一元二次方程韋達(dá)定理應(yīng)用

1、一元二次方程韋達(dá)定理應(yīng)用一.選擇題（共16小題）1 .若方程x2- （m2-4） x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則 m等于（）A. - 2 B. 2 C. ±2 D. 42,若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1,則另一個根為（）A. - 4 B. 2 C. 4D. - 33 .設(shè)a, b是方程x2+x-2017=0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A. 2014B. 2015C, 2016 D. 20174 . 一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a>0, b<0, c<0,則這個方程根的情況是（ ）A.有兩個正根B.有兩個負(fù)根C.有一正根一負(fù)根且正

2、根絕對值大D.有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對值大5.已知m、n是方程x2+3x 2=0的兩個實(shí)數(shù)根，貝U m2+4m+n+2mn的值為（）A. 1B. 3 C. - 5 D. - 96,已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx- 8=0的一個實(shí)數(shù)根為2,則另一實(shí)數(shù)根及 m的值分別為（）A. 4, - 2B.- 4,- 2C.4, 2D.-4,27. 一元二次方程x2+x-1=0的兩根分別為x1, x2,則1 1 =（）A. ： B. 1C.二 D.二8.關(guān)于x的方程x2+2 （k+2） x+k2=0的兩實(shí)根之和大于-4,則k的取值范圍是 （ ）A. k>- 1 B. k<0C. - 1<

3、k<0 D. - 1<k<09,已知方程x2 - 2 （m2 - 1） x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則m的值是（）A. m=± 1 B. m=-1 C. m=1 D, m=010 .已知a、b是一元二次方程x2-3x-2=0的兩根，那么上的值為（）A.B. 1-C.D.11 .已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,則另一個根為（A. 5B. - 1 C. 2D. - 512 .已知實(shí)數(shù)X1 , X2滿足Xi+X2=7, XiX2=12,則以X1, X2為根的一元二次方程是( )A. X2- 7x+12=0 B x2+7x+12=0 C, x2+7x

4、- 12=0 D. x2-7x- 12=013 .設(shè)a、b是方程x2+x-2014=0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為()A. 2014B, 2015C, 2012 D, 201314 .關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于y的一 元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正， 給出三個結(jié)論：這 兩個方程的根都負(fù)根；（m- 1） 2+ （n-1） 2>2;-1 02m-2n01,其中 正確結(jié)論的個數(shù)是（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個15 .（非課改）已知a, B是關(guān)于x的一元二次方程x2+ （2m+3） x+m2=0的兩個

5、 不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足3+3二-1,則m的值是（）A. 3B. 1C. 3 或-1 D. - 3 或 116 .設(shè)a, b是方程X2+x-2011=0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為（）A. 2009B. 2010C, 2011 D, 2012二.填空題（共30小題）17 .已知：一元二次方程x2- 6x+c=0有一個根為2,則另一根為.18 . 一元二次方程x2+x- 2=0的兩根之積是.19 .若a、B是一元二次方程x2+2x- 6=0的兩根，則02+伊=.20 . 一元二次方程 x2+mx+2m=0的兩個實(shí)根分別為Xi , X2,若xi+X2=1 ,則X1X2=21 .已知m、n是

6、關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個解，若（m-1） （n -1） =-6,則a的值為.22 .某學(xué)生在解一元二次方程x2-2x=0時，只得出一個根是2,則被他漏掉的另 一個根是x=.23 .已知a, b是方程x2-x-3=0的兩個根，則代數(shù)式a2+b+3的值為.24 .已知關(guān)于x的方程x22ax+a2 2a+2=0的兩個實(shí)數(shù)根xi, X2,滿足xi2+x22=2, 則a的值是.25 .如果方程(x- 1) (x2-2x+k) =0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是.26 .方程x2 3x+1=0中的兩根分另I為a、b,則代數(shù)式a2-4a-b的值為.27 .已知

7、a+b=3, ab=- 7,則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為.28 .已知xi, x2是關(guān)于x的方程x2+nx+n-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，且xi+x2=- 2,則 xix2=.29 .已知實(shí)數(shù) awb,且滿足(a+1)2=33 (a+1),3 (b+1)=3 (b+1)2 .貝 的值為.30 .已知m, n是方程x2+2x-5=0的兩個實(shí)數(shù)根，貝U m2-mn+3m+n=.31 .閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1，x2,則兩根與方程系數(shù) 之間有如下關(guān)系式 x1+x2=-J1, x1?x2=|根據(jù)該材料填空，已知 為，x2是方程 x2+3x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，M 立+衛(wèi)的值

8、為.叼叼32 .已知關(guān)于x的方程x2- (a+b) x+ab- 1=0, x1、x2是此方程的兩個實(shí)數(shù)根， 現(xiàn)給出三個結(jié)論：xwx2；x1x2<ab；x12+x22<a2+b2.則正確結(jié)論的序號 是.(填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號)33 .若兩個不等實(shí)數(shù) m、n滿足條件：m2- 2m- 1=0, n2- 2n - 1=0,則m2+n2 的值是.34 .設(shè) x1，x2是方程 x2 - x- 2013=0 的兩實(shí)數(shù)根，貝U X1+2014 k2-2013 =.35 .設(shè)x1, x2是方程2x2-3x- 3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則 立+%的值為.36 .若a, B是方程x2 - 3x+1=0

9、的兩個根，則02+ a&3a.37 .已知 x1, x2是方程 x2+4x+k=0 的兩根，且 2x1 x2=7,貝U k=.38 .設(shè) x1、x2是一元二次方程 x2+4x- 3=0 的兩個根，2x1 (x22+5x2-3) +a=2,則 a=.39 .設(shè)a和B是方程x2-4x+3=0的二根，則a+B的值為40.已知實(shí)數(shù)a、b (awb)分別滿足5 b2-3b+V=。值.41 .設(shè)A是方程x2-句麗x- 2009=0的所有根的絕對值之和，則 A2=42 .已知 a, B為方程 x2+4x+2=0 的二實(shí)根，貝U /+14 0+50=.43 .若非零實(shí)數(shù) a, b (awb)滿足 a2

10、-a- 2007=0, b2 - b - 2007=0,貝 U：.44 .已知2-衣是一元二次方程 x2 - 4x+c=0的一個根，則方程的另一個根 是.45 .已知關(guān)于x的方程x2- (a+b) x+ab- 2=0. xi、x2是此方程的兩個實(shí)數(shù)根， 現(xiàn)給出三個結(jié)論：(1) xiwx2； (2) xix2>ab； (3 ) xi2+x22>a2+b2, 則正確結(jié)論的序號是.(在橫線上填上所有正確結(jié)論的序號)46.如果關(guān)于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有兩個實(shí)數(shù)根xi, x2,且它們 滿足不等式 “戶2 <1,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.三.解答題(共4小題)47 .已

11、知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x - m=0有實(shí)數(shù)根.(i)求m的取值范圍(2)若兩實(shí)數(shù)根分別為xi和x2,且宜;+工二11,求m的值.48,已知一元二次方程2x2-6x-i=0的兩實(shí)數(shù)根為xi、冷，不解方程，求代數(shù)式的值.49.已知關(guān)于x的一元二次方程x2- (2k+i) x+k2+2k=0有兩個實(shí)數(shù)根xi, x2.(i)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)k使得xi?x2-xi2-泡20成立？若存在，請求出k的值；若 不存在，請說明理由.50.填表解題:方程x2+2x+1=0兩根Xi , X2Xl+X2=X1X2=x2 - 3x - 4=0X2+4X- 7=0上表你能猜想若xi, X2是

12、方程ax2+bx+c=0 （a不等0）的兩根則xi+x2=XlX2=利用你的猜想解下列問題：(1)若 Xi, X2是方程 X2-2x-3=0 的兩根求,X12+X22和(Xi+2)(X2+2)的值.(2)已知2+行是方程X2 - 4x+c=0的一個根，求方程的另一個根及 c的值.一元二次方程韋達(dá)定理應(yīng)用參考答案與試題解析一選擇題（共16 小題）1. （2017?邕寧區(qū)校級模擬）若方程x （2017?西青區(qū)一模）若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為1,則另一個根為（）A. - 4 B. 2C. 4 D. - 3【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，利用兩根和，兩根積，即可求出另一根【解答

13、】解：設(shè)一元二次方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 1+x1= - 3,解得：x1= -4.故選A- （m2-4） x+m=0的兩個根互為相反數(shù)，則 m 等于（ ）A. - 2 B. 2C. ± 2 D. 4【分析】設(shè)這兩根是民、就根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及相反數(shù)的定義可知：a+B=m-4=0,進(jìn)而可以求出m的值.【解答】解：二方程x2- （m2-4） x+m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設(shè)這兩根是a、B,則a+B =rm-4=0,解得： m= ± 2，但當(dāng)m=2時，原方程為：x2+2=0,方程沒有實(shí)數(shù)根，故 m=-2.故選 A【點(diǎn)評】 本題考查了一元二次方程根

14、與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用， 注意最后所求的值一定要代入檢驗(yàn)【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：X1 +X2= - - , X1 ?X2.3. （2017?黔東南州二模）設(shè)a, b是方程x2+x- 2017=0的兩個實(shí)數(shù)根，貝U a2+2a+b 的值為（）A. 2014 B. 2015C. 2016 D. 2017【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2= - a+2017 ,則 a2+2a+b=2017+a+b,然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到 a+b= -1,再利用整體代入的 方法計(jì)算.【解答】解：: a是方程x2+x 201

15、7=0的根，.a2+a-2017=0,.a2=- a+2017,a2+2a+b= - a+2017+2a+b=2017+a+b,. a, b是方程x2+x- 2017=0的兩個實(shí)數(shù)根，a+b= 1,a2+2a+b=2017- 1=2016.故選C.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若 x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a W0）的兩根時，x1+x2=- , x1x2二.也考查了一元二次方程的解.a a （2017?和平區(qū)校級模擬）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a>0, b<0, c<0, 則這個方程根的情況是（）A.有兩個正根B.有兩個負(fù)根C.有一正根一

16、負(fù)根且正根絕對值大D.有一正根一負(fù)根且負(fù)根絕對值大【分析】根據(jù)根的判別式 =b2-4ac的符號，就可判斷出一元二次方程的根的情 況；由根與系數(shù)的關(guān)系可以判定兩根的正負(fù)情況.【解答】解：a0, b<0, c<0, =b2-4ac>0, <0, - ->0, a a 一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且兩根異號，正根的絕對值 較大.故選：C.【點(diǎn)評】此題考查了根的判別式；一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1） >0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2） A=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3） <0?方程沒有實(shí)數(shù)根.5. （2017?章丘

17、市二模）已知m、n是方程x2+3x - 2=0的兩個實(shí)數(shù)根，則m2+4m+n+2mn 的值為（）A. 1B. 3 C. - 5 D. - 9【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解即可得出m+n=-3、mn=2、m2+3m=2,將其代入 m2+4m+n+2mn中即可求出結(jié)論.【解答】解：:m、n是方程x2+3x-2=0的兩個實(shí)數(shù)根， m+n=-3, mn=- 2, m2+3m=2,m2+4m+n+2mn=m2+3m+m+n+2mn=2 -3-2X2=- 5.故選C.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，熟練掌握xi+x2=-彳、xix2二是解題的關(guān)鍵. （2016?雅安）

18、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一個實(shí)數(shù)根為2,則 另一實(shí)數(shù)根及m的值分別為（）A. 4, - 2 B. - 4, - 2 C. 4, 2 D. - 4, 2【分析】根據(jù)題意，利用根與系數(shù)的關(guān)系式列出關(guān)系式，確定出另一根及m的值即可.【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系式得：2x2= - 8, 2+x2=- m=- 2,解得：x2= - 4, m=2,則另一實(shí)數(shù)根及m的值分別為-4, 2,故選D【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.x2+x - 1=0的兩根分別為Xi, X2,X1?X2=- 1,然后把一上進(jìn)行通 町七7. (2014春？臨安

19、市校級期末)一元二次方程則十十()叼叼A.二 B. 1 C. . D.二【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到X1+X2=-1, 分，再利用整體代入的方法進(jìn)行計(jì)算.【解答】解：根據(jù)題意得X1+X2=- 1 , X1 ?X2= - 1 ,所以L"T=1.町xk 2 T故選B.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程aX2+bX+c=0 (aw0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個為 X1 , X2,貝U X1+X2=-L, (2013秋？沙灣區(qū)期末)關(guān)于X的方程x2+2 (k+2) X+k2=0的兩實(shí)根之和大于-4,則k的取值范圍是()A. k>- 1 B. k<0C. - 1<k<0

20、 D. - 1<k<0【分析】根據(jù)根的判別式求出k>-1,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出-(2k+4) >-4,求出k<0,即可求出答案.【解答】解：設(shè)x的方程x2+2 (k+2) X+k2=0的兩實(shí)根是a b,由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b=-區(qū)產(chǎn)=-(2k+4),.關(guān)于x的方程x2+2 (k+2) x+k2=0的兩實(shí)根之和大于-4 - ( 2k+4) > - 4,k< 0,b2- 4ac= 2 (k+2) 2-4X 1 x k2=8k+8>0,k> 一 1,即k的取值范圍是-1&k<0.故選D.【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的

21、關(guān)系，注意：應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系 式的前提條件是b2-4ac>0, aw0.9. (20114堂縣二模)已知方程 x2 2 (m2- 1) x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，則m的值是()A. m=± 1 B. m=-1 C. m=1 D, m=0【分析】由于方程x2 2 (m2-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設(shè)這兩根是a、就根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、相反數(shù)的定義可知：a+B=2(m2-1) =0,由此得到關(guān)于m的方程，進(jìn)而可以求出 m的值.【解答】解：方程x2-2 (m2-1) x+3m=0的兩個根是互為相反數(shù)，設(shè)這兩根是a、0,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系、相反數(shù)的定義可知a+ B

22、 =2( m2 - 1) =0,進(jìn)而求得m=± 1,但當(dāng)m=1時，原方程為：x2+3=0,方程沒有實(shí)數(shù)根，m=- 1.故選B.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及其應(yīng)用，最后所求的值一定 要代入判別式檢驗(yàn).10. (2016?津縣二模)已知a、b是一元二次方程x2- 3x-2=0的兩根，那么一的值為()A-| B-望 C- 4 D- 4【分析】根據(jù)二/T?。篧，由一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系求得 a b ab ab ab兩根之積與兩根之和，代入數(shù)值計(jì)算即可【解答】解：二.方程x2-3x-2=0的兩根為a, b, a+b=3, ab=- 2,故選：D.【點(diǎn)評】此題考查了一

23、元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識，注意若二次項(xiàng)系數(shù)不為 1, xi, x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a*0)的兩根時，xi+x2=-工，xix2= , a a掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵.11. (2016?棗莊)已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,則另一個根為( )A. 5 B. - 1 C. 2 D. - 5【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,可以設(shè)出另一個根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求得另一個根的值，本題得以解決.【解答】解：二關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個根為-2,設(shè)另一個根為m,- 2+m一二，1解得，m= - 1,故選B.

24、【點(diǎn)評】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確兩根之和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)比值的相反數(shù).12. (2015?來賓)已知實(shí)數(shù)x1 , x2滿足x1+x2=7, x1x2=12,則以x1 , x2為根的一元二次方程是()A. x2- 7x+12=0 B x2+7x+12=0 C, x2+7x- 12=0 D, x2-7x- 12=0【分析】根據(jù)以x1，x2為根的一元二次方程是x2- (x1+x2)x+x1 , x2=0,列出方程進(jìn)行判斷即可.【解答】解：以x1, x2為根的一元二次方程x2- 7x+12=0,故選：A.【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握以x1, x2為根的

25、一元二次方程是x2- (x1+x2)x+x1 , x2=0是具體點(diǎn)關(guān)鍵.13. (2015?江陽區(qū)二模)設(shè)a、b是方程x2+x- 2014=0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值為()A. 2014 B. 2015C. 2012 D. 2013【分析】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a+b=-1;然后根據(jù)a是方程x2+x-2014=0的實(shí)數(shù)根，可得a2+a- 2014=0,據(jù)此求出a2+2a+b的值為多少即可.【解答】解：b是方程x2+x-2014=0的兩個實(shí)數(shù)根，a+b= 1 ；又 = a2+a- 2014=0,a2+a=2014,a2+2a+b=(a2+a) + (a+b)=2014+ ( -

26、1)=2013即a2+2a+b的值為2013.故選：D.【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：若二次項(xiàng)系數(shù)不為1,則常用以下關(guān)系：x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aw 0)的兩根時，x1+x2上，x1x2=,反過來也成立，即上-(x1+x2), =x1x2.14. (2015?南充)關(guān)于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正， 關(guān)于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：這兩個方程的根都負(fù)根；(m - 1) 2+ (n - 1) 22;-102m-2n< 1,其中正確結(jié)論的

27、個數(shù)是()A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【分析】根據(jù)題意，以及根與系數(shù)的關(guān)系，可知兩個整數(shù)根都是負(fù)數(shù)；根據(jù) 根的判別式，以及題意可以得出m2-2n>0以及n2-2m>0,進(jìn)而得解；可以 采用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答，據(jù)此即可得解.【解答】解：兩個整數(shù)根且乘積為正，兩個根同號，由韋達(dá)定理有，x1?x2=2n>0, y1？y2=2m>0,yi+y2= _ 2n< 0 xi+X2= 2m<0這兩個方程的根都為負(fù)根，正確;由根判別式有: =b2- 4ac=4m2- 8n>0, =b2- 4ac=4n2- 8m >0,. 4m2-8n>0, 4

28、n2 - 8m>0, m2- 2n>0, n2- 2m >0,m2 - 2m+1+n2 - 2n+1=m2- 2n+n2 - 2m+2>2,(m1) 2+ (n 1) 2>2,正確；由根與系數(shù)關(guān)系可得 2m-2n=y1y2+y1+y2= (y1+1) (y2+1) -1,由 y1、y2 均為負(fù)整數(shù)，故(y1+1) ? (y2+1) >0,故 2m - 2n-1,同理可得：2n2m=X1X2+X1+X2= (x1+1)(X2+1)1,得 2n 2m>1,即 2m 一2n<1,故正確.故選：D.【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系， 以及一元二次方程

29、的根的判別式， 有 一定的難度，注意總結(jié).15. (2013?呼和浩特)(非課改)已知 鵬B是關(guān)于X的一元二次方程x2+ (2m+3)X+m2=0的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足-+-=-1,則m的值是()Q pA. 3 B. 1C. 3 或-1 D. - 3 或 1【分析】由于方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根可得4> 0,由此可以求出m的取值范圍，再利用根與系數(shù)的關(guān)系和占。-=-1,可以求出m的值，最后求出符合題 Q P意的m值.【解答】解：根據(jù)條件知：a+ 0 = ( 2m+3), a 0 =m- 11 _p + CL_-(2in43) , .，廠 j = 1，即 m2 - 2m- 3=0,解得

30、m=3.故選A.【點(diǎn)評】1、考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系與根的判別式及不等式組的綜合應(yīng)用能力.一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：(1) A>0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2) A=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；(3) < 0?方程沒有實(shí)數(shù)根.2、一元二次方程ax2+bx+c=0 (a*0)的根與系數(shù)的關(guān)系為：x+x2=-.，xi?x2二. a a16. (2013?<南模才H)設(shè)a, b是方程x2+x-2011=0的兩個實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b 的值為()A. 2009 B. 2010 C. 2011 D. 2012【分析】由于a, b是方程x2+x-2011=0的兩個實(shí)數(shù)

31、根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可 以得到a+b= 1,并且a2+a- 2011=0,然后把a(bǔ)2+2a+b可以變?yōu)閍2+a+a+b,把前 面的值代入即可求出結(jié)果.【解答】解：:a, b是方程x2+x-2011=0的兩個實(shí)數(shù)根，a+b= = - 1,并且 a2+a-2011=0,.a2+a=2011,a2+2a+b=a2+a+a+b=2011 - 1=2010.故選B.【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié) 合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.二.填空題(共30小題)17. (2017?東臺市一模)已知：一元二次方程 x2-6x+c=0有一個根為2,則另一 根為 4 .【分析】

32、設(shè)方程另一根為t,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到 2+t=6,然后解一次方程 即可.【解答】解：設(shè)方程另一根為t,根據(jù)題意得2+t=6,解得t=4.故答案為4.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 （aw0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方 程的兩根為 X1 , X2,則 Xl+X2=卜，X1?X2=.18. （2017?啟東市一模）一元二次方程 X2+X- 2=0的兩根之積是-2 .【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得答案.【解答】解：設(shè)一元二次方程x2+x-2=0的兩根分別為% 就 a 0 = 2 .一 一元二次方程X2+X - 2=0的兩根之積是-2.故答案為：-2.【點(diǎn)評】此題考查了根與系

33、數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是熟記公式.19. （2017?慶云縣一模）若a、B是一元二次方程x2+2x-6=0的兩根，則 名+儼=16 .【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出o+B和a 0且a2+岑=（o+0） 2-2a §代入 計(jì)算即可.【解答】解：: a、B是一元二次方程X2+2X - 6=0的兩根，0+0 = 2, a0 = 6 ,02+ 伊=（什位 2- 2a M - 2） 2- 2X （ 6） =4+12=16,故答案為：16.【點(diǎn)評】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，把 后+伊化成（o+B） 22 a呢解題的關(guān)鍵.20. （2017?曲靖模擬）一元二次方程x2+mx+2m=0

34、的兩個實(shí)根分別為X1, X2,若 X1+X2=1 ,貝 U X1X2=- 2 .【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到xi+x2=-m=1, xix2=2m,先求出m的值，然 后計(jì)算X1X2的值.【解答】解：根據(jù)題意得Xi+X2=- m=1, xiX2=2m,所以m=-1,所以 x1x2= - 2.故答案為-2.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若 x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a w0) 的兩根時，x1+x2=- , x1x2匚.21. (2017?黃石模擬)已知m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2 - 3x+a=0的兩個解, 若(m-1) (n-1) =-6,則 a 的值為 -4

35、.【分析】由m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+a=0的兩個解，得出m+n=3,mn=a,整理(m-1) (n-1) =- 6,整體代入求得a的數(shù)值即可.【解答】解：: m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2 3x+a=0的兩個解,m+n=3, mn=a,(m1) (n 1) = - 6, .mn ( m+n) +1 = - 6即 a - 3+1 = - 6解得a=- 4.故答案為：-4.【點(diǎn)評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x1, x2,則x1+x2=-£x1?x2=. a22. (2016?長沙模擬)某學(xué)生在解一元二次方程x2

36、-2x=0時，只得出一個根是2, 則被他漏掉的另一個根是x= 0 .【分析】設(shè)方程x2-2x=0的兩根根為x1、x2,由根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1+x2=2, 再結(jié)合x1=2即可求出x2的值.【解答】解：設(shè)方程x2-2x=0的兩根根為x1、x2,一2 。Xi+X2= -=2，, Xi=2 ,X2=0.故答案為：0.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系找出 Xl+X2=2,本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系 找出兩根之和與兩根之積是關(guān)鍵.23. （2015?泗洪縣校級,g擬）已知a, b是方程x2-x- 3=0的兩個根，則代數(shù)式 a2+b+3

37、的值為 7 .【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2-a-3=0,即a2=a+3,則a2+b+3化簡為a+b+6,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=1,然后利用整體代入的方法計(jì) 算即可.【解答】解：: a是方程x2-x-3=0的根，. . a - a - 3=0, a2=a+3, a2+b+3=a+3+b+3=a+b+6,. a, b是方程x2 -x-3=0的兩個根，a+b=1, a2+b+3=1+6=7.故答案為7.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若 X1, X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 （a W0）的兩根時，X1+X2 = , X1X2=-.也考查了一元二次方程的解.a a

38、24. （2013秋？密山市校級期中）已知關(guān)于 x的方程x2 - 2ax+a2- 2a+2=0的兩個 實(shí)數(shù)根X1, X2,滿足X12+X22=2,則a的佰是1.【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù) X12+X22=（X1+X2）2 -2X1X2,即可得到關(guān)于 a的方程，求出a的值.【解答】解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知：xi+x2=2a, xix2=a2- 2a+2.xi2+x22= (xi+x2)2-2x1x2= (2a) 2-2 (a2-2a+2) =2s2+4a- 4=2.解 a2+2a 3=0,彳4 ai= -3, a2=1.又方程有兩實(shí)數(shù)根，0即(2a) 2 4 (a22a+2

39、) >0.解得a>1.a=- 3 舍去.a=1.【點(diǎn)評】應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系得到方程兩根的和與兩根的積， 根據(jù)兩根的平方 和可以用兩根的和與兩根的積表示，即可把求a的值的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問 題.25. （2012?德清縣自主招生）如果方程（x- 1） （x2-2x?。?0的三根可以作為4一個三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù) k的取值范圍是 3<k04 .【分析】根據(jù)原方程可得出：x- 1=0,x2-2x+=0;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出方程的x1+x2和x1 - x2的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出k的取值范圍.【解答】解：由題意，得：x- 1=0, x2-2x號=0;

40、設(shè)x22x+=0的兩根分另1J是 m、n （m> n）；貝U m+n=2, mn上；44m -巾出口二的大官;根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：m - n< 1 < m+n,即，4-k< 1 <2；.卜可,1,解得3<k0 4.【點(diǎn)評】此題主要考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及三角形三邊關(guān)系定 理.26. （2012?廈門模擬）方程x2-3x+1=0中的兩根分別為a、b,則代數(shù)式a2-4a-b的值為 -4 .【分析】根據(jù)已知方程x2 - 3x+1=0中的兩根分別為a、b,得出a+b=3, ab=1, a2-3a+1=0,求出 a2-3a=- 1,代入 a2-4

41、a- b=a2 - 3a- a- b 求出即可.【解答】解：二.方程x2-3x+1=0中的兩根分別為a、b, a+b=3, ab=1, a2 - 3a+1=0, a2 - 3a= - 1, . a2 4a b=a2 - 3a - a - b,=-1- ( a+b),=-1 3,=-4,故答案為：-4.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的應(yīng)用，本題題型較好， 具有一定的代表性，用了整體代入(a+b和a2-3a分別當(dāng)作一個整體)的思想.27 .已知a+b=3, ab=- 7,則代數(shù)式2a2+b2+3b的值為 39 .【分析】由a+b=3, ab=-7可得a, b是方程X2-3X-

42、7=0的根，再利用代數(shù)式 的變形代入所求代數(shù)式即可求值.【解答】解：a+b=3 ab=- 7,.a, b是方程X2-3X-7=0的根a2 - 3a- 7=0, a2=3a+7;b2-3b-7=0, b2=3b+7;2a2+b2+3b=6a+14+3b+7+3b=6 (a+b) +21=18+21=39,故答案為：39.【點(diǎn)評】本題考查利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，解題的關(guān)系是把所求 代數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.28 . (2016?冷水江市三模)已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+nx+n-3=0的兩個實(shí) 數(shù)根，且 x1 +x2=- 2,則 x1x2= - 1 .【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系

43、求出n的值，再利用利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根 之積即可.【解答】解：xi, X2是關(guān)于x的方程x2+nx+n 3=0的兩個實(shí)數(shù)根，且xi+x2=-2,. . - n= - 2,即 n=2,二 xix2=n 3=2 3=- 1.故答案為：-1.【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系求 出n的化29. (201571岡中學(xué)自主招生)已知實(shí)數(shù) awb,且滿足(a+1) 2=3-3 (a+1),3 (b+1) =3- (b+1) 2.貝卜拒的值為 一23 .【分析】根據(jù)已知條件 “(a+1) 2=3-3 (a+1), 3 (b+1) =3- (b+1) 2”求出 a+1、

44、 b+1是關(guān)于x的方程x2+3x- 3=0的兩個根，然后再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得 a+b=-5, ab=1;最后將其代入化簡后的二次根 式并求值即可.【解答】解：V (a+1) 2=3 3 (a+1), 3 (b+1) =3 (b+1) 2.(a+1) 2+3 (a+1) -3=0, (b+1) 2+3 (b+1) -3=0,顯然，a+1、b+1是關(guān)于x的方程x2+3x- 3=0的兩個根，x1+x2= - 3,即 a+1+b+1 = - 3,a+b= 5;x1?x2= - 3,即(a+1) (b+1) =ab+ (a+b) +1 = 3,=b| b|+a| a| ,=_ (b+a) 2 - 2

45、ab,= -25+2,=-23 故答案是：-23.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次根式的化簡求值.解答此題時，如果 先根據(jù)已知條件求得a、b的值，然后將其代入所求的代數(shù)式求值，那計(jì)算過程 是相當(dāng)?shù)姆爆?根據(jù)已知條件“(a+1) 2=3-3 (a+1), 3 (b+1) =3- (b+1) 2”可以知，”(a+1) 2+3 (a+1) -3=0, (b+1) 2+3 (b+1) -3=0”，仔細(xì)觀察這兩個 等式可知：a+1、b+1是關(guān)于x的方程x2+3x-3=0的兩個根.然后再根據(jù)一元二 次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得 a與b的數(shù)量關(guān)系，并將其代入所求的代數(shù)式求 值.這樣，計(jì)算會變得簡單多了.

46、30. (2014?呼和浩特)已知 m, n是方程x2+2x- 5=0的兩個實(shí)數(shù)根，則 m2- mn+3m+n= 8 .【分析】根據(jù)m+n=-上=-2, m?n=-5,直接求出m、n即可解題. a【解答】解：: m、n是方程x2+2x- 5=0的兩個實(shí)數(shù)根，mn=- 5, m+n= 2,: m2+2m 5=0m2=5- 2mm2-mn+3m+n= (5-2m) - ( - 5) +3m+n=10+m+n=10- 2=8故答案為：8.【點(diǎn)評】此題主要考查了一元二次方程根根的計(jì)算公式，根據(jù)題意得出m和n的值是解決問題的關(guān)鍵.31. (2015?港南區(qū)二模)閱讀材料：設(shè)一元二次方程ax2+bx+c=

47、0的兩根為x1，x2, 則兩根與方程系數(shù)之間有如下關(guān)系式 x1+x2= -, x1?x2巖根據(jù)該材料填空，已知 a宕x1, x2是方程x2+3x+1=0的兩實(shí)數(shù)根，則+三的佰為 7 .工2盯【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系， 可以求得兩根之積或兩根之和， 根據(jù)衛(wèi)十*=6+,)_3七,代入數(shù)值計(jì)算即可.x2 J一一:7. 2 K1丐1故答案為：7.【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié) 合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.32. (2013?自貢)已知關(guān)于X的方程x2- (a+b) X+ab- 1=0, x1、X2是此方程的 兩個實(shí)數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：X1WX

48、2；X1X2<ab;X12+X22< a2+b2.則正確 結(jié)論的序號是.(填上你認(rèn)為正確結(jié)論的所有序號)【分析】(1)可以利用方程的判別式就可以判定是否正確；(2)根據(jù)兩根之積就可以判定是否正確；(3)利用根與系數(shù)的關(guān)系可以求出X12+X22的值，然后也可以判定是否正確.【解答】解：方程x2- (a+b) x+ab1=0中， = (a+b) 2-4 (ab-1) = (a-b) 2+4>0,X1 WX2故正確；,X1X2=ab- 1 <ab,故正確； : X1+x2=a+b,即(X1+X2) 2= (a+b) 2,X12+X22= (X1+X2) 2 2x1x2= (a

49、+b) 22ab+2=a2+b2+2>a2+b2,即 X12+X22>a2+b2.故錯誤；綜上所述，正確的結(jié)論序號是：.故答案是：.l| h1k2 I【解答】解：:Xi, X2是方程x2+3x+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，X1+X2= - 3, X1X2=1 .I ：-2-【點(diǎn)評】本題考查的是一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系，及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，需同學(xué)們熟練掌握.33. (2013?黔東南州)若兩個不等實(shí)數(shù) m、n滿足條件：m2-2m-1=0, n2-2n 1=0,貝U m2+n2 的值是 6 .【分析】根據(jù)題意知，m、n是關(guān)于x的方程x2-2x-1=0的兩個根，所以利用 根與

50、系數(shù)的關(guān)系來求m2+n2的值.【解答】解：由題意知，m、n是關(guān)于x的方程x2 - 2x - 1=0的兩個根，則m+n=2, mn= 1 .所以，m2+n2= (m+n) 22mn=2X2 2X (1) =6.故答案是：6.【點(diǎn)評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié) 合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法.34. (2013?荊門)設(shè)x1，x2是方程x2 x- 2013=0的兩實(shí)數(shù)根，貝”;+2014H廣2013 =2014 .【分析】由原方程可以得到x2=x+2013, x=x2-2013;然后根據(jù)一元二次方程解 的定義知，x12=x1+2013, x1=x12-2013.

51、由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=1,所以將其 代入變形后的所求代數(shù)式求值.【解答】»: vx2-x-2013=0, .x2=x+2013, x=x2- 2013,又.x1, x2是方程x2 x-2013=0的兩實(shí)數(shù)根，x1+x2=1 ,zf+2014x2-2013=x1?勺、2013x2+x2 2013,=x1? (x+2013) +2013x2+x2-2013,=(x1+2013) +2013x1+2013x2+x2 -2013,=x1+x2+2013 (x1+x2) +2013-2013,=1+2013,=2014,故答案是：2014.【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程

52、的解的定義.對所求代數(shù)式 變變形是解答此題的難點(diǎn).35. （2013碑枝花）設(shè)X1, X2是方程2X2-3x- 3=0的兩個實(shí)數(shù)根，則二！十三的|x2 叼 |值為 .£_一【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，所求式子通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，變形后將各自的值代入計(jì)算即可求出值.【解答】解：:為，X2是方程2X2-3X-3=0的兩個實(shí)數(shù)根，X1+X2=f，X1X2=-p9則原式為至 £1亙*士1年3=斗式1叼x 1 2上 -62故答案為：-，2【點(diǎn)評】此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.36. （2012?成都模擬）若a,

53、B是方程X2-3x+1=0的兩個根，則2+a伊3a=0 .【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義可以求得金-3a。1、由根與系數(shù)的關(guān)系知a B=；然后將代入所求的代數(shù)式求值即可.【解答】解：.a, B是方程X2-3x+1=0的兩個根， 02 3a+1=0,即 a23a 二一1 , a0= 1- 02+a 印 3 a = 1+1=0;故答案是：0.【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解的定義、根與系數(shù)的關(guān)系.解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義.37. （2011?莆田模擬）已知xi, X2是方程x2+4x+k=0的兩根，且2xi - x2=7,則 k= - 5【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到

54、xi+x2=-4，而2xi-X2=7，然后解由 所組成的方程組得xi=1, x2=-5,最后利用xi?x2=k求得k的值.【解答】解：:xi, x2是方程x2+4x+k=0的兩根，xi+x2= - 4，而 2xi - x2=7,解由所組成的方程組得xi=i, x2=-5,xi?x2=k,k=- 5.故答案為：-5.【點(diǎn)評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩根為xi , x2,則 xi+x2=-, xi?x2.38. (20i0?南通)設(shè) xi、x2是一元二次方程 x2+4x-3=0 的兩個根，2xi (x22+5x2 3) +a=2,貝U a= 8 .【分析】

55、先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出xi+x2, xi?x2的值，然后化簡所求代數(shù)式，把xi+x2 , xi ?x2的值整體代入求值即可.【解答】解：根據(jù)題意可得xi+x2= - -= - 4 , xi?x2=-= - 3, aa又 2xi (x22+5x2 - 3) +a=2, 2xix22+i0xix2 - 6xi+a=2,6x2+i0xix2- 6xi+a=2,-6 (xi+x2)+i0xix2+a=2,-6X ( 4) +i0x ( 3) +a=2,二 a=8.故答案為：8.元二次方程的兩個根xi、x2具有這樣的【點(diǎn)評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,關(guān)系：xi+x2=xi?x2=1-.39. （2010小沙校級自主招生）設(shè) a和B是方程x2 - 4x+3=0的二根，則a+B的 值為 4 .【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出a+B=b,代入求出即可. a【解答】解：.a和B是方程x2-4x+3=0的二根， o+ 0 = =L= =4, al故答案為：4.【點(diǎn)評】本題主要考查對根與系數(shù)的關(guān)系的理解和掌握，能熟練地根據(jù)根與系數(shù) 的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.40. （2010?寧陽縣模擬）已知實(shí)數(shù) a、b （awb）分別滿足 $-3排也=0， b?-3b+而