第五屆全國高中數(shù)學(xué)青年教師觀摩與評比活動：《三角函數(shù)的誘導(dǎo)公

1、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(第1課時)教學(xué)設(shè)計說明教材：蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書 數(shù)學(xué)4(必修)南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 劉洪璐我說課的內(nèi)容是“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)設(shè)計”。下面，我將從4個方面進(jìn)行匯報。一、 教學(xué)背景分析1.教材的地位和作用本節(jié)教學(xué)內(nèi)容是4組三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程及其簡單應(yīng)用。承上，有任意角三角函數(shù)正弦、余弦和正切的比值定義、三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)關(guān)系等；啟下，學(xué)生將學(xué)習(xí)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行任意角三角函數(shù)的求值化簡，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（包括三角函數(shù)的周期性）等內(nèi)容。同時，學(xué)生在初中就接觸過對稱等知識，對幾何圖形的對稱等知識相當(dāng)熟悉。這些構(gòu)成了學(xué)生的知識基礎(chǔ)。誘導(dǎo)公式的作用

2、主要在于把任意角的三角函數(shù)化歸成銳角的三角函數(shù)，體現(xiàn)了把一般化特殊、復(fù)雜化簡單、未知化已知的數(shù)學(xué)思想。2.目標(biāo)定位誘導(dǎo)公式可以幫助我們把任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)，但是隨著計算器的普及，上述意義不是很大。我們認(rèn)為，誘導(dǎo)公式的教學(xué)價值主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，感受探索發(fā)現(xiàn)，通過幾何對稱這個研究工具，去探索發(fā)現(xiàn)任意角三角函數(shù)間的數(shù)量關(guān)系式，即三角函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性質(zhì)）的代數(shù)解析表示。第二，學(xué)會初步應(yīng)用，能夠選用恰當(dāng)?shù)恼T導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題并求解。第三，領(lǐng)悟思想方法，在誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)過程中領(lǐng)悟化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法。第四，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗

3、，為學(xué)生認(rèn)識任意角三角函數(shù)既是一個起源于圓周運動的周期函數(shù)又是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”做好準(zhǔn)備。為此，我們制定了本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)（詳見教案），以及本節(jié)課的教學(xué)重、難點。二、教學(xué)設(shè)計分析在進(jìn)行本課教學(xué)設(shè)計時，有以下兩條典型教學(xué)路線可供選擇：（1）兩個角的終邊有哪些特殊的對稱關(guān)系？（2）怎樣把非第一象限的角轉(zhuǎn)化為第一象限的角？我們最終選擇了第一條路線，主要基于以下兩點考慮。1. 尊重教材的編寫方式。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，從而統(tǒng)整各組誘導(dǎo)公式。教材的編寫處理體現(xiàn)了教材專家的集體智慧和版本教

4、材的一貫特色，教師應(yīng)該努力體會和把握，不宜輕率拋開教材另搞一套。2. 切合學(xué)生的認(rèn)知水平。利用學(xué)生熟悉的圓及其對稱性研究三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，符合學(xué)生的認(rèn)知心理。同時，單位圓及其對稱性的表象對學(xué)生推導(dǎo)誘導(dǎo)公式、理解公式之間的內(nèi)在聯(lián)系、形象記憶三角函數(shù)誘導(dǎo)公式都將起到事半功倍的效果。三、教學(xué)過程分析基于以上分析，我們確定了如下的本節(jié)課教學(xué)路線圖：圍繞這個教學(xué)路線（當(dāng)然也是學(xué)生的研究路線），我將教學(xué)分成6個環(huán)節(jié)并設(shè)計成問題串的形式，通過這些問題解構(gòu)教材，讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，體會數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗。1. 問題提出【教學(xué)安排】如何將任意角三角函數(shù)求值問題轉(zhuǎn)化為0360角三角函數(shù)求值問題

5、。【問題1】求390的正弦、余弦值。【設(shè)計意圖】前面的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)將角的概念從銳角擴(kuò)充到了任意角，學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求。于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學(xué)生的身心特點和認(rèn)知規(guī)律，意在培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生在求三角函數(shù)值時抓坐標(biāo)、抓角終邊之間的關(guān)系。同時，首先考慮+2k（kZ）與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，有助于學(xué)生理解三角函數(shù)被看成刻畫現(xiàn)實世界中周期性變化的數(shù)學(xué)模型的確切含義。2嘗試推導(dǎo)【教學(xué)安排】如何利用對稱推導(dǎo)出角- 與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系?！締栴}2】你能找出和30角正弦值相等，但終邊不同的角嗎？

6、【設(shè)計意圖】對問題2的提問方式的設(shè)計主要是考慮到我們在研究問題的時候常常會研究它的逆命題、否命題、等價命題等。事實上問題2可以看成是“若兩個角的終邊相同，則它們的正弦值相同”的逆命題，即“若兩個角的正弦值相同，則兩個角的終邊相同”。但這里是以問題的形式提出的，實際上教會了學(xué)生一種自己研究問題的方法。在得出角- 與角的三角函數(shù)之間的關(guān)系后，提出：思考請大家回顧一下，剛才我們是如何獲得這組公式(公式二)的？【設(shè)計意圖】階段小結(jié)，讓學(xué)生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用。將上述研究過程進(jìn)行梳理，得出“角間關(guān)系對稱關(guān)系坐標(biāo)關(guān)系三角函數(shù)值間關(guān)系”的研究路線圖。3自主探究【教學(xué)安排】如何利用對稱推導(dǎo)

7、出+ ，- 與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系?！締栴}3】兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱，你有什么結(jié)論？兩個角的終邊關(guān)于原點對稱呢？【設(shè)計意圖】從兩個角的終邊關(guān)于y軸對稱的情況進(jìn)行自然過渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們再次經(jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式三和四，并將問題2研究方法一般化。4簡單應(yīng)用【教學(xué)安排】例題的練習(xí)、講解。7【例1】求下列各三角函數(shù)值： (1) sin；(2) cos(-60)；（3）tan(-855)。 6【設(shè)計意圖】初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中，如何合理的使用這幾組公式。此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)

8、在關(guān)系和聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)方法的多樣性。5回顧反思【教學(xué)安排】開放式小結(jié)?！締栴}4】回顧一下，我們是怎樣獲得誘導(dǎo)公式的？研究的過程中，你有哪些體會？【設(shè)計意圖】開放式小結(jié)，使得不同的學(xué)生有不同的學(xué)習(xí)體驗和收獲。這些問題的提出，側(cè)重于誘導(dǎo)公式推導(dǎo)方法的回顧和反思，側(cè)重于個體情感體驗的分享和表達(dá)，從而區(qū)別于側(cè)重于公式規(guī)律的總結(jié)和記憶。6分層作業(yè)【教學(xué)安排】作業(yè)布置。【作業(yè)】1）閱讀課本，體會三角函數(shù)誘導(dǎo)公式推導(dǎo)過程中的思想方法。2）必做題：課本第23頁第13題。3）選做題：（1）你能由公式二、三、四中的任意兩組公式推導(dǎo)到另外一組公式嗎？（2）角和角的終邊還有哪些特殊的位置關(guān)系？你能探究出它們的三角函數(shù)

9、值之間的關(guān)系嗎？【設(shè)計意圖】分層作業(yè)有利于不同層次的學(xué)生鞏固知識，提升思維能力。閱讀課本旨在引導(dǎo)學(xué)生教科書是學(xué)習(xí)的根本，閱讀課本有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的回歸課本的學(xué)習(xí)習(xí)慣。而出現(xiàn)選做題目，目的是提供多元化和挑戰(zhàn)性選擇，促使學(xué)有余力的學(xué)生課后思考和自主探究幾組公式之間的內(nèi)在聯(lián)系。四、教后思考分析1關(guān)于設(shè)計定位的反思就三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式來說，教學(xué)設(shè)計定位時一般會出現(xiàn)以下幾種傾向：其一，定位于知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道存在一些公式，可以將任意角的三角函數(shù)進(jìn)行一些轉(zhuǎn)化。其二，定位于公式的學(xué)習(xí)，學(xué)生努力分析和總結(jié)各組公式的形式規(guī)律，背誦“函數(shù)名不變，符號看象限”等口訣，追求靈活運用等解題能力的提高。公式理解強過公

10、式記憶。關(guān)于公式規(guī)律的總結(jié)和口訣的記憶，當(dāng)然很重要，但這不是第一節(jié)課的內(nèi)容。我們可以在所有誘導(dǎo)公式都學(xué)習(xí)過后，再來總結(jié)不遲。此外，采用本課的利用對稱性的方法來學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式，可以通過圖形的對稱性來形象記憶，可以減輕學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，規(guī)避死記硬背現(xiàn)象的發(fā)生。其三，聚焦誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，強調(diào)對公式產(chǎn)生的過程的深入理解。其四，在關(guān)注知識學(xué)習(xí)的同時，滲透數(shù)學(xué)思想方法的理解和領(lǐng)悟。本課主要涉及數(shù)形結(jié)合、從一般到特殊或從特殊到一般、模型思想、化歸思想、追求簡易等數(shù)學(xué)思想方法。我們認(rèn)為新授知識是很重要的，而數(shù)學(xué)思想方法是蘊含其中的，應(yīng)該潛移默化地滲透，不能貼標(biāo)簽，更不能因為數(shù)學(xué)思想方法的重要而喧賓奪主地過渡渲染

11、。2關(guān)于教學(xué)難點的突破1）本節(jié)課的難點在于從問題2出發(fā)，發(fā)現(xiàn)關(guān)于y軸對稱的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，從而總結(jié)出研究線路圖。從對教材的分析來看，蘇教版教材將三角函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型來定位，力圖在單位圓中借助對稱性來考察對應(yīng)點的坐標(biāo)關(guān)系，這樣處理的好處是簡化了任意角的象限分類和化歸，起到了利用直觀的對稱這個工具和研究手法去研究誘導(dǎo)公式的變化規(guī)律的目的，揭示了代數(shù)和幾何的有機(jī)結(jié)合和統(tǒng)一。2）任意性循環(huán)上升。在這節(jié)課中，角 的任意性是一個教學(xué)難點，為此我們設(shè)置了三個點：（1）問題2中非30不可嗎？任意角行不行？ （2）幾何畫板拖動演示感受角的任意性。（3）習(xí)題中進(jìn)一步深化學(xué)生認(rèn)識。隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入，對這個問

12、題還會有進(jìn)一步的認(rèn)識。事實上，有許多同學(xué)在一開始是將角當(dāng)成銳角去處理的，但我在教學(xué)中不過分強調(diào)角的任意性，因為對待數(shù)學(xué)知識的教學(xué)不能一步到位，不應(yīng)畢其功于一役，而應(yīng)循環(huán)上升，力求順其自然，水到渠成。3關(guān)于問題串的設(shè)置調(diào)控在本節(jié)課中，我們將教學(xué)設(shè)計成以一以貫之的問題串形式，通過這些問題串起相互關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生學(xué)習(xí)知識，形成能力，發(fā)展認(rèn)知。我們在設(shè)計過程中，盡量將問題的難易程度定位在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，問題的設(shè)計從思維的角度來說具有一定的開放性，使得學(xué)生可以從不同的角度來思考；問題的設(shè)計從解決的難度來說具有一定的層次性，使得不同的學(xué)生盡量愿意提出自己的見解。教師通過問題串的這個腳手架便于組織教學(xué)，并和學(xué)生形成互動，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時形成網(wǎng)狀知識聯(lián)結(jié)。實踐證明，問題串的使用讓教學(xué)組織有章可循，內(nèi)容推進(jìn)自然而不造作，完整而不破碎。4關(guān)于教學(xué)評價分析我們覺得本次的教學(xué)設(shè)計和學(xué)生認(rèn)知水平基本吻合,學(xué)生的參與程度較高。如果學(xué)生的基礎(chǔ)薄弱一些，我們會做些調(diào)整，把問題的指向性更明確一些，基礎(chǔ)性的練習(xí)增加一些。此外，在教學(xué)過程中，我們始終關(guān)注學(xué)生主體的發(fā)展。