配方:圓心為半徑為r=.(2)配方得(x+a) 2+y2=a2,圓心為(-a, 0),半徑為r=(注意：這里字母 a不知道正負(fù)，而半徑為正值，所以要加絕對(duì)值)(3)配方得 x2+ (y+a) 2=i+a2,圓心為(0, -a),半徑為r=【拓展】 討論方程x2+y2+2ay+i=0 (aG R)表示曲線的形狀.解：配方得 x2+ (y+a) 2=a2-i,當(dāng)a<-i或a>i時(shí)，此方程表示的曲線是圓心為(0, -a),半徑為r=的圓；當(dāng)a=當(dāng)時(shí)，此方程表示的曲線是一個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為(

49、0, -a);當(dāng)-i<a<i時(shí)，此方程不表示任何曲線.2 .求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】 已知一個(gè)圓經(jīng)過兩點(diǎn) A (2, 3)和B (2, 5),且圓心在直線l: x2y3=0上，求此圓的方程.【思考與分析】求圓的方程，需要確定圓心和半徑，我們可以先設(shè)定圓心的坐標(biāo)，再利用它到 A、B兩點(diǎn)的距離相等來確定，從而求得圓的方程.解： 設(shè)點(diǎn)C為圓心，丁 點(diǎn)C在直線l: x 2y3 = 0上，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3, a).又;該圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，：|CA|=|CB|.解彳導(dǎo)a= 2,圓心坐標(biāo)為C ( i, 2),半徑r =.故所求圓的方程為(x+i) 2+ (y+2) 2=i0.3 .求圓的

50、一般方程【例3】A ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A ( i, 5)、B (2, 2)、C (5, 5),求其外接圓的方程.【思考與分析】 本題與圓心坐標(biāo)和半徑?jīng)]有關(guān)系，我們選用圓的一般式方程即可.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在其外接圓上，所以可以聯(lián)立方程組，從而求得圓的方程.解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2 + Dx + Ey+F=0,由題意得方程組解彳1 D = 4, E= 2, F=-20.A ABC 的外接圓方程為 x2 + y2- 4x-2y-20=0.【小結(jié)】 通過這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們要掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，能根據(jù)圓心坐標(biāo)、半徑熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程熟練地 求出它的圓心和半徑；掌握

51、圓的一般方程及圓的一般方程的特點(diǎn)，能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求出圓心和半徑 如何確定圓的方程已知兩點(diǎn)Pi (4, 9)、P2 (6, 3),求以P1P2為直徑的圓的方程.【思考與分析】 根據(jù)已知條件，我們需要求出圓的圓心位置，又由點(diǎn)PiP2的坐標(biāo)已知，且 PiP2為所求圓的直徑，所以圓的半徑很容易求出，這是常規(guī)的解法，如下面解法i所示，另外還有一些其它的解法，我們大家一起來欣賞：解法i:設(shè)圓心為C (a, b)、半徑為r.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得 a= =5, b=6.C (5, 6),再由兩點(diǎn)間距離公式，得 所求的圓的方程為(x5) 2十(y-6) 2= 10.解法2:設(shè)P (x, V)是圓上任意一點(diǎn)，且圓的直徑的兩端點(diǎn)為P1 (4, 9)、P2 (6, 3), 圓的方程為(x-4) (x-